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Variations et extremums d'une fonction — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Exercice 1 (4 points) — Définitions

Recopie et complète : « $f$ est décroissante sur $I$ si, pour tous $a$ et $b$ de $I$ , … ». (1 point)
En utilisant la définition, démontre que $f(x) = 7 - 2x$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ . (2 points)
$g$ est croissante sur $[1\,;\,8]$ . Compare $g(\pi)$ et $g(3)$ . (1 point)

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« … si $a < b$ , alors $f(a) \geqslant f(b)$ . »
Soit $a < b$ . Alors $-2a > -2b$ (multiplication par $-2 < 0$ : le sens change), puis $7 - 2a > 7 - 2b$ , soit $f(a) > f(b)$ . $f$ est (strictement) décroissante sur $\mathbb{R}$ .
$\pi \approx 3{,}14 > 3$ , et $3$ et $\pi$ sont dans $[1\,;\,8]$ où $g$ est croissante : $g(3) \leqslant g(\pi)$ .

Exercice 2 (4 points) — Construire un tableau

Une fonction $h$ est définie sur $[-5\,;\,3]$ . Elle est décroissante sur $[-5\,;\,-2]$ , croissante sur $[-2\,;\,1]$ et décroissante sur $[1\,;\,3]$ . On sait que $h(-5) = 4$ , $h(-2) = -1$ , $h(1) = 6$ et $h(3) = 0$ .

Dresse le tableau de variations de $h$ . (2 points)
Donne le maximum et le minimum de $h$ sur $[-5\,;\,3]$ . (2 points)

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Ligne des $x$ : $-5$ , $-2$ , $1$ , $3$ . Ligne de $h$ : $4$ ↘ $-1$ ↗ $6$ ↘ $0$ .
Maximum : $6$ , atteint en $x = 1$ . Minimum : $-1$ , atteint en $x = -2$ .

Exercice 3 (4 points) — Exploiter le tableau

On reprend la fonction $h$ de l'exercice 2.

Compare $h(-4)$ et $h(-3)$ . (1 point)
Encadre $h(x)$ pour $x \in [-2\,;\,1]$ . (1 point)
Combien l'équation $h(x) = 2$ a-t-elle de solutions sur $[-5\,;\,3]$ ? Justifie. (2 points)

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$-4 < -3$ dans $[-5\,;\,-2]$ où $h$ est décroissante : $h(-4) \geqslant h(-3)$ .
$h$ croissante sur $[-2\,;\,1]$ : $h(-2) \leqslant h(x) \leqslant h(1)$ , soit $-1 \leqslant h(x) \leqslant 6$ .
Sur $[-5\,;\,-2]$ , $h$ passe de $4$ à $-1$ : $2$ est atteint une fois. Sur $[-2\,;\,1]$ , de $-1$ à $6$ : une fois. Sur $[1\,;\,3]$ , de $6$ à $0$ : une fois. L'équation $h(x) = 2$ a trois solutions.

Exercice 4 (4 points) — Démontrer un extremum

Soit $f(x) = x^2 + 8x + 10$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Montre que $f(x) = (x + 4)^2 - 6$ . (1,5 point)
En déduire que $f$ admet un minimum, dont tu préciseras la valeur et l'abscisse. (2,5 points)

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$(x + 4)^2 - 6 = x^2 + 8x + 16 - 6 = x^2 + 8x + 10 = f(x)$ . ✓
Pour tout réel $x$ , $(x + 4)^2 \geqslant 0$ , donc $f(x) \geqslant -6$ . De plus $f(-4) = 0 - 6 = -6$ . Le minimum de $f$ est $-6$ , atteint en $x = -4$ .

Exercice 5 (4 points) — Balayage

On considère la fonction Python suivante, où f est une fonction déjà définie :

def maximum(a, b, pas):
    x = a
    x_max = a
    y_max = f(a)
    while x <= b:
        if f(x) > y_max:
            x_max = x
            y_max = f(x)
        x = x + pas
    return x_max, y_max

Avec $f(x) = -x^2 + 6x$ , on appelle maximum(0, 6, 1). Recopie et complète le tableau des valeurs successives de x, f(x), x_max et y_max. Que renvoie la fonction ? (2,5 points)
Démontre que le résultat obtenu est bien le maximum exact de $f$ sur $[0\,;\,6]$ . (1,5 point)

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x 0 1 2 3 4 5 6
f(x) 0 5 8 9 8 5 0
x_max 0 1 2 3 3 3 3
y_max 0 5 8 9 9 9 9

La fonction renvoie (3, 9).
$9 - f(x) = 9 + x^2 - 6x = (x - 3)^2 \geqslant 0$ , donc $f(x) \leqslant 9$ pour tout $x$ , avec égalité en $x = 3$ : le maximum exact de $f$ est bien $9$ , atteint en $3$ .

`x`	1	2	3	4	5	6
`f(x)`	5	8	9	8	5	0
`x_max`	1	2	3	3	3	3
`y_max`	5	8	9	9	9	9