Seconde⏱ 5 séances

Variations et extremums d'une fonction

Ce que tu vas apprendre

Connaître les définitions de fonction croissante, décroissante, monotone sur un intervalle
Passer d'une courbe à un tableau de variations et inversement
Déterminer un maximum ou un minimum sur un intervalle
Exploiter un tableau de variations : comparer des images, compter des solutions, encadrer
Démontrer un sens de variation ou un extremum sur des cas simples
Approcher un maximum par balayage en Python

Notions clésfonction croissante, décroissantefonction monotonetableau de variationsmaximum, minimum, extremumbalayage

Ce que tu sais déjà. Lire une courbe, calculer des images et résoudre graphiquement (Seconde — Généralités sur les fonctions). On étudie maintenant comment varie $f(x)$ quand $x$ augmente.

1. Sens de variation

Définitions. Soit $f$ une fonction et $I$ un intervalle inclus dans son ensemble de définition.

$f$ est croissante sur $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ : $a < b \Rightarrow f(a) \leqslant f(b)$ .
$f$ est décroissante sur $I$ si, pour tous $a$ et $b$ de $I$ : $a < b \Rightarrow f(a) \geqslant f(b)$ .
On parle de fonction strictement croissante (ou décroissante) avec des inégalités strictes $f(a) < f(b)$ (ou $f(a) > f(b)$ ).
$f$ est monotone sur $I$ si elle est croissante sur $I$ ou décroissante sur $I$ .

Interprétation. Une fonction croissante conserve l’ordre : les images sont rangées dans le même ordre que les nombres. Une fonction décroissante renverse l’ordre. Graphiquement, quand on parcourt la courbe de gauche à droite, elle « monte » si $f$ est croissante et « descend » si $f$ est décroissante.

Cette fonction est croissante sur [−3 ; −1], décroissante sur [−1 ; 3], puis de nouveau croissante sur [3 ; 5].

Exemple (démontrer avec la définition). $f(x) = -3x + 1$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ : si $a < b$ , alors $-3a > -3b$ (multiplication par $-3 < 0$ , le sens change), donc $-3a + 1 > -3b + 1$ , c’est-à-dire $f(a) > f(b)$ .

→ S’entraîner : Exercice 1 · Exercice 2

2. Tableau de variations

Un tableau de variations résume le sens de variation de $f$ : sur la première ligne, les valeurs de $x$ où le sens change (et les bornes) ; sur la seconde, des flèches montantes ou descendantes, avec les images aux extrémités de chaque flèche.

Tableau de variations de la fonction de la figure précédente : une flèche montante sur [−3 ; −1], descendante sur [−1 ; 3], montante sur [3 ; 5].

Attention. Un tableau de variations ne donne pas toutes les valeurs de $f$ : il indique seulement le sens de variation et quelques images. Par exemple, il ne dit pas où la courbe coupe l’axe des abscisses.

→ S’entraîner : Exercice 3

3. Maximum et minimum

Définitions. Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$ .

$f(a)$ est le maximum de $f$ sur $I$ si, pour tout $x \in I$ , $f(x) \leqslant f(a)$ .
$f(a)$ est le minimum de $f$ sur $I$ si, pour tout $x \in I$ , $f(x) \geqslant f(a)$ .
Un maximum ou un minimum est appelé un extremum.

Exemple. Pour la fonction du tableau ci-dessus, sur $[-3\,;\,5]$ : le maximum est $3$ , atteint en $x = -1$ et en $x = 5$ ; le minimum est $-1$ , atteint en $x = -3$ et en $x = 3$ .

Démontrer un extremum. Pour montrer que $M$ est le maximum de $f$ sur $I$ , on montre que $M - f(x) \geqslant 0$ pour tout $x \in I$ , et que $M$ est atteint.

Exemple. Le rectangle de périmètre $20$ a pour aire $A(x) = x(10 - x)$ sur $]0\,;\,10[$ (voir le chapitre précédent). Or $25 - A(x) = 25 - 10x + x^2 = (x - 5)^2 \geqslant 0$ . Donc $A(x) \leqslant 25$ pour tout $x$ , avec égalité pour $x = 5$ : le maximum de $A$ est $25$ , atteint pour le carré de côté $5$ .

→ S’entraîner : Exercice 4

4. Exploiter un tableau de variations

📋 Méthode — Ce qu'on peut déduire d'un tableau de variations

Comparer $f(a)$ et $f(b)$ : si $a$ et $b$ sont dans un même intervalle où $f$ est monotone, on utilise le sens de variation (ordre conservé ou renversé). Sinon, on encadre chaque image.
Encadrer $f(x)$ : sur un intervalle où $f$ est monotone, $f(x)$ est compris entre les images des bornes.
Compter les solutions de $f(x) = k$ : sur chaque intervalle où $f$ est strictement monotone, il y a au plus une solution ; il y en a une si $k$ est compris entre les images des bornes (la courbe « traverse » le niveau $k$ — en Seconde, on l’admet pour des courbes « sans trou »).

Exemples (avec le tableau de la section 2).

$-1 < 0 < 2 < 3$ , et $f$ est décroissante sur $[-1\,;\,3]$ : donc $f(0) > f(2)$ .

Pour $x \in [3\,;\,5]$ , $f$ est croissante : $f(3) \leqslant f(x) \leqslant f(5)$ , soit $-1 \leqslant f(x) \leqslant 3$ .

L’équation $f(x) = 0$ : sur $[-3\,;\,-1]$ , $f$ passe de $-1$ à $3$ (une solution) ; sur $[-1\,;\,3]$ , de $3$ à $-1$ (une solution) ; sur $[3\,;\,5]$ , de $-1$ à $3$ (une solution). Elle a donc trois solutions.

→ S’entraîner : Exercice 5

5. Approcher un maximum par balayage

Quand on ne sait pas trouver un maximum par le calcul, on peut l’approcher : on calcule $f(x)$ pour des valeurs de $x$ régulièrement espacées (un « pas ») et on garde la plus grande.

def f(x):
    return x * (10 - x)

def maximum(a, b, pas):
    x = a
    x_max = a
    y_max = f(a)
    while x <= b:
        if f(x) > y_max:
            x_max = x
            y_max = f(x)
        x = x + pas
    return round(x_max, 4), y_max

print(maximum(0, 10, 0.1))   # affiche (5.0, 25.0)

Remarque. Le résultat est une approximation : le vrai maximum peut se trouver entre deux valeurs testées. Diminuer le pas améliore la précision, mais augmente le nombre de calculs.

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7