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Seconde

Variations et extremums d'une fonction — Exercices d'application

1. Sens de variation

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Exercice 1 — ⭐

On utilise la courbe de la fonction ff du cours (définie sur [−3 ; 5][-3\,;\,5]).

  1. Sur quels intervalles ff est-elle croissante ? décroissante ?
  2. ff est-elle monotone sur [−3 ; 0][-3\,;\,0] ? sur [0 ; 3][0\,;\,3] ?
  3. Vrai ou faux : « comme −2<4-2 < 4, on a f(−2)<f(4)f(-2) < f(4) » ?
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  1. Croissante sur [−3 ; −1][-3\,;\,-1] et sur [3 ; 5][3\,;\,5] ; décroissante sur [−1 ; 3][-1\,;\,3].
  2. Sur [−3 ; 0][-3\,;\,0], elle monte puis descend : pas monotone. Sur [0 ; 3][0\,;\,3], elle est décroissante : monotone.
  3. On ne peut pas utiliser le sens de variation, car −2-2 et 44 ne sont pas dans un même intervalle de monotonie. Sur la courbe, f(−2)≈2,1f(-2) \approx 2{,}1 et f(4)≈−0,1f(4) \approx -0{,}1 : l’affirmation est fausse. (Une fonction n’est pas « croissante en général ».)

Exercice 2 — ⭐⭐

  1. En utilisant la définition, démontre que g(x)=2x−5g(x) = 2x - 5 est croissante sur R\mathbb{R}.
  2. De même, démontre que h(x)=4−x2h(x) = 4 - \dfrac{x}{2} est décroissante sur R\mathbb{R}.
  3. On admet que kk est croissante sur [0 ; 10][0\,;\,10]. Range k(2)k(2), k(7,5)k(7{,}5) et k(10)k(\sqrt{10}) dans l’ordre croissant.
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  1. Soit a<ba < b. Alors 2a<2b2a < 2b (multiplication par 2>02 > 0), puis 2a−5<2b−52a - 5 < 2b - 5 : g(a)<g(b)g(a) < g(b). gg est (strictement) croissante sur R\mathbb{R}.
  2. Soit a<ba < b. Alors −a2>−b2-\dfrac{a}{2} > -\dfrac{b}{2} (multiplication par −12<0-\dfrac12 < 0), puis 4−a2>4−b24 - \dfrac{a}{2} > 4 - \dfrac{b}{2} : h(a)>h(b)h(a) > h(b). hh est décroissante.
  3. 10≈3,16\sqrt{10} \approx 3{,}16, donc 2<10<7,52 < \sqrt{10} < 7{,}5. kk croissante conserve l’ordre : k(2)⩽k(10)⩽k(7,5)k(2) \leqslant k(\sqrt{10}) \leqslant k(7{,}5).

2. Tableau de variations

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Exercice 3 — ⭐⭐

Une fonction ff est définie sur [−4 ; 6][-4\,;\,6]. On sait que : f(−4)=2f(-4) = 2 ; ff est croissante sur [−4 ; 0][-4\,;\,0] avec f(0)=5f(0) = 5 ; ff est décroissante sur [0 ; 4][0\,;\,4] avec f(4)=−3f(4) = -3 ; ff est croissante sur [4 ; 6][4\,;\,6] avec f(6)=1f(6) = 1.

  1. Dresse le tableau de variations de ff.
  2. Donne le maximum et le minimum de ff sur [−4 ; 6][-4\,;\,6], en précisant où ils sont atteints.
  3. Trace une courbe possible pour ff.
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  1. Ligne des xx : −4-4, 00, 44, 66. Ligne de ff : 22 ↗ 55 ↘ −3-3 ↗ 11.
  2. Maximum : 55, atteint en x=0x = 0. Minimum : −3-3, atteint en x=4x = 4.
  3. Toute courbe « sans trou » qui part de (−4 ; 2)(-4\,;\,2), monte jusqu’à (0 ; 5)(0\,;\,5), descend jusqu’à (4 ; −3)(4\,;\,-3) puis remonte jusqu’à (6 ; 1)(6\,;\,1) convient : un tableau de variations ne détermine pas une unique courbe.

