Seconde

Puissances, racines carrées et comparaisons — Exercices d'application

1. Puissances d’exposant entier relatif

Exercice 1 — ⭐

Sans calculatrice. Écris chaque nombre sous la forme d’une puissance, puis donne sa valeur sous forme d’entier ou de fraction.

$5^3 \times 5^{-5}$ $\qquad$ 2. $\left(2^{3}\right)^{-2}$ $\qquad$ 3. $\dfrac{10^4 \times 10^{-7}}{10^{-2}}$
Calcule $(-3)^4$ , $\;-3^4$ et $\;2^{-3}$ .

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$5^3 \times 5^{-5} = 5^{3 + (-5)} = 5^{-2} = \dfrac{1}{25}$ .
$\left(2^3\right)^{-2} = 2^{3 \times (-2)} = 2^{-6} = \dfrac{1}{64}$ .
$\dfrac{10^{4 + (-7)}}{10^{-2}} = \dfrac{10^{-3}}{10^{-2}} = 10^{-3 - (-2)} = 10^{-1} = \dfrac{1}{10}$ .
$(-3)^4 = 81$ (quatre facteurs $-3$ , nombre pair de signes moins) ; $-3^4 = -81$ (l’exposant ne porte que sur $3$ ) ; $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$ .

Exercice 2 — ⭐⭐

Sans calculatrice.

Montre que $A = \dfrac{2^5 \times 3^{-2} \times 6^3}{4^2 \times 3}$ est un entier, et donne sa valeur.
Soient $a$ et $b$ deux réels non nuls. Simplifie $B = \left(a^2 b^{-1}\right)^3 \times a^{-4} b^2$ (résultat sous la forme $a^m b^p$ ).
Vrai ou faux : « $3^2 + 3^2 + 3^2 = 3^3$ » ? « $2^{10} + 2^{10} = 2^{20}$ » ?

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On décompose $6^3 = 2^3 \times 3^3$ et $4^2 = \left(2^2\right)^2 = 2^4$ : $A = \dfrac{2^5 \times 3^{-2} \times 2^3 \times 3^3}{2^4 \times 3^1} = 2^{5 + 3 - 4} \times 3^{-2 + 3 - 1} = 2^4 \times 3^0 = 16$ .
$\left(a^2 b^{-1}\right)^3 = a^6 b^{-3}$ , donc $B = a^{6 - 4} b^{-3 + 2} = a^2 b^{-1}$ .
« $3^2 + 3^2 + 3^2 = 3 \times 3^2 = 3^3$ » : vrai ( $9 + 9 + 9 = 27$ ). « $2^{10} + 2^{10} = 2^{20}$ » : faux, car $2^{10} + 2^{10} = 2 \times 2^{10} = 2^{11}$ .

2. Écriture scientifique et ordres de grandeur

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Exercice 3 — ⭐⭐

Sans calculatrice.

Donne l’écriture scientifique de $C = (6 \times 10^{-4}) \times (5 \times 10^{9})$ et de $D = \dfrac{8 \times 10^{3}}{4 \times 10^{-5}}$ .
Un disque dur contient $2 \times 10^{12}$ octets. Une photo occupe environ $4 \times 10^{6}$ octets. Combien de photos peut-on y stocker, environ ?
Julien trouve à la calculatrice que $\dfrac{3{,}9 \times 10^{7}}{2{,}1 \times 10^{2}}$ vaut environ $1{,}86 \times 10^{9}$ . Sans refaire le calcul exact, montre qu’il s’est trompé.

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$C = (6 \times 5) \times 10^{-4 + 9} = 30 \times 10^5 = 3 \times 10^6$ . $D = \dfrac{8}{4} \times 10^{3 - (-5)} = 2 \times 10^8$ .
$\dfrac{2 \times 10^{12}}{4 \times 10^6} = 0{,}5 \times 10^6 = 5 \times 10^5$ : environ $500\,000$ photos.
Ordre de grandeur : $\dfrac{3{,}9 \times 10^{7}}{2{,}1 \times 10^{2}} \approx \dfrac{4 \times 10^7}{2 \times 10^2} = 2 \times 10^5$ . Le résultat doit être de l’ordre de $10^5$ , pas de $10^9$ : Julien s’est trompé (il a sans doute ajouté les exposants au lieu de les soustraire).

3. Première puissance qui dépasse un seuil

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Exercice 4 — ⭐⭐

On reprend la fonction premiere_puissance du cours.

Que renvoie premiere_puissance(2, 10**6) ? Justifie avec $2^{19} = 524\,288$ et $2^{20} = 1\,048\,576$ .
Une culture contient $500$ bactéries, et leur nombre double toutes les $20$ minutes. a. Exprime le nombre de bactéries après $n$ doublements. b. Écris une fonction Python bacteries() qui renvoie le nombre de doublements nécessaires pour dépasser strictement un million de bactéries, et donne son résultat. c. Au bout de combien de temps la culture dépasse-t-elle un million de bactéries ?
Un médicament est éliminé de sorte que sa concentration est multipliée par $0{,}8$ chaque heure. Complète la fonction ci-dessous pour qu’elle renvoie le nombre d’heures au bout duquel la concentration devient inférieure à $1\,\%$ de la concentration initiale :

def elimination():
    n = 0
    while ...........:
        n = n + 1
    return n

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La boucle s’arrête au premier $n$ tel que $2^n > 10^6$ . Comme $2^{19} = 524\,288 \leqslant 10^6$ et $2^{20} = 1\,048\,576 > 10^6$ , la fonction renvoie 20.
a. Après $n$ doublements : $500 \times 2^n$ bactéries. b. Une solution :

def bacteries():
    n = 0
    while 500 * 2 ** n <= 10 ** 6:
        n = n + 1
    return n

Elle renvoie 11, car $500 \times 2^{10} = 512\,000$ et $500 \times 2^{11} = 1\,024\,000$ .

c. $11$ doublements de $20$ minutes : $220$ minutes, soit $3$ h $40$ min. 3. La condition est 0.8 ** n >= 0.01 (on continue tant que la concentration reste au moins égale à $1\,\%$ ). La fonction renvoie 21 ( $0{,}8^{20} \approx 0{,}0115$ et $0{,}8^{21} \approx 0{,}0092$ ) : il faut $21$ heures.

