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Seconde⏱ 50 minutes

Probabilités sur un ensemble fini — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Exercice 1 (4 points) — Loi de probabilité

Un dé tétraédrique (quatre faces numérotées de 11 à 44) est truqué :

Face1234
Probabilité0,10{,}10,30{,}30,20{,}2pp
  1. Calcule pp. (1 point)
  2. Calcule la probabilité d'obtenir un nombre pair. (1 point)
  3. AA est l'événement « obtenir au moins 33 ». Calcule P(A)P(A) puis P(A‾)P(\overline{A}). (2 points)
Voir le corrigé
  1. 0,1+0,3+0,2+p=10{,}1 + 0{,}3 + 0{,}2 + p = 1, donc p=0,4p = 0{,}4.
  2. P({2 ; 4})=0,3+0,4=0,7P(\{2\,;\,4\}) = 0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}7.
  3. A={3 ; 4}A = \{3\,;\,4\} : P(A)=0,2+0,4=0,6P(A) = 0{,}2 + 0{,}4 = 0{,}6 et P(A‾)=1−0,6=0,4P(\overline{A}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4 (on vérifie : P({1 ; 2})=0,1+0,3=0,4P(\{1\,;\,2\}) = 0{,}1 + 0{,}3 = 0{,}4 ✓).

Exercice 2 (4 points) — Cartes

On tire une carte au hasard dans un jeu de 3232 cartes. RR : « tirer un roi » ; KK : « tirer un pique ».

  1. Calcule P(R)P(R), P(K)P(K) et P(R∩K)P(R \cap K). (1,5 point)
  2. Calcule P(R∪K)P(R \cup K) et interprète par une phrase. (2,5 points)
Voir le corrigé
  1. P(R)=432=18P(R) = \dfrac{4}{32} = \dfrac18 ; P(K)=832=14P(K) = \dfrac{8}{32} = \dfrac14 ; P(R∩K)=132P(R \cap K) = \dfrac{1}{32} (le roi de pique).
  2. P(R∪K)=432+832−132=1132P(R \cup K) = \dfrac{4}{32} + \dfrac{8}{32} - \dfrac{1}{32} = \dfrac{11}{32} : c'est la probabilité de tirer un roi ou un pique (le roi de pique n'est compté qu'une fois).

Exercice 3 (4 points) — Deux dés

On lance deux dés équilibrés et on calcule le produit des deux faces.

  1. Construis le tableau à double entrée des produits. (1,5 point)
  2. Calcule la probabilité que le produit soit égal à 1212. (1 point)
  3. Calcule la probabilité que le produit soit pair. (1,5 point)
Voir le corrigé
  1. ×123456
    1123456
    224681012
    3369121518
    44812162024
    551015202530
    661218243036

  2. Produit 1212 : (2,6)(2,6), (3,4)(3,4), (4,3)(4,3), (6,2)(6,2), soit 436=19\dfrac{4}{36} = \dfrac19.

  3. Le produit est impair seulement si les deux faces sont impaires : 3×3=93 \times 3 = 9 cases. Donc P(produit pair)=1−936=2736=34P(\text{produit pair}) = 1 - \dfrac{9}{36} = \dfrac{27}{36} = \dfrac34.

Exercice 4 (4 points) — Arbre

On lance trois fois une pièce équilibrée.

  1. Construis l'arbre et donne le nombre d'issues. (1,5 point)
  2. Calcule la probabilité d'obtenir exactement une fois pile. (1 point)
  3. Calcule la probabilité d'obtenir au moins une fois pile. (1,5 point)
Voir le corrigé
  1. 2×2×2=82 \times 2 \times 2 = 8 issues équiprobables : FFFFFF, FFPFFP, FPFFPF, FPPFPP, PFFPFF, PFPPFP, PPFPPF, PPPPPP.
  2. Exactement un pile : FFPFFP, FPFFPF, PFFPFF, soit 38\dfrac38.
  3. Contraire : « aucun pile » ={FFF}= \{FFF\}, de probabilité 18\dfrac18. Donc 1−18=781 - \dfrac18 = \dfrac78.

Exercice 5 (4 points) — Réunion et intersection

AA et BB sont deux événements tels que P(A)=0,6P(A) = 0{,}6, P(B)=0,5P(B) = 0{,}5 et P(A∩B)=0,3P(A \cap B) = 0{,}3.

  1. Calcule P(A∪B)P(A \cup B). (1,5 point)
  2. Calcule la probabilité que ni AA ni BB ne se réalise. (1 point)
  3. Calcule la probabilité que AA se réalise mais pas BB. (1,5 point)
Voir le corrigé
  1. P(A∪B)=0,6+0,5−0,3=0,8P(A \cup B) = 0{,}6 + 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}8.
  2. « Ni AA ni BB » est le contraire de A∪BA \cup B : 1−0,8=0,21 - 0{,}8 = 0{,}2.
  3. P(A)=P(A seul)+P(A∩B)P(A) = P(A \text{ seul}) + P(A \cap B), donc P(A seul)=0,6−0,3=0,3P(A \text{ seul}) = 0{,}6 - 0{,}3 = 0{,}3.