Seconde

Proportions, pourcentages et évolutions — Exercices d'application

1. Proportion d’une sous-population

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Exercice 1 — ⭐

Un club compte $250$ adhérents, dont $90$ mineurs. Quelle est la proportion de mineurs ?
Dans un collège de $640$ élèves, $12{,}5\,\%$ viennent à vélo. Combien d’élèves cela représente-t-il ?
Dans une classe, $9$ élèves ont choisi l’option théâtre, ce qui représente $25\,\%$ de la classe. Combien la classe compte-t-elle d’élèves ?

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$p = \dfrac{90}{250} = 0{,}36$ , soit $36\,\%$ .
$0{,}125 \times 640 = 80$ élèves.
$n_E = \dfrac{9}{0{,}25} = 36$ élèves.

2. Proportion de proportion

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Exercice 2 — ⭐⭐

Dans une entreprise, $40\,\%$ des salariés sont cadres, et $30\,\%$ des cadres sont des femmes. Quelle proportion des salariés sont des femmes cadres ?
Dans une population, la moitié des personnes sont des hommes, et $8\,\%$ de la population est constituée d’hommes gauchers. Quelle est la proportion de gauchers parmi les hommes ?
Un journal écrit : « $30\,\%$ des cadres sont des femmes, donc $30\,\%$ des femmes sont cadres ». Qu’en penses-tu ?

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$0{,}3 \times 0{,}4 = 0{,}12$ : $12\,\%$ des salariés sont des femmes cadres.
On cherche $p'$ tel que $p' \times 0{,}5 = 0{,}08$ : $p' = \dfrac{0{,}08}{0{,}5} = 0{,}16$ , soit $16\,\%$ des hommes.
C’est faux en général : la population de référence change (« parmi les cadres » ou « parmi les femmes »). Par exemple, si l’entreprise compte $1\,000$ salariés dont $500$ femmes : $120$ femmes cadres représentent $30\,\%$ des $400$ cadres, mais $\dfrac{120}{500} = 24\,\%$ des femmes.

3. Évolution et coefficient multiplicateur

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Exercice 3 — ⭐

Donne le coefficient multiplicateur associé à : $+7\,\%$ ; $-12\,\%$ ; $+150\,\%$ ; $-3{,}5\,\%$ .
Traduis chaque coefficient multiplicateur en taux d’évolution : $1{,}035$ ; $0{,}6$ ; $2$ ; $0{,}99$ .

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$1{,}07$ ; $0{,}88$ ; $2{,}5$ ; $0{,}965$ .
$1{,}035$ : $+3{,}5\,\%$ ; $0{,}6$ : $-40\,\%$ ; $2$ : $+100\,\%$ (la valeur double) ; $0{,}99$ : $-1\,\%$ .

Exercice 4 — ⭐⭐

Le prix d’un casque passe de $65$ € à $52$ €. Calcule la variation absolue, le taux d’évolution et le coefficient multiplicateur.
Pendant les soldes, un manteau est affiché à $42$ € après une remise de $30\,\%$ . Quel était son prix initial ?
Une ville de $12\,500$ habitants voit sa population augmenter de $4\,\%$ . Combien a-t-elle d’habitants ?

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Variation absolue : $52 - 65 = -13$ €. Taux : $\dfrac{-13}{65} = -0{,}2$ , soit $-20\,\%$ . $CM = \dfrac{52}{65} = 0{,}8$ .
$V_D \times 0{,}7 = 42$ , donc $V_D = \dfrac{42}{0{,}7} = 60$ €.
$12\,500 \times 1{,}04 = 13\,000$ habitants.

4. Évolutions successives

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Exercice 5 — ⭐⭐

Détermine le taux d’évolution global dans chaque cas :

deux hausses successives de $10\,\%$ ;
une baisse de $30\,\%$ suivie d’une hausse de $30\,\%$ ;
une hausse de $5\,\%$ , puis une baisse de $10\,\%$ , puis une hausse de $20\,\%$ .

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$CM = 1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21$ : $+21\,\%$ .
$CM = 0{,}7 \times 1{,}3 = 0{,}91$ : $-9\,\%$ (on ne revient pas au départ).
$CM = 1{,}05 \times 0{,}9 \times 1{,}2 = 1{,}134$ : $+13{,}4\,\%$ .

