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Seconde⏱ 50 minutes

Puissances, racines carrées et comparaisons — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour les exercices 1 à 4.

Exercice 1 (4 points) — Puissances

  1. Écris sous la forme d'une seule puissance de 77 : 7−2×7574\dfrac{7^{-2} \times 7^{5}}{7^{4}}. (1 point)
  2. Calcule K=34×2−362K = \dfrac{3^{4} \times 2^{-3}}{6^{2}} et donne le résultat sous forme de fraction irréductible. (1,5 point)
  3. Donne l'écriture scientifique de 9×10−3×4×1086×102\dfrac{9 \times 10^{-3} \times 4 \times 10^{8}}{6 \times 10^{2}}. (1,5 point)
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  1. 7−2×7574=7374=73−4=7−1\dfrac{7^{-2} \times 7^{5}}{7^{4}} = \dfrac{7^{3}}{7^{4}} = 7^{3 - 4} = 7^{-1}.
  2. 62=22×326^2 = 2^2 \times 3^2, donc K=34×2−322×32=34−2×2−3−2=32×2−5=932K = \dfrac{3^4 \times 2^{-3}}{2^2 \times 3^2} = 3^{4 - 2} \times 2^{-3 - 2} = 3^2 \times 2^{-5} = \dfrac{9}{32}. (99 et 3232 n'ont pas d'autre diviseur positif commun que 11 : la fraction est irréductible.)
  3. 9×46×10−3+8−2=6×103\dfrac{9 \times 4}{6} \times 10^{-3 + 8 - 2} = 6 \times 10^{3}.

Exercice 2 (4 points) — Une démonstration du cours

  1. Démontre que, pour tous réels positifs aa et bb, ab=a×b\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}. (2 points)
  2. Calcule 8×2\sqrt{8} \times \sqrt{2}, puis 32×52\sqrt{3^2 \times 5^2}. (1 point)
  3. Donne la valeur de (2−5)2\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2}, sachant que 5≈2,24\sqrt{5} \approx 2{,}24. (1 point)
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  1. Soient a⩾0a \geqslant 0 et b⩾0b \geqslant 0. Le nombre a×b\sqrt{a} \times \sqrt{b} est positif (produit de deux nombres positifs), et (a×b)2=(a)2×(b)2=ab\left(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\right)^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2 \times \left(\sqrt{b}\right)^2 = ab. Comme ab\sqrt{ab} est l'unique nombre positif dont le carré vaut abab, on a a×b=ab\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}.
  2. 8×2=16=4\sqrt{8} \times \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4.   32×52=32×52=3×5=15\;\sqrt{3^2 \times 5^2} = \sqrt{3^2} \times \sqrt{5^2} = 3 \times 5 = 15.
  3. (2−5)2=∣2−5∣\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = \left|2 - \sqrt{5}\right|. Comme 5≈2,24>2\sqrt{5} \approx 2{,}24 > 2, le nombre 2−52 - \sqrt{5} est négatif : ∣2−5∣=5−2\left|2 - \sqrt{5}\right| = \sqrt{5} - 2.

Exercice 3 (4 points) — Simplifications

  1. Écris L=18+50−32L = \sqrt{18} + \sqrt{50} - \sqrt{32} sous la forme a2a\sqrt{2}. (1,5 point)
  2. Développe et réduis M=(3−2)2M = \left(3 - \sqrt{2}\right)^2. (1,5 point)
  3. Montre que N=(7+3)(7−3)N = \left(\sqrt{7} + \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{7} - \sqrt{3}\right) est un entier. (1 point)
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  1. 18=32\sqrt{18} = 3\sqrt{2}, 50=52\sqrt{50} = 5\sqrt{2}, 32=42\sqrt{32} = 4\sqrt{2}, donc L=32+52−42=42L = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2}.
  2. M=32−2×3×2+(2)2=9−62+2=11−62M = 3^2 - 2 \times 3 \times \sqrt{2} + \left(\sqrt{2}\right)^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2}.
  3. N=(7)2−(3)2=7−3=4N = \left(\sqrt{7}\right)^2 - \left(\sqrt{3}\right)^2 = 7 - 3 = 4 : c'est un entier.

Exercice 4 (4 points) — Comparaisons

  1. Le prix d'un abonnement passe de 2525 € à 3030 € par mois. Compare ces deux prix de façon additive, puis multiplicative ; traduis le rapport en pourcentage. (2 points)
  2. Compare 3403^{40} et 4304^{30}, en justifiant (indication : écris-les comme des puissances 1010-ièmes). (2 points)
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  1. Additivement : 30−25=530 - 25 = 5, l'abonnement coûte 55 € de plus par mois. Multiplicativement : 3025=1,2\dfrac{30}{25} = 1{,}2, le prix a été multiplié par 1,21{,}2, soit une hausse de 20 %20\,\%.
  2. 340=(34)10=81103^{40} = \left(3^4\right)^{10} = 81^{10} et 430=(43)10=64104^{30} = \left(4^3\right)^{10} = 64^{10}. Le rapport 340430=(8164)10\dfrac{3^{40}}{4^{30}} = \left(\dfrac{81}{64}\right)^{10} est supérieur à 11 car 8164>1\dfrac{81}{64} > 1 : donc 340>4303^{40} > 4^{30}.

Exercice 5 (4 points) — Placement

Un capital de 1 0001\,000 € est placé à intérêts composés : il est multiplié par 1,041{,}04 chaque année.

  1. Exprime le capital au bout de nn années. (1 point)
  2. On considère la fonction Python suivante :
def annees():
    n = 0
    while 1000 * 1.04 ** n <= 1500:
        n = n + 1
    return n

a. Que représente le nombre renvoyé par cette fonction, dans le contexte ? (1,5 point) b. Sachant que 1,0410≈1,4801{,}04^{10} \approx 1{,}480 et 1,0411≈1,5391{,}04^{11} \approx 1{,}539, quel nombre renvoie-t-elle ? (1,5 point)

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  1. Au bout de nn années, le capital vaut 1 000×1,04n1\,000 \times 1{,}04^{n} euros.
  2. a. La boucle continue tant que le capital reste inférieur ou égal à 1 5001\,500 € : la fonction renvoie le nombre d'années au bout duquel le capital dépasse pour la première fois 1 5001\,500 €. b. Au bout de 1010 ans : 1 000×1,0410≈1 4801\,000 \times 1{,}04^{10} \approx 1\,480 € ⩽1 500\leqslant 1\,500 € ; au bout de 1111 ans : ≈1 539\approx 1\,539 € >1 500> 1\,500 €. La fonction renvoie 11.