Seconde

Statistiques descriptives — Exercices d'application

1. Moyenne pondérée

Exercice 1 — ⭐

Léa a obtenu $12$ (coefficient $2$ ), $15$ (coefficient $3$ ) et $8$ (coefficient $1$ ). Calcule sa moyenne, arrondie au centième.
On a interrogé $50$ familles sur leur nombre d’enfants :

Nombre d’enfants 0 1 2 3 4
Effectif 5 12 18 10 5

Calcule le nombre moyen d’enfants par famille.

Nombre d’enfants	0	1	2	3	4
Effectif	5	12	18	10	5

Voir le corrigé

$\bar{x} = \dfrac{2 \times 12 + 3 \times 15 + 1 \times 8}{2 + 3 + 1} = \dfrac{77}{6} \approx 12{,}83$ .
$\bar{x} = \dfrac{0 \times 5 + 1 \times 12 + 2 \times 18 + 3 \times 10 + 4 \times 5}{50} = \dfrac{98}{50} = 1{,}96$ enfant.

Exercice 2 — ⭐⭐

La classe A compte $24$ élèves et a $11$ de moyenne à un contrôle. La classe B compte $30$ élèves et a $12{,}8$ de moyenne.

Un élève affirme que la moyenne des deux classes réunies est $11{,}9$ . Explique son raisonnement et pourquoi il est faux.
Calcule la moyenne des $54$ élèves.

Voir le corrigé

Il a calculé $\dfrac{11 + 12{,}8}{2} = 11{,}9$ : c’est la moyenne des deux moyennes, qui donne le même poids aux deux classes, alors que la classe B a plus d’élèves.
$\bar{x} = \dfrac{24 \times 11 + 30 \times 12{,}8}{54} = \dfrac{264 + 384}{54} = \dfrac{648}{54} = 12$ .

2. Linéarité de la moyenne

↩ Revoir le cours

Exercice 3 — ⭐⭐

Le salaire mensuel moyen dans une entreprise est de $2\,000$ €. Chaque salaire est augmenté de $3\,\%$ , puis on ajoute une prime de $40$ €. Quel est le nouveau salaire moyen ?
Les notes d’un contrôle sur $40$ ont une moyenne de $26$ . On ramène les notes sur $20$ . Quelle est la nouvelle moyenne ?
Une série a pour moyenne $\bar{x} = 7$ . On remplace chaque valeur $x_i$ par $y_i = 10 - 2x_i$ . Quelle est la moyenne de la nouvelle série ?

Voir le corrigé

Chaque salaire devient $1{,}03x + 40$ : nouvelle moyenne $1{,}03 \times 2\,000 + 40 = 2\,100$ €.
Chaque note est multipliée par $0{,}5$ : nouvelle moyenne $0{,}5 \times 26 = 13$ .
$\bar{y} = 10 - 2 \times 7 = -4$ .

3. Médiane, quartiles, écart interquartile

↩ Revoir le cours

Exercice 4 — ⭐⭐

Série de $15$ valeurs rangées : $3 ; 5 ; 6 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 15 ; 18 ; 25$ . Détermine $Me$ , $Q_1$ , $Q_3$ et l’écart interquartile.
Même question pour la série de $8$ valeurs : $2 ; 4 ; 4 ; 5 ; 7 ; 9 ; 10 ; 12$ .

Voir le corrigé

$N = 15$ . $Me$ : rang $8$ , $Me = 10$ . $Q_1$ : $\dfrac{15}{4} = 3{,}75$ , rang $4$ , $Q_1 = 6$ . $Q_3$ : $\dfrac{45}{4} = 11{,}25$ , rang $12$ , $Q_3 = 13$ . Écart interquartile : $13 - 6 = 7$ .
$N = 8$ . $Me$ : moyenne des valeurs de rangs $4$ et $5$ , $Me = \dfrac{5 + 7}{2} = 6$ . $Q_1$ : $\dfrac84 = 2$ , rang $2$ , $Q_1 = 4$ . $Q_3$ : $6$ , rang $6$ , $Q_3 = 9$ . Écart interquartile : $5$ .

4. Écart type

↩ Revoir le cours

Exercice 5 — ⭐⭐

On considère les séries $A : 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14$ et $B : 2 ; 10 ; 10 ; 10 ; 18$ .

Vérifie que les deux séries ont la même moyenne et la même médiane.
Calcule la variance et l’écart type de chaque série (valeur exacte, puis arrondi au centième).
Laquelle est la plus dispersée autour de la moyenne ? Pourquoi l’étendue ou la médiane ne suffisent pas à le dire ?

Voir le corrigé

$\bar{x}_A = \dfrac{50}{5} = 10$ et $\bar{x}_B = \dfrac{50}{5} = 10$ ; les deux médianes valent $10$ .
A : écarts $-4 ; -2 ; 0 ; 2 ; 4$ , carrés $16 ; 4 ; 0 ; 4 ; 16$ , $V_A = \dfrac{40}{5} = 8$ , $s_A = \sqrt8 = 2\sqrt2 \approx 2{,}83$ . B : écarts $-8 ; 0 ; 0 ; 0 ; 8$ , carrés $64 ; 0 ; 0 ; 0 ; 64$ , $V_B = \dfrac{128}{5} = 25{,}6$ , $s_B = \sqrt{25{,}6} \approx 5{,}06$ .
B est plus dispersée autour de la moyenne ( $s_B > s_A$ ). Même moyenne, même médiane : ces indicateurs de position ne disent rien de la dispersion. L’étendue ( $8$ pour A, $16$ pour B) ne regarde que les deux valeurs extrêmes, alors que l’écart type tient compte de toutes les valeurs.

