Proportions, pourcentages et évolutions

Ce que tu sais déjà. Tu sais calculer un pourcentage et appliquer une hausse ou une baisse (4e — Proportionnalité, rapports et pourcentages). Tu as vu en Seconde qu’on peut comparer deux quantités par leur différence ou par leur rapport (Seconde — Puissances, racines carrées et comparaisons). Ce chapitre donne un outil unique pour tout traiter : le coefficient multiplicateur.

1. Proportion d’une sous-population

Définition. Soit $E$ une population d’effectif $n_E$ et $A$ une sous-population de $E$ d’effectif $n_A$. La proportion (ou fréquence) de $A$ dans $E$ est

$$p = \frac{n_A}{n_E}.$$

C’est un nombre compris entre $0$ et $1$. On l’exprime souvent en pourcentage : $p = 0{,}35$ se lit « $35\,\%$ ».

Conséquence. $n_A = p \times n_E$ et $n_E = \dfrac{n_A}{p}$ : connaissant deux des trois nombres, on retrouve le troisième.

Exemples.

• Un lycée compte $1\,200$ élèves, dont $420$ en Seconde : $p = \dfrac{420}{1\,200} = 0{,}35 = 35\,\%$.
• $18\,\%$ de ces $1\,200$ élèves sont demi-pensionnaires : $0{,}18 \times 1\,200 = 216$ élèves.
• $45$ élèves représentent $15\,\%$ d’un niveau : ce niveau compte $\dfrac{45}{0{,}15} = 300$ élèves.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Proportion de proportion

Propriété. Si $B \subset A \subset E$, si $A$ représente une proportion $p_A$ de $E$ et si $B$ représente une proportion $p'$ de $A$, alors $B$ représente une proportion

$$p_B = p' \times p_A \quad\text{de } E.$$

Justification : $\dfrac{n_B}{n_E} = \dfrac{n_B}{n_A} \times \dfrac{n_A}{n_E}$.

Attention à la population de référence. « $25\,\%$ des filles font du latin » et « $25\,\%$ des latinistes sont des filles » ne disent pas du tout la même chose. Avant tout calcul, demande-toi : $25\,\%$ de qui ?

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Évolution et coefficient multiplicateur

Une quantité passe d’une valeur de départ $V_D$ à une valeur d’arrivée $V_A$ (avec $V_D > 0$).

Définitions.

• La variation absolue est $V_A - V_D$ (dans l’unité de la quantité).
• Le taux d’évolution (ou variation relative) est $t = \dfrac{V_A - V_D}{V_D}$ ; il s’exprime souvent en pourcentage. Si $t > 0$, c’est une hausse ; si $t < 0$, une baisse.
• Le coefficient multiplicateur est $CM = \dfrac{V_A}{V_D}$.

Propriété. $CM = 1 + t$, et donc $V_A = V_D \times (1 + t)$.

Justification : $1 + t = \dfrac{V_D}{V_D} + \dfrac{V_A - V_D}{V_D} = \dfrac{V_A}{V_D}$.

Lecture rapide. $CM > 1$ : hausse ; $CM < 1$ : baisse ; $CM = 1$ : pas d’évolution.

Exemples.

• Un prix passe de $80$ € à $92$ €. Variation absolue : $+12$ €. Taux : $\dfrac{12}{80} = 0{,}15$, soit $+15\,\%$. Coefficient multiplicateur : $1{,}15$.
• Un article à $45$ € baisse de $30\,\%$ : nouveau prix $45 \times 0{,}7 = 31{,}50$ €.
• Après une hausse de $20\,\%$, un article coûte $54$ €. Prix initial : $\dfrac{54}{1{,}2} = 45$ € (et pas $54 - 20\,\%$ de $54$).

→ S’entraîner : Exercice 3 · Exercice 4

4. Évolutions successives

Propriété. Si une quantité subit une évolution de coefficient $CM_1$, puis une évolution de coefficient $CM_2$, l’évolution globale a pour coefficient multiplicateur

$$CM = CM_1 \times CM_2.$$

Justification : $V_1 = V_D \times CM_1$, puis $V_A = V_1 \times CM_2 = V_D \times (CM_1 \times CM_2)$.

Les taux ne s’additionnent pas. Deux hausses de $10\,\%$ donnent $CM = 1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21$, soit $+21\,\%$ et non $+20\,\%$ : la seconde hausse s’applique à une valeur déjà augmentée.

→ S’entraîner : Exercice 5

5. Évolution réciproque

Définition. L’évolution réciproque d’une évolution est celle qui permet de revenir à la valeur de départ.

Propriété. Si une évolution a pour coefficient $CM$, son évolution réciproque a pour coefficient $\dfrac{1}{CM}$. Son taux est $t' = \dfrac{1}{1 + t} - 1$.

Exemple. Une action perd $20\,\%$ ($CM = 0{,}8$). Pour retrouver sa valeur, elle doit être multipliée par $\dfrac{1}{0{,}8} = 1{,}25$ : il faut une hausse de $25\,\%$.

→ S’entraîner : Exercice 6

6. Comparer des évolutions

Deux façons de comparer des évolutions (on retrouve la comparaison additive et multiplicative) :

• additive : on compare les variations absolues $V_A - V_D$ ;
• multiplicative : on compare les taux (ou les coefficients multiplicateurs).

Exemple. L’entreprise A passe de $200$ à $260$ salariés ($+60$, soit $\times 1{,}3$, $+30\,\%$). L’entreprise B passe de $1\,000$ à $1\,100$ salariés ($+100$, soit $\times 1{,}1$, $+10\,\%$). En valeur absolue, B a davantage embauché ; en valeur relative, A a davantage progressé. Les deux affirmations sont vraies : il faut préciser le type de comparaison.

Point de pourcentage. Quand la quantité qui évolue est elle-même un pourcentage, on distingue :

• la variation absolue, en points de pourcentage ;
• le taux d’évolution, en pourcentage.

Exemple. Un taux de réussite passe de $12\,\%$ à $15\,\%$ : il augmente de $3$ points, ce qui représente une hausse de $\dfrac{15 - 12}{12} = 25\,\%$.

→ S’entraîner : Exercice 7

7. Évolutions répétées et seuil en Python

Si une quantité augmente de $t$ chaque année, après $n$ années elle est multipliée par $(1 + t)^n$. Pour savoir au bout de combien d’années elle dépasse un seuil, on peut utiliser une boucle while :

def seuil(valeur, taux, cible):
    n = 0
    while valeur < cible:
        valeur = valeur * (1 + taux)
        n = n + 1
    return n

Exemple. Un capital de $1\,000$ € placé à $3\,\%$ par an. seuil(1000, 0.03, 2000) renvoie 24 : le capital double au bout de $24$ ans. En effet, $1{,}03^{23} \approx 1{,}97 < 2$ et $1{,}03^{24} \approx 2{,}03 \geqslant 2$.

Pour une baisse, on adapte la condition : on répète tant que la valeur est au-dessus du seuil (while valeur > cible:), avec un taux négatif.

→ S’entraîner : Exercice 8 · Exercice 9

À retenir.

• Proportion : $p = \dfrac{n_A}{n_E}$ ; proportion de proportion : on multiplie.
• Évolution de taux $t$ : $CM = 1 + t$ et $V_A = V_D \times CM$.
• Évolutions successives : on multiplie les coefficients (les taux ne s’additionnent pas).
• Évolution réciproque : coefficient $\dfrac{1}{CM}$.
• Pourcentage d’un pourcentage : variation en points ≠ taux d’évolution en %.