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Seconde

Probabilités conditionnelles — Exercices d'application

1. Du tableau croisé aux probabilités

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Exercice 1 — ⭐

Un lycée accueille 200200 élèves de Seconde et de Première, demi-pensionnaires (DPDP) ou externes (EE).

DPDPEETotal
Seconde SS90903030120120
Première505030308080
Total1401406060200200

On choisit un élève au hasard.

  1. Calcule P(DP)P(DP), P(S)P(S) et P(S∩DP)P(S \cap DP).
  2. Calcule la probabilité que l’élève soit demi-pensionnaire sachant qu’il est en Seconde.
  3. Calcule la probabilité qu’il soit en Seconde sachant qu’il est demi-pensionnaire.
Voir le corrigé
  1. P(DP)=140200=0,7P(DP) = \dfrac{140}{200} = 0{,}7 ; P(S)=120200=0,6P(S) = \dfrac{120}{200} = 0{,}6 ; P(S∩DP)=90200=0,45P(S \cap DP) = \dfrac{90}{200} = 0{,}45.
  2. PS(DP)=90120=0,75P_S(DP) = \dfrac{90}{120} = 0{,}75.
  3. PDP(S)=90140=914≈0,643P_{DP}(S) = \dfrac{90}{140} = \dfrac{9}{14} \approx 0{,}643.

2. Probabilité conditionnelle

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Exercice 2 — ⭐⭐

  1. P(A)=0,4P(A) = 0{,}4 et P(A∩B)=0,1P(A \cap B) = 0{,}1. Calcule PA(B)P_A(B) et PA(B‾)P_A(\overline{B}).
  2. P(B)=0,5P(B) = 0{,}5 et PB(A)=0,2P_B(A) = 0{,}2. Calcule P(A∩B)P(A \cap B).
  3. Peut-on avoir P(A)=0,3P(A) = 0{,}3 et P(A∩B)=0,4P(A \cap B) = 0{,}4 ? Justifie.
Voir le corrigé
  1. PA(B)=0,10,4=0,25P_A(B) = \dfrac{0{,}1}{0{,}4} = 0{,}25 et PA(B‾)=1−0,25=0,75P_A(\overline{B}) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75.
  2. P(A∩B)=P(B)×PB(A)=0,5×0,2=0,1P(A \cap B) = P(B) \times P_B(A) = 0{,}5 \times 0{,}2 = 0{,}1.
  3. Non : A∩BA \cap B est inclus dans AA, donc P(A∩B)⩽P(A)P(A \cap B) \leqslant P(A). (On aurait sinon PA(B)>1P_A(B) > 1.)

Exercice 3 — ⭐⭐

Dans une ville de 1 0001\,000 habitants, 40 %40\,\% possèdent un vélo (VV). Parmi eux, 30 %30\,\% possèdent aussi une trottinette (TT) ; parmi ceux qui n’ont pas de vélo, 10 %10\,\% possèdent une trottinette.

  1. Recopie et complète le tableau d’effectifs.

    TTT‾\overline{T}Total
    VV
    V‾\overline{V}
    Total1 0001\,000

  2. On choisit un habitant au hasard. Calcule P(T)P(T) et PT(V)P_T(V).

Voir le corrigé

  1. VV : 400400 habitants, dont 0,3×400=1200{,}3 \times 400 = 120 avec trottinette et 280280 sans. V‾\overline{V} : 600600 habitants, dont 0,1×600=600{,}1 \times 600 = 60 avec trottinette et 540540 sans.

    TTT‾\overline{T}Total
    VV120120280280400400
    V‾\overline{V}6060540540600600
    Total1801808208201 0001\,000

  2. P(T)=1801 000=0,18P(T) = \dfrac{180}{1\,000} = 0{,}18 et PT(V)=120180=23P_T(V) = \dfrac{120}{180} = \dfrac23.

3. Ne pas confondre les deux conditionnements

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Exercice 4 — ⭐⭐⭐

Une maladie touche 2 %2\,\% d’une population. Un test de dépistage est positif chez 95 %95\,\% des malades, mais aussi chez 5 %5\,\% des personnes non malades. On considère 1 0001\,000 personnes.

  1. Combien sont malades ? Parmi elles, combien ont un test positif ?
  2. Combien ne sont pas malades ? Parmi elles, combien ont un test positif ?
  3. Une personne a un test positif. Quelle est la probabilité qu’elle soit malade ?
  4. Un article affirme : « le test est fiable à 95 %95\,\%, donc un test positif signifie qu’on a 95 %95\,\% de chances d’être malade ». Qu’en penses-tu ?
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  1. 0,02×1 000=200{,}02 \times 1\,000 = 20 malades, dont 0,95×20=190{,}95 \times 20 = 19 positifs.
  2. 980980 non malades, dont 0,05×980=490{,}05 \times 980 = 49 positifs.
  3. Il y a 19+49=6819 + 49 = 68 tests positifs, dont 1919 chez des malades : PT(M)=1968≈0,28P_T(M) = \dfrac{19}{68} \approx 0{,}28.
  4. L’article confond PM(T)=0,95P_M(T) = 0{,}95 et PT(M)≈0,28P_T(M) \approx 0{,}28. Comme la maladie est rare, la plupart des tests positifs concernent des personnes non malades.