5. Données regroupées en classes

↩ Revoir le cours

Exercice 6 — ⭐⭐

On a pesé $40$ pommes (masses en grammes).

Masse (g)	$[100\,;\,120[$	$[120\,;\,140[$	$[140\,;\,160[$	$[160\,;\,180[$	$[180\,;\,200[$
Effectif	4	10	14	8	4

Quelle est la classe modale ? Décris l’histogramme correspondant.
Estime la masse moyenne d’une pomme.
Calcule les fréquences cumulées croissantes, puis estime la médiane par le calcul.

Voir le corrigé

Classe modale : $[140\,;\,160[$ . Les classes ont toutes une amplitude de $20$ g : cinq rectangles de même largeur, de hauteurs proportionnelles à $4$ , $10$ , $14$ , $8$ et $4$ .
Centres : $110$ , $130$ , $150$ , $170$ , $190$ . $\bar{x} \approx \dfrac{4 \times 110 + 10 \times 130 + 14 \times 150 + 8 \times 170 + 4 \times 190}{40} = \dfrac{5\,960}{40} = 149$ g.
Fréquences cumulées : $0{,}1 ; 0{,}35 ; 0{,}7 ; 0{,}9 ; 1$ . La médiane est dans $[140\,;\,160[$ (on passe de $0{,}35$ à $0{,}7$ ). $Me \approx 140 + 20 \times \dfrac{0{,}5 - 0{,}35}{0{,}7 - 0{,}35} = 140 + 20 \times \dfrac{0{,}15}{0{,}35} \approx 148{,}6$ g.

6. Ajouter ou retirer une valeur

↩ Revoir le cours

Exercice 7 — ⭐⭐

Voici les salaires (en €) des neuf salariés d’une petite entreprise, rangés : $1\,600 ; 1\,700 ; 1\,750 ; 1\,800 ; 1\,850 ; 1\,900 ; 2\,000 ; 2\,100 ; 2\,400$ .

Vérifie que la moyenne vaut $1\,900$ € et que la médiane vaut $1\,850$ €.
On ajoute le salaire du directeur, $9\,000$ €. Calcule la nouvelle moyenne et la nouvelle médiane.
Quel indicateur décrit le mieux le salaire « typique » dans l’entreprise ?
Un salarié part, et la moyenne des huit salariés restants (sans le directeur) devient $1\,925$ €. Quel était son salaire ?

Voir le corrigé

Somme : $17\,100$ €, donc $\bar{x} = \dfrac{17\,100}{9} = 1\,900$ €. Médiane : rang $5$ , $1\,850$ €.
Moyenne : $\dfrac{17\,100 + 9\,000}{10} = 2\,610$ €. Médiane de $10$ valeurs : moyenne des rangs $5$ et $6$ , $\dfrac{1\,850 + 1\,900}{2} = 1\,875$ €. La moyenne augmente de $710$ €, la médiane de $25$ €.
La médiane : elle n’est presque pas influencée par le salaire exceptionnel du directeur.
Somme des huit restants : $8 \times 1\,925 = 15\,400$ €. Salaire du partant : $17\,100 - 15\,400 = 1\,700$ €.

7. Tableaux croisés

↩ Revoir le cours

Exercice 8 — ⭐⭐

On a interrogé $300$ élèves : ont-ils lu un roman et vu son adaptation au cinéma ? $75$ élèves ont lu le livre, dont $45$ ont aussi vu le film. Au total, $150$ élèves ont vu le film.

Recopie et complète le tableau croisé.

A vu le film N’a pas vu le film Total
A lu le livre
N’a pas lu le livre
Total $300$
Quelle est la fréquence des élèves ayant vu le film parmi ceux qui ont lu le livre ? parmi ceux qui ne l’ont pas lu ?
Quelle est la fréquence des lecteurs parmi les élèves qui ont vu le film ?

Voir le corrigé

A vu le film N’a pas vu le film Total
A lu le livre $45$ $30$ $75$
N’a pas lu le livre $105$ $120$ $225$
Total $150$ $150$ $300$
Parmi les lecteurs : $\dfrac{45}{75} = 0{,}6$ . Parmi les non-lecteurs : $\dfrac{105}{225} \approx 0{,}467$ .
$\dfrac{45}{150} = 0{,}3$ : $30\,\%$ des spectateurs du film ont lu le livre.

	A vu le film	N’a pas vu le film	Total
A lu le livre	$45$	$30$	$75$
N’a pas lu le livre	$105$	$120$	$225$
Total	$150$	$150$	$300$

Exercice 9 — ⭐⭐⭐

Dix élèves ont chronométré leur temps de réaction (en centièmes de seconde) : $12 ; 13 ; 13 ; 14 ; 14 ; 15 ; 15 ; 16 ; 17 ; 61$ . La valeur $61$ provient d’une erreur de manipulation.

Calcule la moyenne et la médiane de la série.
Calcule-les à nouveau après avoir retiré la valeur $61$ .
Quel indicateur a été le plus affecté ? Lequel choisir si l’on ne peut pas vérifier les données ?

Voir le corrigé

Somme : $190$ , moyenne $19$ . Médiane : moyenne des rangs $5$ et $6$ , $\dfrac{14 + 15}{2} = 14{,}5$ .
Somme : $129$ , moyenne $\dfrac{129}{9} \approx 14{,}3$ . Médiane de $9$ valeurs : rang $5$ , $14$ .
La moyenne a perdu près de $5$ unités, la médiane seulement $0{,}5$ . Sans vérification possible, on préfère la médiane (et l’écart interquartile), qui résistent aux valeurs aberrantes. La moyenne $19$ est même supérieure à neuf des dix valeurs : elle ne représente personne.