Probabilités conditionnelles

Ce que tu sais déjà. Tu sais calculer des fréquences conditionnelles dans un tableau croisé (Seconde — Statistiques descriptives) et manipuler intersection et réunion d’événements (Seconde — Probabilités). La probabilité conditionnelle est l’équivalent, en probabilités, de la fréquence conditionnelle.

1. Du tableau croisé aux probabilités

Une usine produit $500$ pièces par jour sur deux machines, $M_1$ et $M_2$. On a relevé les pièces défectueuses (événement $D$) :

On choisit une pièce au hasard parmi les $500$ : c’est une situation d’équiprobabilité. On lit directement :

• $P(M_2) = \dfrac{200}{500} = 0{,}4$ et $P(D) = \dfrac{28}{500} = 0{,}056$ (totaux : probabilités « marginales ») ;
• $P(M_2 \cap D) = \dfrac{16}{500} = 0{,}032$ (case du tableau : probabilité d’une intersection).

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Probabilité conditionnelle

On sait maintenant que la pièce choisie vient de $M_2$. Quelle est la probabilité qu’elle soit défectueuse ? On ne regarde plus que la ligne $M_2$ : $\dfrac{16}{200} = 0{,}08$.

Définition. Soient $A$ et $B$ deux événements, avec $P(A) \neq 0$. La probabilité de $B$ sachant $A$ est

$$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}.$$

C’est la probabilité que $B$ se réalise lorsqu’on sait que $A$ est réalisé.

En situation d’équiprobabilité, cela revient à compter dans la seule population $A$ :

$$P_A(B) = \frac{\text{nombre d'issues de } A \cap B}{\text{nombre d'issues de } A}.$$

Vérification sur l’exemple. $P_{M_2}(D) = \dfrac{P(M_2 \cap D)}{P(M_2)} = \dfrac{0{,}032}{0{,}4} = 0{,}08$. On retrouve bien $\dfrac{16}{200}$. De même $P_{M_1}(D) = \dfrac{12}{300} = 0{,}04$ : la machine $M_2$ produit, en proportion, deux fois plus de pièces défectueuses.

Propriétés. $0 \leqslant P_A(B) \leqslant 1$ et $P_A(\overline{B}) = 1 - P_A(B)$ (on reste dans la même population $A$).

→ S’entraîner : Exercice 2 · Exercice 3

3. Ne pas confondre les deux conditionnements

$P_A(B)$ et $P_B(A)$ n’ont pas la même population de référence :

• $P_{M_2}(D) = \dfrac{16}{200} = 0{,}08$ : parmi les pièces de $M_2$, proportion de défectueuses ;
• $P_D(M_2) = \dfrac{16}{28} = \dfrac47 \approx 0{,}571$ : parmi les pièces défectueuses, proportion venant de $M_2$.

Le numérateur est le même ($16$, c’est-à-dire $A \cap B$), mais le dénominateur change.

Le bon réflexe. Repère dans l’énoncé les mots « parmi », « sachant que », « si » : ils désignent la population de référence, c’est-à-dire l’événement placé en indice.

Exemple de phrase à traduire. « $95\,\%$ des personnes malades ont un test positif » se traduit par $P_M(T) = 0{,}95$, et pas par $P_T(M) = 0{,}95$. Confondre les deux est une erreur très fréquente, y compris dans les médias (voir l’exercice 4).

→ S’entraîner : Exercice 4

4. Arbres pondérés

Quand l’énoncé donne des probabilités en étapes (d’abord $A$ ou $\overline{A}$, puis $B$ ou $\overline{B}$), on les organise dans un arbre pondéré.

Règles de l’arbre pondéré.

1. Sur les branches du premier niveau : $P(A)$ et $P(\overline{A})$. Sur les branches du second niveau : des probabilités conditionnelles ($P_A(B)$, $P_A(\overline{B})$, $P_{\overline{A}}(B)$, $P_{\overline{A}}(\overline{B})$).
2. La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut $1$.
3. La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses branches : $$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B).$$ (C’est la définition de $P_A(B)$ réécrite.)
4. La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.

Exemple. $60\,\%$ des pièces viennent de $M_1$, dont $4\,\%$ sont défectueuses ; $40\,\%$ viennent de $M_2$, dont $8\,\%$ sont défectueuses. Alors $P(M_1 \cap D) = 0{,}6 \times 0{,}04 = 0{,}024$ et $P(M_2 \cap D) = 0{,}4 \times 0{,}08 = 0{,}032$, d’où $P(D) = 0{,}024 + 0{,}032 = 0{,}056$. On retrouve le tableau de la section 1.

→ S’entraîner : Exercice 5 · Exercice 6 · Exercice 7

5. Retourner le conditionnement

L’arbre donne naturellement $P_A(B)$. Pour obtenir $P_B(A)$, on revient à la définition :

$$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)},$$

où $P(A \cap B)$ se lit sur un chemin et $P(B)$ s’obtient en additionnant les chemins.

Exemple. Une pièce est défectueuse. Probabilité qu’elle vienne de $M_1$ : $P_D(M_1) = \dfrac{P(M_1 \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0{,}024}{0{,}056} = \dfrac37 \approx 0{,}43$.

Astuce. On peut toujours revenir à un tableau d’effectifs en imaginant une population de $1\,000$ (ou $10\,000$) individus : les calculs deviennent des comptages.

→ S’entraîner : Exercice 8

À retenir.

• $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ : probabilité de $B$ dans la population $A$.
• Dans un tableau : on se restreint à la ligne (ou colonne) de $A$.
• $P_A(B) \neq P_B(A)$ en général : même numérateur, dénominateurs différents.
• Arbre pondéré : branches d’un nœud de somme $1$ ; on multiplie le long d’un chemin, on additionne les chemins.
• $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.