4. Arbres pondérés

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Exercice 5 — ⭐

On sait que P(A)=0,3P(A) = 0{,}3, PA(B)=0,8P_A(B) = 0{,}8 et PA‾(B)=0,1P_{\overline{A}}(B) = 0{,}1.

  1. Construis l’arbre pondéré complet (quatre branches au second niveau).
  2. Calcule P(A∩B)P(A \cap B), puis P(A‾∩B)P(\overline{A} \cap B).
  3. Déduis-en P(B)P(B).
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  1. Premier niveau : AA (0,30{,}3) et A‾\overline{A} (0,70{,}7). Après AA : BB (0,80{,}8) et B‾\overline{B} (0,20{,}2). Après A‾\overline{A} : BB (0,10{,}1) et B‾\overline{B} (0,90{,}9).
  2. P(A∩B)=0,3×0,8=0,24P(A \cap B) = 0{,}3 \times 0{,}8 = 0{,}24 ; P(A‾∩B)=0,7×0,1=0,07P(\overline{A} \cap B) = 0{,}7 \times 0{,}1 = 0{,}07.
  3. P(B)=0,24+0,07=0,31P(B) = 0{,}24 + 0{,}07 = 0{,}31.

Exercice 6 — ⭐⭐

À une question de QCM à quatre réponses, un élève connaît la bonne réponse avec une probabilité de 0,60{,}6. S’il la connaît, il répond juste ; sinon, il répond au hasard.

  1. Construis un arbre pondéré avec les événements CC : « l’élève connaît la réponse » et JJ : « il répond juste ».
  2. Calcule la probabilité qu’il réponde juste.
  3. L’élève a répondu juste. Quelle est la probabilité qu’il ait connu la réponse ?
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  1. CC (0,60{,}6) puis JJ (11), J‾\overline{J} (00) ; C‾\overline{C} (0,40{,}4) puis JJ (0,250{,}25), J‾\overline{J} (0,750{,}75).
  2. P(J)=0,6×1+0,4×0,25=0,6+0,1=0,7P(J) = 0{,}6 \times 1 + 0{,}4 \times 0{,}25 = 0{,}6 + 0{,}1 = 0{,}7.
  3. PJ(C)=P(C∩J)P(J)=0,60,7=67≈0,857P_J(C) = \dfrac{P(C \cap J)}{P(J)} = \dfrac{0{,}6}{0{,}7} = \dfrac67 \approx 0{,}857.

Exercice 7 — ⭐⭐

Une urne contient 33 boules rouges et 22 boules bleues. On tire successivement sans remise deux boules. On note R1R_1 : « la première boule est rouge » et R2R_2 : « la seconde boule est rouge ».

  1. Justifie que PR1(R2)=24P_{R_1}(R_2) = \dfrac24 et PR1‾(R2)=34P_{\overline{R_1}}(R_2) = \dfrac34.
  2. Construis l’arbre pondéré et calcule la probabilité de tirer deux boules rouges.
  3. Calcule P(R2)P(R_2). Compare avec P(R1)P(R_1).
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  1. Si la première boule est rouge, il reste 22 rouges sur 44 boules : 24\dfrac24. Si elle est bleue, il reste 33 rouges sur 44 boules : 34\dfrac34.
  2. P(R1∩R2)=35×24=620=310P(R_1 \cap R_2) = \dfrac35 \times \dfrac24 = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}.
  3. P(R2)=35×24+25×34=620+620=1220=35P(R_2) = \dfrac35 \times \dfrac24 + \dfrac25 \times \dfrac34 = \dfrac{6}{20} + \dfrac{6}{20} = \dfrac{12}{20} = \dfrac35. C’est la même valeur que P(R1)=35P(R_1) = \dfrac35 : sans information sur le premier tirage, la seconde boule a autant de chances d’être rouge que la première.

5. Retourner le conditionnement

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Exercice 8 — ⭐⭐⭐

Dans un magasin, 70 %70\,\% des clients viennent en semaine (SS) et 30 %30\,\% le week-end. En semaine, 20 %20\,\% des clients achètent un dessert (DD) ; le week-end, 60 %60\,\%.

  1. Construis l’arbre pondéré.
  2. Calcule P(D)P(D).
  3. Un client a acheté un dessert. Quelle est la probabilité qu’il soit venu en semaine ?
  4. Retrouve ce résultat avec un tableau d’effectifs pour 1 0001\,000 clients.
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  1. SS (0,70{,}7) puis DD (0,20{,}2), D‾\overline{D} (0,80{,}8) ; S‾\overline{S} (0,30{,}3) puis DD (0,60{,}6), D‾\overline{D} (0,40{,}4).
  2. P(D)=0,7×0,2+0,3×0,6=0,14+0,18=0,32P(D) = 0{,}7 \times 0{,}2 + 0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}14 + 0{,}18 = 0{,}32.
  3. PD(S)=0,140,32=716=0,4375P_D(S) = \dfrac{0{,}14}{0{,}32} = \dfrac{7}{16} = 0{,}4375.
  4. Sur 1 0001\,000 clients : 700700 en semaine, dont 140140 achètent un dessert ; 300300 le week-end, dont 180180 achètent un dessert. 320320 desserts, dont 140140 en semaine : 140320=716\dfrac{140}{320} = \dfrac{7}{16}. ✓