Statistiques descriptives

Ce que tu sais déjà. Moyenne, médiane et étendue (4e — Moyenne et médiane), quartiles et boîtes à moustaches (3e — Quartiles et boîtes à moustaches). En Seconde, on ajoute un indicateur de dispersion lié à la moyenne (l’écart type), on travaille sur des données regroupées et on croise deux caractères.

1. Moyenne pondérée

Définition. Une série prend les valeurs $x_1, x_2, \ldots, x_p$ avec les effectifs $n_1, n_2, \ldots, n_p$ (effectif total $N = n_1 + \cdots + n_p$). Sa moyenne est

$$\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_p x_p}{N} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p} n_i x_i.$$

Le symbole $\displaystyle\sum_{i=1}^{p}$ (« somme pour $i$ allant de $1$ à $p$ ») est une écriture abrégée de la somme. Avec les fréquences $f_i = \dfrac{n_i}{N}$, on a aussi $\bar{x} = f_1 x_1 + \cdots + f_p x_p$.

Moyenne de sous-groupes. Si un groupe de $N_1$ individus a pour moyenne $m_1$ et un autre groupe de $N_2$ individus a pour moyenne $m_2$, la moyenne de l’ensemble est

$$\bar{x} = \frac{N_1 m_1 + N_2 m_2}{N_1 + N_2}.$$

C’est une moyenne pondérée par les effectifs, et non la moyenne $\dfrac{m_1 + m_2}{2}$ (sauf si les groupes ont le même effectif).

Exemple. Une classe de $20$ élèves a $12$ de moyenne ; une autre de $30$ élèves a $9$ de moyenne. Moyenne des $50$ élèves : $\dfrac{20 \times 12 + 30 \times 9}{50} = \dfrac{510}{50} = 10{,}2$ (et non $10{,}5$).

→ S’entraîner : Exercice 1 · Exercice 2

2. Linéarité de la moyenne

Propriété. Si l’on transforme chaque valeur $x_i$ en $y_i = a x_i + b$ ($a$, $b$ réels), alors

$$\bar{y} = a\,\bar{x} + b.$$

Justification : $\bar{y} = \dfrac{1}{N}\sum n_i (a x_i + b) = a \times \dfrac{1}{N}\sum n_i x_i + b \times \dfrac{1}{N}\sum n_i = a\bar{x} + b$, car $\sum n_i = N$.

Exemples.

• On ajoute $1$ point à toutes les notes : la moyenne augmente de $1$.
• Des températures ont une moyenne de $15$ °C. En degrés Fahrenheit ($F = 1{,}8\,C + 32$), la moyenne est $1{,}8 \times 15 + 32 = 59$ °F, sans refaire tous les calculs.

→ S’entraîner : Exercice 3

3. Médiane, quartiles, écart interquartile

On range les $N$ valeurs de la série dans l’ordre croissant.

Définitions.

• La médiane $Me$ partage la série en deux groupes de même effectif : si $N$ est impair, c’est la valeur de rang $\dfrac{N+1}{2}$ ; si $N$ est pair, c’est la moyenne des valeurs de rangs $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2} + 1$.
• Le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins $25\,\%$ des valeurs lui soient inférieures ou égales. On prend la valeur de rang $\dfrac{N}{4}$ arrondi à l’entier supérieur.
• Le troisième quartile $Q_3$ est la plus petite valeur telle qu’au moins $75\,\%$ des valeurs lui soient inférieures ou égales : rang $\dfrac{3N}{4}$ arrondi à l’entier supérieur.
• L’écart interquartile est $Q_3 - Q_1$ : environ la moitié des valeurs « centrales » sont dans $[Q_1\,;\,Q_3]$.

Exemple. Série de $N = 11$ valeurs : $2 ; 3 ; 5 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 ; 11 ; 12 ; 14 ; 20$. $Me$ : rang $6$, donc $Me = 8$. $Q_1$ : $\dfrac{11}{4} = 2{,}75$, rang $3$, donc $Q_1 = 5$. $Q_3$ : $\dfrac{33}{4} = 8{,}25$, rang $9$, donc $Q_3 = 12$. Écart interquartile : $12 - 5 = 7$.

→ S’entraîner : Exercice 4

4. Écart type

La médiane s’accompagne de l’écart interquartile ; la moyenne s’accompagne de l’écart type, qui mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne.

Définitions.

• La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne : $$V = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p} n_i (x_i - \bar{x})^2.$$
• L’écart type est $s = \sqrt{V}$. Il s’exprime dans la même unité que les valeurs.

Interprétation. Plus l’écart type est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne. S’il est nul, toutes les valeurs sont égales.

