Seconde⏱ 7 séances

Puissances, racines carrées et comparaisons

Ce que tu vas apprendre

Utiliser les règles de calcul sur les puissances d'exposant entier relatif
Estimer un ordre de grandeur et calculer en écriture scientifique
Programmer la recherche de la première puissance qui dépasse un seuil
Utiliser les règles de calcul sur les racines carrées, dont √(a²) = |a|
Démontrer que √(ab) = √a × √b pour a et b positifs
Écrire une racine carrée sous la forme a√b et simplifier des expressions
Comparer deux quantités par leur différence ou par leur rapport, et interpréter

Notions cléspuissance d'exposant entier relatifécriture scientifique, ordre de grandeurracine carrée, √(a²) = |a|√(ab) = √a × √bforme a√bcomparaison additive, comparaison multiplicative

Ce que tu sais déjà. Les règles des puissances d’exposant positif (4e — Puissances), les exposants négatifs, l’écriture scientifique et les préfixes (3e — Puissances et notation scientifique), la définition de la racine carrée (4e — Racine carrée) et la valeur absolue (Seconde — Ensembles de nombres). Ce chapitre rassemble toutes les règles de calcul, les démontre quand c’est exigé, et apprend à comparer deux quantités.

1. Puissances d’exposant entier relatif

Définitions. Soit $a$ un réel et $n$ un entier naturel non nul.

$a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}$ , et $a^1 = a$ .
Si $a \neq 0$ : $a^0 = 1$ et $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ (l’inverse de $a^n$ ).

Propriétés. Pour tous réels $a$ et $b$ non nuls et tous entiers relatifs $n$ et $p$ :

Règle	Exemple
$a^n \times a^p = a^{n+p}$	$2^3 \times 2^{-5} = 2^{-2} = \dfrac{1}{4}$
$\dfrac{a^n}{a^p} = a^{n-p}$	$\dfrac{10^4}{10^{-2}} = 10^{6}$
$(a^n)^p = a^{n \times p}$	$(3^{-2})^3 = 3^{-6}$
$(a \times b)^n = a^n \times b^n$	$6^3 = 2^3 \times 3^3$
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$	$\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2} = \dfrac{4}{25}$

Pourquoi on additionne les exposants : 2³ × 2² met bout à bout 3 facteurs puis 2 facteurs, soit 5 facteurs égaux à 2.

Attention aux pièges classiques.

$(-3)^4 = 81$ mais $-3^4 = -(3^4) = -81$ : sans parenthèses, l’exposant ne porte que sur le $3$ .
$2^3 + 2^2 \neq 2^5$ : il n’y a pas de règle pour la somme de deux puissances ( $8 + 4 = 12$ , alors que $2^5 = 32$ ).
$a^{-n}$ n’est pas un nombre négatif : $2^{-3} = \dfrac{1}{8} > 0$ .

📋 Méthode — Simplifier une expression avec des puissances

Décomposer chaque nombre en puissances de nombres plus petits quand c’est possible ( $4 = 2^2$ , $6 = 2 \times 3$ , $0{,}01 = 10^{-2}$ …).
Regrouper les puissances d’un même nombre, puis appliquer les règles du tableau.
Écrire le résultat sous la forme demandée (entier, fraction irréductible, puissance…).

Exemple. $A = \dfrac{6^3 \times 2^{-2}}{3^4}$ . On écrit $6^3 = 2^3 \times 3^3$ : $A = \dfrac{2^3 \times 3^3 \times 2^{-2}}{3^4} = 2^{3 - 2} \times 3^{3 - 4} = 2^1 \times 3^{-1} = \dfrac{2}{3}$ .

→ S’entraîner : Exercice 1 · Exercice 2

2. Écriture scientifique et ordres de grandeur

Rappel. Tout réel positif non nul s’écrit de façon unique $a \times 10^n$ avec $1 \leqslant a < 10$ et $n$ entier relatif : c’est son écriture scientifique. L’ordre de grandeur d’un nombre est la puissance de $10$ la plus proche.

📋 Méthode — Calculer en écriture scientifique

Regrouper d’un côté les nombres « ordinaires », de l’autre les puissances de $10$ .
Calculer chaque groupe (règles des puissances pour les puissances de $10$ ).
Réajuster pour que le premier facteur soit entre $1$ (inclus) et $10$ (exclu).

Exemple. $(3 \times 10^5) \times (4 \times 10^{-2}) = (3 \times 4) \times 10^{5 - 2} = 12 \times 10^3 = 1{,}2 \times 10^4$ .

Exemple (ordre de grandeur, sans calculatrice). La lumière parcourt environ $3 \times 10^5$ km par seconde, et le Soleil est à environ $1{,}5 \times 10^8$ km de la Terre. La lumière du Soleil met donc $\dfrac{1{,}5 \times 10^8}{3 \times 10^5} = 0{,}5 \times 10^3 = 500$ secondes pour nous parvenir, soit un peu plus de $8$ minutes.

Remarque. Estimer un ordre de grandeur avant de calculer permet de repérer une erreur de calculatrice : c’est un réflexe à acquérir (il fait partie des automatismes du programme).

→ S’entraîner : Exercice 3

3. Première puissance qui dépasse un seuil

Quand on multiplie une quantité par le même nombre à chaque étape (doublement d’une population, placement à intérêts composés…), on obtient des puissances. Une question naturelle : à partir de quelle étape dépasse-t-on un seuil ?

