Seconde

Probabilités sur un ensemble fini — Exercices d'application

1. Univers et loi de probabilité

Exercice 1 — ⭐

Une urne contient $3$ boules rouges, $5$ boules bleues et $2$ boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard et on note sa couleur.

Quel est l’univers de cette expérience ?
Donne la loi de probabilité sous forme de tableau, et vérifie que la somme vaut $1$ .
Les couleurs sont-elles équiprobables ?

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$\Omega = \{\text{rouge}\,;\,\text{bleu}\,;\,\text{vert}\}$ .
Couleur rouge bleu vert
Probabilité $0{,}3$ $0{,}5$ $0{,}2$

$0{,}3 + 0{,}5 + 0{,}2 = 1$ . ✓
Non : les boules sont équiprobables (probabilité $\dfrac{1}{10}$ chacune), mais pas les couleurs.

Couleur	rouge	bleu	vert
Probabilité	$0{,}3$	$0{,}5$	$0{,}2$

2. Événements et probabilité d’un événement

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Exercice 2 — ⭐⭐

Un dé à six faces est truqué : les faces $1$ à $5$ ont la même probabilité $p$ , et la face $6$ a une probabilité trois fois plus grande.

Calcule $p$ , puis la probabilité d’obtenir $6$ .
Calcule la probabilité d’obtenir un nombre pair.
Calcule la probabilité d’obtenir un nombre inférieur ou égal à $2$ .

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$5p + 3p = 1$ , donc $8p = 1$ et $p = \dfrac18$ . $P(\{6\}) = \dfrac38$ .
$P(\{2\,;\,4\,;\,6\}) = \dfrac18 + \dfrac18 + \dfrac38 = \dfrac58$ .
$P(\{1\,;\,2\}) = \dfrac18 + \dfrac18 = \dfrac14$ .

3. Équiprobabilité

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Exercice 3 — ⭐

On choisit au hasard une lettre du mot ANANAS. Quelle est la probabilité que ce soit un A ? un N ?
On choisit au hasard un nombre entier entre $1$ et $30$ (inclus). Quelle est la probabilité qu’il soit un multiple de $4$ ? un multiple de $3$ ?
Pourquoi, avec deux dés, la probabilité d’obtenir une somme de $12$ n’est-elle pas $\dfrac{1}{11}$ ?

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$6$ lettres équiprobables, dont $3$ A et $2$ N : $P(A) = \dfrac36 = \dfrac12$ et $P(N) = \dfrac26 = \dfrac13$ .
Multiples de $4$ : $4, 8, \ldots, 28$ , soit $7$ nombres : $\dfrac{7}{30}$ . Multiples de $3$ : $10$ nombres : $\dfrac{10}{30} = \dfrac13$ .
Les $11$ sommes possibles ( $2$ à $12$ ) ne sont pas équiprobables. Les issues équiprobables sont les $36$ couples de faces ; une seule donne $12$ : $P = \dfrac{1}{36}$ .

4. Contraire, intersection, réunion

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Exercice 4 — ⭐⭐

On tire au hasard une carte d’un jeu de $32$ cartes (valeurs $7, 8, 9, 10$ , valet, dame, roi, as, dans chacune des $4$ couleurs). On considère $R$ : « tirer un roi » et $T$ : « tirer un trèfle ».

Décris par une phrase les événements $\overline{R}$ , $R \cap T$ et $R \cup T$ .
Calcule $P(R)$ , $P(T)$ , $P(\overline{R})$ et $P(R \cap T)$ .
$R$ et $T$ sont-ils incompatibles ?

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$\overline{R}$ : « ne pas tirer un roi ». $R \cap T$ : « tirer le roi de trèfle ». $R \cup T$ : « tirer un roi ou un trèfle (ou les deux) ».
$P(R) = \dfrac{4}{32} = \dfrac18$ ; $P(T) = \dfrac{8}{32} = \dfrac14$ ; $P(\overline{R}) = 1 - \dfrac18 = \dfrac78$ ; $P(R \cap T) = \dfrac{1}{32}$ .
Non : le roi de trèfle réalise les deux événements, $R \cap T \neq \varnothing$ .

5. Probabilité d’une réunion

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Exercice 5 — ⭐⭐

On reprend l’exercice 4. Calcule $P(R \cup T)$ de deux façons : en comptant les cartes, puis avec la formule.
$A$ et $B$ sont deux événements tels que $P(A) = 0{,}5$ , $P(B) = 0{,}4$ et $P(A \cup B) = 0{,}7$ . Calcule $P(A \cap B)$ . Les événements sont-ils incompatibles ?
$C$ et $D$ sont incompatibles, avec $P(C) = 0{,}3$ et $P(D) = 0{,}45$ . Calcule $P(C \cup D)$ et $P(\overline{C \cup D})$ .

