Seconde⏱ 50 minutes

Proportions, pourcentages et évolutions — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Un lycée compte $900$ élèves. $40\,\%$ d'entre eux sont en Seconde, et $15\,\%$ des élèves de Seconde suivent l'option cinéma.

Combien d'élèves sont en Seconde ? (1 point)
Combien d'élèves de Seconde suivent l'option cinéma ? (1 point)
Quelle proportion des élèves du lycée cela représente-t-il ? Donne deux méthodes. (2 points)

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$0{,}4 \times 900 = 360$ élèves.
$0{,}15 \times 360 = 54$ élèves.
Méthode 1 (effectifs) : $\dfrac{54}{900} = 0{,}06$ . Méthode 2 (proportion de proportion) : $0{,}15 \times 0{,}4 = 0{,}06$ . Cela représente $6\,\%$ des élèves du lycée.

Un abonnement passe de $250$ € à $290$ €. Calcule la variation absolue, le taux d'évolution et le coefficient multiplicateur. (2 points)
Après une baisse de $35\,\%$ , un vélo coûte $78$ €. Quel était son prix initial ? (2 points)

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Variation absolue : $290 - 250 = +40$ €. Taux : $\dfrac{40}{250} = 0{,}16$ , soit $+16\,\%$ . $CM = \dfrac{290}{250} = 1{,}16$ .
$CM = 1 - 0{,}35 = 0{,}65$ et $V_D \times 0{,}65 = 78$ , donc $V_D = \dfrac{78}{0{,}65} = \dfrac{7\,800}{65} = 120$ €.

Un prix augmente de $25\,\%$ , puis baisse de $20\,\%$ . Quelle est l'évolution globale ? (1,5 point)
Un loyer augmente de $10\,\%$ deux années de suite, puis baisse de $10\,\%$ la troisième année. Calcule le taux d'évolution global sur les trois ans. (2,5 points)

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$CM = 1{,}25 \times 0{,}8 = 1$ : le prix revient exactement à sa valeur de départ ( $0\,\%$ ).
$CM = 1{,}1 \times 1{,}1 \times 0{,}9 = 1{,}21 \times 0{,}9 = 1{,}089$ : hausse globale de $8{,}9\,\%$ .

Un indice boursier a baissé de $20\,\%$ . De quel pourcentage doit-il augmenter pour retrouver sa valeur initiale ? (1,5 point)
Le taux de participation à une élection passe de $20\,\%$ à $25\,\%$ . Un journaliste écrit « la participation a augmenté de $5\,\%$ ». Corrige cette phrase de deux façons. (2,5 points)

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$CM' = \dfrac{1}{0{,}8} = 1{,}25$ : il doit augmenter de $25\,\%$ .
« La participation a augmenté de $5$ points » ou « la participation a augmenté de $\dfrac{25 - 20}{20} = 25\,\%$ ».

On considère la fonction :

def seuil(valeur, taux, cible):
    n = 0
    while valeur < cible:
        valeur = valeur * (1 + taux)
        n = n + 1
    return n

Fais tourner à la main seuil(1000, 0.1, 1500) : donne les valeurs successives de valeur et de n, puis ce que renvoie la fonction. (3 points)
Interprète le résultat pour un capital de $1\,000$ € placé à $10\,\%$ par an. (1 point)

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valeur 1000 1100 1210 1331 1464,1 1610,51
n 0 1 2 3 4 5

La boucle s'arrête dès que valeur $\geqslant 1\,500$ , c'est-à-dire après $5$ passages : la fonction renvoie 5. (À l'écran, Python peut afficher 1464.1000000000001 à cause des arrondis des nombres à virgule ; cela ne change pas le résultat.)
Un capital de $1\,000$ € placé à $10\,\%$ par an dépasse $1\,500$ € au bout de $5$ ans (il vaut alors $1\,610{,}51$ €, alors qu'il ne valait que $1\,464{,}10$ € au bout de $4$ ans).