Seconde⏱ 50 minutes

Probabilités conditionnelles — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Exercice 1 (4 points) — Tableau croisé

On a interrogé $250$ personnes sur la pratique d'un sport ( $S$ ) selon leur âge.

	$S$	$\overline{S}$	Total
Moins de 30 ans ( $J$ )	$60$	$40$	$100$
30 ans ou plus	$45$	$105$	$150$
Total	$105$	$145$	$250$

On choisit une personne au hasard.

Calcule $P(S)$ et $P(J \cap S)$ . (1 point)
Calcule $P_J(S)$ et interprète par une phrase. (1,5 point)
Calcule $P_S(J)$ et interprète par une phrase. (1,5 point)

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$P(S) = \dfrac{105}{250} = 0{,}42$ et $P(J \cap S) = \dfrac{60}{250} = 0{,}24$ .
$P_J(S) = \dfrac{60}{100} = 0{,}6$ : parmi les moins de 30 ans, $60\,\%$ pratiquent un sport.
$P_S(J) = \dfrac{60}{105} = \dfrac47 \approx 0{,}571$ : parmi les sportifs, environ $57\,\%$ ont moins de 30 ans.

Exercice 2 (4 points) — Définition

$A$ et $B$ sont deux événements tels que $P(A) = 0{,}5$ , $P(B) = 0{,}4$ et $P(A \cap B) = 0{,}2$ .

Rappelle la définition de $P_A(B)$ . (1 point)
Calcule $P_A(B)$ , $P_B(A)$ et $P_A(\overline{B})$ . (3 points)

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$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ (avec $P(A) \neq 0$ ) : probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé.
$P_A(B) = \dfrac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4$ ; $P_B(A) = \dfrac{0{,}2}{0{,}4} = 0{,}5$ ; $P_A(\overline{B}) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$ .

Exercice 3 (4 points) — Compléter un tableau

Un lycée compte $400$ élèves de Seconde, dont $55\,\%$ de filles ( $F$ ). $20\,\%$ des filles et $30\,\%$ des garçons suivent l'option latin ( $L$ ).

Dresse le tableau croisé des effectifs, avec les totaux. (2 points)
On choisit un élève au hasard. Calcule $P(L)$ , puis la probabilité que ce soit une fille sachant qu'il suit l'option latin. (2 points)

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Filles : $0{,}55 \times 400 = 220$ , dont $0{,}2 \times 220 = 44$ latinistes. Garçons : $180$ , dont $0{,}3 \times 180 = 54$ latinistes.

$L$ $\overline{L}$ Total
$F$ $44$ $176$ $220$
$\overline{F}$ $54$ $126$ $180$
Total $98$ $302$ $400$
$P(L) = \dfrac{98}{400} = 0{,}245$ et $P_L(F) = \dfrac{44}{98} = \dfrac{22}{49} \approx 0{,}449$ .

	$L$	$\overline{L}$	Total
$F$	$44$	$176$	$220$
$\overline{F}$	$54$	$126$	$180$
Total	$98$	$302$	$400$

Exercice 4 (4 points) — Arbre pondéré

Chaque matin, il pleut avec une probabilité de $0{,}25$ . S'il pleut, le bus est en retard avec une probabilité de $0{,}4$ ; s'il ne pleut pas, avec une probabilité de $0{,}1$ . On note $A$ : « il pleut » et $R$ : « le bus est en retard ».

Construis l'arbre pondéré. (1,5 point)
Calcule la probabilité qu'il pleuve et que le bus soit en retard. (1 point)
Calcule la probabilité que le bus soit en retard. (1,5 point)

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$A$ ( $0{,}25$ ) puis $R$ ( $0{,}4$ ), $\overline{R}$ ( $0{,}6$ ) ; $\overline{A}$ ( $0{,}75$ ) puis $R$ ( $0{,}1$ ), $\overline{R}$ ( $0{,}9$ ).
$P(A \cap R) = 0{,}25 \times 0{,}4 = 0{,}1$ .
$P(R) = 0{,}25 \times 0{,}4 + 0{,}75 \times 0{,}1 = 0{,}1 + 0{,}075 = 0{,}175$ .

Exercice 5 (4 points) — Retourner le conditionnement

On reprend l'exercice 4.

Le bus est en retard. Quelle est la probabilité qu'il ait plu ? (2 points)
Vérifie ce résultat avec un tableau d'effectifs pour $1\,000$ matins. (2 points)

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$P_R(A) = \dfrac{P(A \cap R)}{P(R)} = \dfrac{0{,}1}{0{,}175} = \dfrac{100}{175} = \dfrac47 \approx 0{,}571$ .
Sur $1\,000$ matins : $250$ de pluie, dont $100$ avec retard ; $750$ sans pluie, dont $75$ avec retard. $175$ retards, dont $100$ par temps de pluie : $\dfrac{100}{175} = \dfrac47$ . ✓