3. Maximum et minimum

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Exercice 4 — ⭐⭐⭐

  1. Soit f(x)=x2−6x+11f(x) = x^2 - 6x + 11 sur R\mathbb{R}. Vérifie que f(x)=(x−3)2+2f(x) = (x - 3)^2 + 2, puis démontre que ff admet un minimum ; précise sa valeur et où il est atteint.
  2. Soit g(x)=−x2+4x+1g(x) = -x^2 + 4x + 1 sur R\mathbb{R}. Montre que 5−g(x)=(x−2)25 - g(x) = (x - 2)^2. En déduire le maximum de gg.
  3. Un fermier dispose de 4040 m de clôture pour un enclos rectangulaire (quatre côtés). Montre que l’aire maximale est obtenue pour un carré, et calcule-la.
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  1. (x−3)2+2=x2−6x+9+2=x2−6x+11(x - 3)^2 + 2 = x^2 - 6x + 9 + 2 = x^2 - 6x + 11. ✓ Comme (x−3)2⩾0(x - 3)^2 \geqslant 0, on a f(x)⩾2f(x) \geqslant 2 pour tout xx, et f(3)=2f(3) = 2 : le minimum de ff est 22, atteint en x=3x = 3.
  2. (x−2)2=x2−4x+4(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 et 5−g(x)=5+x2−4x−1=x2−4x+45 - g(x) = 5 + x^2 - 4x - 1 = x^2 - 4x + 4. ✓ Donc 5−g(x)⩾05 - g(x) \geqslant 0, soit g(x)⩽5g(x) \leqslant 5, avec égalité pour x=2x = 2 : le maximum de gg est 55, atteint en x=2x = 2.
  3. Si la largeur vaut xx, la longueur vaut 20−x20 - x et l’aire A(x)=x(20−x)A(x) = x(20 - x), pour 0<x<200 < x < 20. Or 100−A(x)=x2−20x+100=(x−10)2⩾0100 - A(x) = x^2 - 20x + 100 = (x - 10)^2 \geqslant 0 : A(x)⩽100A(x) \leqslant 100, avec égalité pour x=10x = 10. L’aire maximale est 100100 m², pour le carré de côté 1010 m.

4. Exploiter un tableau de variations

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Exercice 5 — ⭐⭐

On reprend la fonction ff de l’exercice 3.

  1. Compare f(1)f(1) et f(3)f(3), puis f(−3)f(-3) et f(−1)f(-1).
  2. Peut-on comparer f(−2)f(-2) et f(5)f(5) ? Justifie.
  3. Encadre f(x)f(x) lorsque x∈[0 ; 4]x \in [0\,;\,4].
  4. Combien l’équation f(x)=0f(x) = 0 a-t-elle de solutions ? Et f(x)=4f(x) = 4 ? Et f(x)=6f(x) = 6 ?
Voir le corrigé
  1. 1<31 < 3 dans [0 ; 4][0\,;\,4] où ff est décroissante : f(1)⩾f(3)f(1) \geqslant f(3). −3<−1-3 < -1 dans [−4 ; 0][-4\,;\,0] où ff est croissante : f(−3)⩽f(−1)f(-3) \leqslant f(-1).
  2. Oui, en encadrant : x=−2∈[−4 ; 0]x = -2 \in [-4\,;\,0], donc 2⩽f(−2)⩽52 \leqslant f(-2) \leqslant 5 ; x=5∈[4 ; 6]x = 5 \in [4\,;\,6], donc −3⩽f(5)⩽1-3 \leqslant f(5) \leqslant 1. Ainsi f(5)⩽1<2⩽f(−2)f(5) \leqslant 1 < 2 \leqslant f(-2) : f(5)<f(−2)f(5) < f(-2).
  3. ff décroissante sur [0 ; 4][0\,;\,4] : f(4)⩽f(x)⩽f(0)f(4) \leqslant f(x) \leqslant f(0), soit −3⩽f(x)⩽5-3 \leqslant f(x) \leqslant 5.
  4. f(x)=0f(x) = 0 : sur [−4 ; 0][-4\,;\,0], ff va de 22 à 55 (pas de 00) ; sur [0 ; 4][0\,;\,4], de 55 à −3-3 (une solution) ; sur [4 ; 6][4\,;\,6], de −3-3 à 11 (une solution). Deux solutions. f(x)=4f(x) = 4 : une solution dans [−4 ; 0][-4\,;\,0] et une dans [0 ; 4][0\,;\,4] : deux solutions. f(x)=6f(x) = 6 : 66 dépasse le maximum 55 : aucune solution.