4. Règles de calcul sur les racines carrées

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Exercice 5 — ⭐

Sans calculatrice.

Calcule : $\sqrt{(-7)^2}$ ; $\;\sqrt{\dfrac{49}{4}}$ ; $\;\sqrt{0{,}09}$ ; $\;\sqrt{2} \times \sqrt{18}$ ; $\;\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$ .
Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $\sqrt{x^2} = x$ ? Et $\sqrt{x^2} = -x$ ?
Vrai ou faux : « pour tous réels positifs $a$ et $b$ , $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ » ?

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$\sqrt{(-7)^2} = |-7| = 7$ ; $\;\sqrt{\dfrac{49}{4}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{4}} = \dfrac{7}{2}$ ; $\;\sqrt{0{,}09} = 0{,}3$ (car $0{,}3^2 = 0{,}09$ ) ; $\;\sqrt{2} \times \sqrt{18} = \sqrt{36} = 6$ ; $\;\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5$ .
$\sqrt{x^2} = |x|$ . Donc $\sqrt{x^2} = x$ quand $x \geqslant 0$ , et $\sqrt{x^2} = -x$ quand $x \leqslant 0$ .
Faux : contre-exemple $a = 9$ , $b = 16$ (voir le cours) : $5 \neq 7$ . (Ce n’est vrai que si $a = 0$ ou $b = 0$ .)

5. Simplifier des écritures avec des racines carrées

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Exercice 6 — ⭐⭐

Sans calculatrice.

Écris sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ entier le plus petit possible : $\sqrt{48}$ , $\sqrt{75}$ , $\sqrt{12}$ .
En déduire une écriture simple de $E = \sqrt{48} - \sqrt{75} + \sqrt{12}$ .
Développe et réduis : $F = \left(2 + \sqrt{3}\right)^2$ ; $\;G = \left(\sqrt{5} - 2\right)\left(\sqrt{5} + 2\right)$ ; $\;H = 3\sqrt{2} \times \sqrt{6}$ .

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$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$ ; $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$ ; $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$ .
$E = 4\sqrt{3} - 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$ .
$F = 2^2 + 2 \times 2 \times \sqrt{3} + \left(\sqrt{3}\right)^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$ . $G = \left(\sqrt{5}\right)^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$ . $H = 3\sqrt{12} = 3 \times 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ .

Exercice 7 — ⭐⭐⭐

En t’inspirant de la démonstration du cours, démontre que pour $a \geqslant 0$ et $b > 0$ , $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ .
Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB = \sqrt{2}$ et $AC = \sqrt{7}$ . Calcule la valeur exacte de $BC$ .
Montre que $\dfrac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1$ .

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Le nombre $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ est positif (quotient d’un nombre positif par un nombre strictement positif), et son carré vaut $\dfrac{\left(\sqrt{a}\right)^2}{\left(\sqrt{b}\right)^2} = \dfrac{a}{b}$ . C’est donc l’unique nombre positif de carré $\dfrac{a}{b}$ , c’est-à-dire $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ .
D’après le théorème de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 2 + 7 = 9$ , donc $BC = 3$ . (Remarque : $BC \neq \sqrt{2} + \sqrt{7} \approx 4{,}06$ .)
$\left(\sqrt{2} - 1\right)\left(\sqrt{2} + 1\right) = 2 - 1 = 1$ . Donc $\sqrt{2} + 1$ est l’inverse de $\sqrt{2} - 1$ : $\dfrac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1$ .

6. Comparer deux quantités : différence ou rapport

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Exercice 8 — ⭐⭐

Le loyer d’un appartement passe de $600$ € à $690$ €. Compare les deux loyers de façon additive, puis multiplicative. Traduis le rapport en pourcentage d’augmentation.
Dans une ville, le nombre de vélos en libre-service passe de $250$ à $400$ ; dans une autre, de $3\,000$ à $3\,600$ . Dans quelle ville le parc a-t-il le plus augmenté ? Donne deux réponses argumentées, selon le type de comparaison.
Sans calculatrice. Compare $5^{30}$ et $2^{70}$ (indication : écris-les comme des puissances $10$ -ièmes).

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Additivement : $690 - 600 = 90$ , le loyer a augmenté de $90$ €. Multiplicativement : $\dfrac{690}{600} = 1{,}15$ , le loyer a été multiplié par $1{,}15$ , soit une hausse de $15\,\%$ .
Première ville : $+150$ vélos, rapport $\dfrac{400}{250} = 1{,}6$ . Deuxième ville : $+600$ vélos, rapport $\dfrac{3\,600}{3\,000} = 1{,}2$ . Additivement, c’est la deuxième ville qui a ajouté le plus de vélos ; multiplicativement, c’est la première qui a le plus progressé (parc multiplié par $1{,}6$ , soit $+60\,\%$ , contre $+20\,\%$ ).
$5^{30} = \left(5^3\right)^{10} = 125^{10}$ et $2^{70} = \left(2^7\right)^{10} = 128^{10}$ . Le rapport $\dfrac{2^{70}}{5^{30}} = \left(\dfrac{128}{125}\right)^{10}$ est supérieur à $1$ car $\dfrac{128}{125} > 1$ : donc $2^{70} > 5^{30}$ .