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En comptant : $8$ trèfles et les $3$ autres rois, soit $11$ cartes : $\dfrac{11}{32}$ . Avec la formule : $\dfrac{4}{32} + \dfrac{8}{32} - \dfrac{1}{32} = \dfrac{11}{32}$ . ✓
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0{,}5 + 0{,}4 - 0{,}7 = 0{,}2$ . Comme $P(A \cap B) \neq 0$ , ils ne sont pas incompatibles.
$P(C \cup D) = 0{,}3 + 0{,}45 = 0{,}75$ et $P(\overline{C \cup D}) = 1 - 0{,}75 = 0{,}25$ .

Exercice 6 — ⭐⭐

Dans une classe de $40$ élèves, $18$ pratiquent le football, $15$ la natation et $7$ pratiquent les deux. On choisit un élève au hasard.

Représente la situation par un diagramme (deux ensembles qui se chevauchent) en indiquant les effectifs de chaque zone.
Calcule la probabilité que l’élève pratique au moins un des deux sports.
Calcule la probabilité qu’il ne pratique ni l’un ni l’autre.
Calcule la probabilité qu’il pratique la natation mais pas le football.

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Football seul : $18 - 7 = 11$ ; les deux : $7$ ; natation seule : $15 - 7 = 8$ ; aucun des deux : $40 - (11 + 7 + 8) = 14$ .
$P(F \cup N) = \dfrac{18}{40} + \dfrac{15}{40} - \dfrac{7}{40} = \dfrac{26}{40} = 0{,}65$ .
$1 - 0{,}65 = 0{,}35$ (soit $\dfrac{14}{40}$ ).
$\dfrac{8}{40} = 0{,}2$ .

6. Dénombrer avec un tableau ou un arbre

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Exercice 7 — ⭐⭐

On lance deux dés équilibrés et on s’intéresse à la somme des faces (tableau du cours).

Calcule la probabilité d’obtenir une somme égale à $8$ .
Calcule la probabilité d’obtenir une somme inférieure ou égale à $4$ .
Calcule la probabilité d’obtenir un double (deux faces identiques).
Calcule la probabilité d’obtenir une somme au moins égale à $3$ .

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Somme $8$ : $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ , soit $\dfrac{5}{36}$ .
Sommes $2$ , $3$ , $4$ : $1 + 2 + 3 = 6$ cases, soit $\dfrac{6}{36} = \dfrac16$ .
$6$ doubles : $\dfrac{6}{36} = \dfrac16$ .
Contraire : « somme égale à $2$ », de probabilité $\dfrac{1}{36}$ . Donc $1 - \dfrac{1}{36} = \dfrac{35}{36}$ .

Exercice 8 — ⭐⭐

Un restaurant propose un menu : une entrée (salade ou soupe), un plat (poisson, viande ou pâtes) et un dessert (fruit ou glace). Un client choisit chaque élément au hasard.

Construis un arbre et donne le nombre de menus possibles.
Quelle est la probabilité que le client choisisse le menu salade – poisson – glace ?
Quelle est la probabilité que son menu contienne de la salade et du poisson ?
Quelle est la probabilité que son menu ne contienne pas de viande ?

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$2 \times 3 \times 2 = 12$ menus.
Un seul menu sur $12$ : $\dfrac{1}{12}$ .
Salade – poisson – fruit et salade – poisson – glace : $\dfrac{2}{12} = \dfrac16$ .
Menus avec viande : $2 \times 1 \times 2 = 4$ . Sans viande : $12 - 4 = 8$ , soit $\dfrac{8}{12} = \dfrac23$ .

Exercice 9 — ⭐⭐⭐

Une urne contient deux boules rouges $R_1$ , $R_2$ et une boule bleue $B$ . On tire successivement deux boules.

Sans remise : on ne remet pas la première boule. Construis l’arbre et donne la liste des issues. Quelle est la probabilité de tirer deux boules rouges ?
Avec remise : on remet la première boule avant le second tirage. Même question.
Explique la différence entre les deux résultats.

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Issues : $(R_1, R_2)$ , $(R_1, B)$ , $(R_2, R_1)$ , $(R_2, B)$ , $(B, R_1)$ , $(B, R_2)$ , soit $3 \times 2 = 6$ issues équiprobables. Deux rouges : $(R_1, R_2)$ et $(R_2, R_1)$ , donc $\dfrac26 = \dfrac13$ .
Avec remise : $3 \times 3 = 9$ issues équiprobables. Deux rouges : $(R_1, R_1)$ , $(R_1, R_2)$ , $(R_2, R_1)$ , $(R_2, R_2)$ , donc $\dfrac49$ .
Sans remise, après une rouge, il ne reste qu’une rouge sur deux boules : il est moins probable d’en tirer une seconde. On a bien $\dfrac13 < \dfrac49$ .