La fonction Python ci-dessous renvoie le plus petit entier $n$ tel que $q^n$ dépasse strictement seuil (pour $q > 1$ ) :

def premiere_puissance(q, seuil):
    n = 0
    while q ** n <= seuil:
        n = n + 1
    return n

print(premiere_puissance(2, 1000))   # affiche 10, car 2**9 = 512 et 2**10 = 1024

Exemple. Un capital est multiplié par $1{,}05$ chaque année (placement à $5\,\%$ ). premiere_puissance(1.05, 2) renvoie 15 : le capital aura plus que doublé au bout de $15$ ans ( $1{,}05^{14} \approx 1{,}98$ et $1{,}05^{15} \approx 2{,}08$ ).

Remarque. Si $0 < q < 1$ , les puissances de $q$ diminuent : on cherche alors la première puissance inférieure à un seuil, en remplaçant la condition par q ** n >= seuil.

→ S’entraîner : Exercice 4

4. Règles de calcul sur les racines carrées

Rappel. Pour $a \geqslant 0$ , $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ : $\sqrt{a} \geqslant 0$ et $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$ .

Propriété. Pour tout réel $a$ : $\sqrt{a^2} = |a|$ .

Exemple. $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|$ : on ne retrouve pas $-5$ , car une racine carrée est toujours positive. C’est là que sert la valeur absolue vue au chapitre précédent.

Propriétés. Pour tous réels $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$ :

$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \qquad \text{et, si } b > 0, \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.$

🧠 Démonstration (exigible au programme) — Pour a et b positifs, √(ab) = √a × √b

Soient $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$ . Le nombre $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ est :

positif, comme produit de deux nombres positifs ;
de carré égal à $ab$ : $\left(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\right)^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2 \times \left(\sqrt{b}\right)^2 = a \times b$ .

Or, par définition, $\sqrt{ab}$ est l’unique nombre positif dont le carré vaut $ab$ . Donc $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ .

Attention. Il n’y a pas de règle de ce type pour l’addition : en général, $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ . Contre-exemple : $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ , alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ .

Dans un triangle rectangle de côtés 3 et 4, l'hypoténuse mesure √(9 + 16) = 5, alors que le trajet par les deux côtés mesure √9 + √16 = 7.

→ S’entraîner : Exercice 5

5. Simplifier des écritures avec des racines carrées

Écrire une racine sous la forme $a\sqrt{b}$ . On fait apparaître sous la racine un carré parfait ( $4, 9, 16, 25, 36, 49\ldots$ ), puis on utilise $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ .

Exemple. $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ .

📋 Méthode — Réduire une somme de racines carrées

Écrire chaque racine sous la forme $a\sqrt{b}$ avec le plus petit entier $b$ possible.
Regrouper les termes qui ont la même racine, comme des termes semblables en calcul littéral : $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ (comme $3x + 5x = 8x$ ).
Des racines différentes ( $\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$ ) ne se regroupent pas.

Exemple. $\sqrt{8} + 3\sqrt{2} - \sqrt{50} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = 0$ .

Exemple (développer). Les règles du calcul littéral s’appliquent : $\left(1 + \sqrt{2}\right)^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}$ , et $\left(\sqrt{3} - 1\right)\left(\sqrt{3} + 1\right) = 3 - 1 = 2$ .

Pour aller plus loin. Le dernier exemple permet de faire disparaître une racine d’un dénominateur : $\dfrac{2}{\sqrt{3} - 1} = \dfrac{2\left(\sqrt{3} + 1\right)}{\left(\sqrt{3} - 1\right)\left(\sqrt{3} + 1\right)} = \dfrac{2\left(\sqrt{3} + 1\right)}{2} = \sqrt{3} + 1$ .

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7

6. Comparer deux quantités : différence ou rapport

Pour comparer deux quantités $a$ et $b$ , on peut calculer :

leur différence $b - a$ : c’est une comparaison additive (« $b$ , c’est $a$ plus tant ») ;
leur rapport $\dfrac{b}{a}$ , quand $a$ et $b$ sont strictement positifs : c’est une comparaison multiplicative (« $b$ , c’est $a$ multiplié par tant »).

Un prix passe de 40 € à 50 € : il augmente de 10 € (comparaison additive) ou est multiplié par 1,25 (comparaison multiplicative).

Propriété. Pour $a > 0$ et $b > 0$ : $b > a \iff \dfrac{b}{a} > 1$ . Comparer le rapport à $1$ permet de comparer deux nombres positifs, même très grands.

Exemple (interpréter). Une chaîne vidéo A passe de $1\,200$ à $1\,800$ abonnés, une chaîne B de $40\,000$ à $44\,000$ . Additivement, B a gagné plus d’abonnés ( $+4\,000$ contre $+600$ ). Multiplicativement, A a progressé bien plus vite ( $\dfrac{1\,800}{1\,200} = 1{,}5$ contre $\dfrac{44\,000}{40\,000} = 1{,}1$ ). Les deux comparaisons sont justes : le contexte dit laquelle est pertinente.

Exemple (comparer de grands nombres). Qui est le plus grand, $2^{40}$ ou $3^{25}$ ? On écrit $2^{40} = \left(2^8\right)^5 = 256^5$ et $3^{25} = \left(3^5\right)^5 = 243^5$ . Le rapport $\dfrac{2^{40}}{3^{25}} = \left(\dfrac{256}{243}\right)^5$ est supérieur à $1$ , car $\dfrac{256}{243} > 1$ : donc $2^{40} > 3^{25}$ .

→ S’entraîner : Exercice 8