5. Évolution réciproque

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Exercice 6 — ⭐⭐

Après une baisse de $40\,\%$ , quelle hausse faut-il pour revenir à la valeur de départ ? (Arrondis au dixième de pourcent.)
Quelle est l’évolution réciproque d’une hausse de $60\,\%$ ?
Vrai ou faux : « une baisse de $50\,\%$ est compensée par une hausse de $50\,\%$ » ?

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$CM' = \dfrac{1}{0{,}6} = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}667$ : une hausse d’environ $66{,}7\,\%$ .
$CM' = \dfrac{1}{1{,}6} = 0{,}625$ : une baisse de $37{,}5\,\%$ .
Faux : $0{,}5 \times 1{,}5 = 0{,}75$ , on perd encore $25\,\%$ . Pour compenser une baisse de $50\,\%$ , il faut doubler : $+100\,\%$ .

6. Comparer des évolutions

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Exercice 7 — ⭐⭐

Le taux de chômage d’une région passe de $8\,\%$ à $7\,\%$ . Exprime cette évolution en points de pourcentage, puis en pourcentage.
Le magasin A passe d’un chiffre d’affaires de $40\,000$ € à $50\,000$ € ; le magasin B, de $150\,000$ € à $165\,000$ €. Lequel a le plus progressé ? Réponds de deux façons.

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Baisse de $1$ point ; en taux : $\dfrac{7 - 8}{8} = -0{,}125$ , soit une baisse de $12{,}5\,\%$ .
Comparaison additive : A gagne $10\,000$ €, B gagne $15\,000$ € : B a davantage progressé. Comparaison multiplicative : A progresse de $\dfrac{10\,000}{40\,000} = 25\,\%$ , B de $\dfrac{15\,000}{150\,000} = 10\,\%$ : A a davantage progressé en proportion.

7. Évolutions répétées et seuil en Python

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Exercice 8 — ⭐⭐

On reprend la fonction seuil du cours.

Fais tourner à la main seuil(100, 0.5, 400) en notant les valeurs successives de valeur et n. Que renvoie la fonction ?
Écris une fonction seuil_baisse(valeur, taux, cible) qui renvoie le nombre d’années nécessaires pour qu’une quantité qui baisse de taux chaque année devienne inférieure ou égale à cible.
Une voiture perd $10\,\%$ de sa valeur chaque année. Au bout de combien d’années aura-t-elle perdu au moins la moitié de sa valeur ? (On admet que $0{,}9^6 \approx 0{,}531$ et $0{,}9^7 \approx 0{,}478$ .)

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valeur : $100 \to 150 \to 225 \to 337{,}5 \to 506{,}25$ ; n : $0 \to 1 \to 2 \to 3 \to 4$ . La boucle s’arrête quand valeur $\geqslant 400$ : la fonction renvoie 4.

def seuil_baisse(valeur, taux, cible):
    n = 0
    while valeur > cible:
        valeur = valeur * (1 - taux)
        n = n + 1
    return n

Il faut $0{,}9^n \leqslant 0{,}5$ . Comme $0{,}9^6 \approx 0{,}531 > 0{,}5$ et $0{,}9^7 \approx 0{,}478 \leqslant 0{,}5$ : au bout de $7$ ans. (seuil_baisse(100, 0.1, 50) renvoie 7.)

Exercice 9 — ⭐⭐⭐

Un prix a augmenté de $21\,\%$ en deux ans. Montre que cela correspond à deux hausses annuelles identiques de $10\,\%$ .
Une population a augmenté de $44\,\%$ en deux ans, avec le même taux $t$ chaque année. Détermine $t$ .
Un élève affirme : « $+44\,\%$ en deux ans, c’est $+22\,\%$ par an ». Calcule l’évolution réelle obtenue avec deux hausses de $22\,\%$ et conclus.

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$1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21$ : deux hausses de $10\,\%$ donnent bien $+21\,\%$ .
On cherche $t > 0$ tel que $(1 + t)^2 = 1{,}44$ . Comme $1 + t > 0$ , $1 + t = \sqrt{1{,}44} = 1{,}2$ , donc $t = 0{,}2$ : $20\,\%$ par an.
$1{,}22^2 = 1{,}4884$ : cela donnerait $+48{,}84\,\%$ , et non $+44\,\%$ . L’élève a divisé le taux par $2$ , comme si les taux s’additionnaient : c’est faux.