5. Approcher un maximum par balayage

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Exercice 6 — ⭐⭐

On utilise la fonction maximum du cours avec f(x)=−x2+3x+1f(x) = -x^2 + 3x + 1.

  1. Que renvoie maximum(0, 3, 0.1) ? (On obtient (1.5, 3.25).) Interprète.
  2. Démontre que ce résultat est exact en montrant que 3,25−f(x)=(x−1,5)23{,}25 - f(x) = (x - 1{,}5)^2.
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  1. Sur [0 ; 3][0\,;\,3], parmi les valeurs testées de 0,10{,}1 en 0,10{,}1, la plus grande image est 3,253{,}25, obtenue pour x=1,5x = 1{,}5 : le maximum semble être 3,253{,}25, atteint en 1,51{,}5.
  2. (x−1,5)2=x2−3x+2,25(x - 1{,}5)^2 = x^2 - 3x + 2{,}25 et 3,25−f(x)=3,25+x2−3x−1=x2−3x+2,253{,}25 - f(x) = 3{,}25 + x^2 - 3x - 1 = x^2 - 3x + 2{,}25. ✓ Donc f(x)⩽3,25f(x) \leqslant 3{,}25 pour tout xx, avec égalité en 1,51{,}5 : c’est bien le maximum.

Exercice 7 — ⭐⭐⭐

On remplace ff par f(x)=−x2+2,3xf(x) = -x^2 + 2{,}3x.

  1. maximum(0, 3, 0.5) renvoie (1.0, 1.2999999999999998). Que penses-tu de ce résultat ?
  2. maximum(0, 3, 0.01) renvoie (1.15, 1.3225). Explique la différence avec la question 1.
  3. Démontre que le maximum exact de ff est 1,32251{,}3225, atteint en 1,151{,}15.
  4. Pourquoi la première réponse affiche-t-elle 1,29999999999999981{,}2999999999999998 au lieu de 1,31{,}3 ?
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  1. Avec un pas de 0,50{,}5, on ne teste que 0;0,5;1;1,5;…0 ; 0{,}5 ; 1 ; 1{,}5 ; \ldots : le vrai maximum, situé entre 11 et 1,51{,}5, n’est pas testé. Le résultat est une approximation grossière.
  2. Avec un pas de 0,010{,}01, on teste 1,151{,}15 : l’approximation est bien meilleure (ici exacte).
  3. 1,3225−f(x)=x2−2,3x+1,3225=(x−1,15)2⩾01{,}3225 - f(x) = x^2 - 2{,}3x + 1{,}3225 = (x - 1{,}15)^2 \geqslant 0 (car 1,152=1,32251{,}15^2 = 1{,}3225 et 2×1,15=2,32 \times 1{,}15 = 2{,}3), avec égalité en x=1,15x = 1{,}15.
  4. Les nombres décimaux comme 2,32{,}3 ne sont pas représentés exactement en binaire par l’ordinateur : de petites erreurs d’arrondi apparaissent dans les calculs.