Probabilités sur un ensemble fini

Ce que tu sais déjà. Tu sais calculer une probabilité dans une situation d’équiprobabilité et utiliser l’événement contraire (4e — Probabilités, 3e — Événements et simulation). En Seconde, on formalise : l’expérience est décrite par un univers et une loi de probabilité, et on apprend à combiner des événements.

1. Univers et loi de probabilité

Définitions.

• Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, sans pouvoir prévoir lequel se produira.
• Les résultats possibles sont les issues. L’ensemble de toutes les issues est l’univers, noté $\Omega$. Ici, $\Omega$ est toujours un ensemble fini : $\Omega = \{x_1\,;\,x_2\,;\,\ldots\,;\,x_n\}$.
• Définir une loi de probabilité sur $\Omega$, c’est associer à chaque issue $x_i$ un nombre $p_i \geqslant 0$ (sa probabilité), de sorte que $$p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1.$$

Exemple (dé truqué). Un dé à six faces est truqué ainsi :

Face	1	2	3	4	5	6
Probabilité	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}2$	$p$

La somme doit valoir $1$ : $0{,}6 + p = 1$, donc $p = 0{,}4$.

D’où viennent les probabilités ? Soit d’une symétrie de la situation (dé équilibré, tirage au hasard) ; soit de l’expérience : quand on répète un grand nombre de fois l’expérience, la fréquence d’une issue se stabilise autour de sa probabilité, ce qui permet de l’estimer.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Événements et probabilité d’un événement

Définitions.

• Un événement est une partie de l’univers : un ensemble d’issues. On dit qu’une issue réalise l’événement si elle lui appartient.
• Un événement formé d’une seule issue est un événement élémentaire.
• $\Omega$ est l’événement certain ; l’ensemble vide $\varnothing$ est l’événement impossible.

Propriété. La probabilité d’un événement $A$ est la somme des probabilités des issues qui le réalisent. On a toujours $0 \leqslant P(A) \leqslant 1$, $P(\Omega) = 1$ et $P(\varnothing) = 0$.

Exemple. Avec le dé truqué, l’événement $A$ « obtenir un nombre pair » est $A = \{2\,;\,4\,;\,6\}$ : $P(A) = 0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}4 = 0{,}6$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Équiprobabilité

Définition. Une loi est équiprobable (ou uniforme) quand toutes les issues ont la même probabilité. Avec $n$ issues, chacune a pour probabilité $\dfrac1n$.

Propriété. En situation d’équiprobabilité, pour tout événement $A$ :

$$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues qui réalisent } A}{\text{nombre total d'issues}}.$$

Les signaux de l’équiprobabilité dans un énoncé : « dé équilibré », « pièce bien équilibrée », « tirage au hasard », « boules indiscernables au toucher »…

Exemple. On tire au hasard une carte d’un jeu de $32$ cartes. L’événement « tirer un roi » contient $4$ issues : $P = \dfrac{4}{32} = \dfrac18$.

Attention. Toutes les situations ne sont pas équiprobables : en lançant deux dés, la somme $7$ est plus probable que la somme $2$ (voir la section 6).

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Contraire, intersection, réunion

Soient $A$ et $B$ deux événements.

Définitions.

• L’événement contraire de $A$, noté $\overline{A}$, est formé des issues qui ne réalisent pas $A$.
• L’intersection $A \cap B$ (« $A$ et $B$ ») est formée des issues qui réalisent à la fois $A$ et $B$.
• La réunion $A \cup B$ (« $A$ ou $B$ ») est formée des issues qui réalisent au moins l’un des deux événements. (Le « ou » mathématique est inclusif : les deux à la fois, c’est permis.)
• $A$ et $B$ sont incompatibles (ou disjoints) si $A \cap B = \varnothing$ : ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.

Propriété (événement contraire). $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.

C’est très utile pour les événements du type « au moins un » : leur contraire est « aucun ».

Exemple. On lance un dé équilibré. $A$ : « obtenir un nombre pair » $= \{2\,;\,4\,;\,6\}$ ; $B$ : « obtenir au moins 4 » $= \{4\,;\,5\,;\,6\}$. $A \cap B = \{4\,;\,6\}$, $A \cup B = \{2\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}$, $\overline{A} = \{1\,;\,3\,;\,5\}$. Donc $P(A \cap B) = \dfrac26 = \dfrac13$, $P(A \cup B) = \dfrac46 = \dfrac23$ et $P(\overline{A}) = \dfrac12$.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Probabilité d’une réunion

Propriété. Pour tous événements $A$ et $B$ :

$$P(A \cup B) + P(A \cap B) = P(A) + P(B), \quad\text{soit}\quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$$

Justification : $A \cup B$ est formé des issues de « $A$ seul », de « $B$ seul » et de $A \cap B$, qui sont incompatibles deux à deux. Donc $P(A \cup B) = P(A \text{ seul}) + P(B \text{ seul}) + P(A \cap B)$. Or $P(A) = P(A \text{ seul}) + P(A \cap B)$ et $P(B) = P(B \text{ seul}) + P(A \cap B)$. En additionnant, $P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B)$.

Cas particulier. Si $A$ et $B$ sont incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Exemple. Dans un jeu de $32$ cartes, $A$ : « tirer un cœur » ($8$ cartes) et $B$ : « tirer une figure » (valet, dame ou roi : $12$ cartes). $A \cap B$ contient les $3$ figures de cœur. $P(A \cup B) = \dfrac{8}{32} + \dfrac{12}{32} - \dfrac{3}{32} = \dfrac{17}{32}$.

→ S’entraîner : Exercice 5 · Exercice 6

6. Dénombrer avec un tableau ou un arbre

En situation d’équiprobabilité, tout se ramène à compter des issues. Deux outils :

Le tableau à double entrée, pour deux épreuves (deux dés, deux tirages avec remise…). Pour la somme de deux dés équilibrés, il y a $6 \times 6 = 36$ issues équiprobables :

La somme $7$ apparaît $6$ fois : $P(\text{somme égale à } 7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac16$, alors que $P(\text{somme égale à } 2) = \dfrac{1}{36}$.

L’arbre, pour plusieurs épreuves successives. Chaque chemin correspond à une issue.

Exemples. « Obtenir exactement deux fois face » : $FFP$, $FPF$, $PFF$, soit $\dfrac38$. « Obtenir au moins une fois pile » : son contraire est « trois fois face », de probabilité $\dfrac18$, donc la probabilité cherchée est $1 - \dfrac18 = \dfrac78$.

Principe multiplicatif. Si une première épreuve a $n_1$ issues et une seconde $n_2$ issues, il y a $n_1 \times n_2$ issues au total ($n_1 \times n_2 \times n_3$ pour trois épreuves, etc.).

Avec ou sans remise. Dans un tirage sans remise, l’objet tiré n’est plus disponible : le nombre de branches diminue à chaque étape (voir l’exercice 9).

→ S’entraîner : Exercice 7 · Exercice 8 · Exercice 9

À retenir.

• Loi de probabilité : des nombres positifs de somme 1.
• $P(A)$ = somme des probabilités des issues de $A$ ; en équiprobabilité, $P(A) = \dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$.
• $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ (réflexe pour « au moins un »).
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ ; si $A$ et $B$ sont incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
• Pour compter : tableau à double entrée (deux épreuves) ou arbre (épreuves successives).