Exemple. Série $2 ; 4 ; 6 ; 8$ : $\bar{x} = 5$. Écarts à la moyenne : $-3 ; -1 ; 1 ; 3$. Carrés : $9 ; 1 ; 1 ; 9$. $V = \dfrac{20}{4} = 5$ et $s = \sqrt5 \approx 2{,}24$.

En pratique, on calcule l’écart type avec la calculatrice (mode statistiques, souvent noté $\sigma x$) ou un tableur. On retient surtout comment l’interpréter et comparer deux séries.

→ S’entraîner : Exercice 5

5. Données regroupées en classes

Quand les valeurs sont nombreuses et variées, on les regroupe en classes (intervalles). Exemple : temps de trajet de $50$ élèves.

Histogramme. Chaque classe est représentée par un rectangle dont la base est la classe. Quand les classes ont toutes la même amplitude (comme ici), la hauteur est proportionnelle à l’effectif ; dans le cas général, c’est l’aire du rectangle qui est proportionnelle à l’effectif.

Estimer la moyenne. On remplace chaque classe par son centre : $$\bar{x} \approx \frac{6 \times 5 + 14 \times 15 + 17 \times 25 + 9 \times 35 + 4 \times 45}{50} = \frac{1\,160}{50} = 23{,}2 \text{ min}.$$ C’est une estimation : on ne connaît pas les valeurs exactes à l’intérieur des classes.

Estimer la médiane. On trace le polygone des fréquences cumulées croissantes en reliant les points ayant pour abscisse la borne supérieure de chaque classe et pour ordonnée la fréquence cumulée. La médiane est estimée par l’abscisse du point d’ordonnée $0{,}5$.

Par le calcul : sur $[20\,;\,30]$ le polygone est un segment ; la fréquence doit augmenter de $0{,}10$ sur les $0{,}34$ de la classe, d’où $Me \approx 20 + 10 \times \dfrac{0{,}10}{0{,}34} \approx 22{,}9$ min.

→ S’entraîner : Exercice 6

6. Ajouter ou retirer une valeur

Effet sur la moyenne. Si une série de $N$ valeurs a pour moyenne $\bar{x}$ et qu’on ajoute une valeur $v$, la nouvelle moyenne est

$$\bar{x}' = \frac{N\bar{x} + v}{N + 1}.$$

La somme des valeurs $N\bar{x}$ est la clé : on la recalcule, puis on divise par le nouvel effectif.

Effet sur la médiane. La médiane ne dépend que de l’ordre des valeurs : ajouter une valeur très grande (ou très petite) ne la déplace que d’un demi-rang au plus.

Exemple. Neuf salariés ont un salaire moyen de $1\,900$ € et un salaire médian de $1\,850$ €. Le directeur, qui gagne $9\,000$ €, est ajouté à la série. Nouvelle moyenne : $\dfrac{9 \times 1\,900 + 9\,000}{10} = 2\,610$ € : elle bondit de $710$ €. La médiane, elle, ne bouge presque pas (voir l’exercice 7).

À retenir. La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes ; la médiane est robuste. Face à une valeur aberrante (erreur de saisie, cas exceptionnel), la médiane et l’écart interquartile décrivent mieux la série « typique ».

→ S’entraîner : Exercice 7 · Exercice 9

7. Tableaux croisés

Quand on étudie deux caractères qualitatifs sur une même population, on utilise un tableau croisé d’effectifs. Exemple : $250$ élèves de Seconde, selon leur sexe et la pratique d’un sport en club.

Fréquences.

• Fréquence marginale : on divise un total de ligne ou de colonne par l’effectif total. Exemple : $\dfrac{132}{250} = 0{,}528$, soit $52{,}8\,\%$ des élèves font du sport en club.
• Fréquence conditionnelle : on se restreint à une ligne (ou une colonne). Parmi les filles, la fréquence de celles qui font du sport en club est $\dfrac{54}{120} = 0{,}45$ ; parmi les garçons, $\dfrac{78}{130} = 0{,}6$.

Attention au sens. « Parmi les filles, $45\,\%$ font du sport » n’est pas « parmi les sportifs, $45\,\%$ sont des filles » : cette seconde fréquence vaut $\dfrac{54}{132} \approx 0{,}409$. On retrouvera ces fréquences conditionnelles en probabilités.

→ S’entraîner : Exercice 8

À retenir.

• Moyenne pondérée $\bar{x} = \frac1N \sum n_i x_i$ ; moyenne de groupes pondérée par les effectifs.
• Linéarité : $\overline{ax + b} = a\bar{x} + b$.
• Couples d’indicateurs : (médiane, écart interquartile) et (moyenne, écart type).
• Données en classes : histogramme, centres des classes pour estimer la moyenne, polygone des fréquences cumulées pour estimer la médiane.
• La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, la médiane non.
• Tableau croisé : bien identifier la population de référence d’une fréquence.