Seconde

Multiples, diviseurs et parité — Exercices d'application

1. Multiples et diviseurs d’un entier relatif

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Exercice 1 — ⭐

Sans calculatrice.

$-42$ est-il un multiple de $7$ ? Justifie par une égalité.
$7$ est-il un diviseur de $91$ ? de $100$ ? Justifie.
Donne la liste des diviseurs positifs de $60$ , en les rangeant par paires.
Donne tous les diviseurs de $15$ dans $\mathbb{Z}$ .
$0$ est-il un multiple de $5$ ? Justifie.

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Oui : $-42 = (-6) \times 7$ , et $-6$ est un entier.
$91 = 13 \times 7$ : oui, $7$ divise $91$ . Pour $100$ : $7 \times 14 = 98$ et $7 \times 15 = 105$ , donc $100$ est strictement compris entre deux multiples consécutifs de $7$ : $7$ ne divise pas $100$ (le reste de la division est $2$ ).
Paires dont le produit vaut $60$ : $1 \times 60$ , $2 \times 30$ , $3 \times 20$ , $4 \times 15$ , $5 \times 12$ , $6 \times 10$ . Les diviseurs positifs de $60$ sont donc $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60$ ( $12$ diviseurs).
Les diviseurs positifs de $15$ sont $1, 3, 5, 15$ ; dans $\mathbb{Z}$ , on ajoute leurs opposés : $-15, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 15$ .
Oui : $0 = 0 \times 5$ , et $0$ est un entier.

2. Démontrer avec le calcul littéral

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Exercice 2 — ⭐⭐

Démontre que la différence de deux multiples de $7$ est un multiple de $7$ .
Démontre que la somme de cinq entiers consécutifs est un multiple de $5$ .
Émilie affirme : « La somme de deux multiples de $6$ est toujours un multiple de $12$ . » A-t-elle raison ?
Démontre que si $n$ est un multiple de $6$ , alors $n$ est un multiple de $3$ .

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Soient $m = 7k$ et $n = 7k'$ deux multiples de $7$ ( $k, k'$ entiers). Alors $m - n = 7k - 7k' = 7(k - k')$ , et $k - k'$ est un entier : $m - n$ est un multiple de $7$ .
Cinq entiers consécutifs s’écrivent $n, n+1, n+2, n+3, n+4$ . Leur somme vaut $5n + 10 = 5(n + 2)$ , et $n + 2$ est un entier : c’est un multiple de $5$ .
Non : contre-exemple $6 + 12 = 18$ , somme de deux multiples de $6$ , qui n’est pas un multiple de $12$ . (La somme est toujours un multiple de $6$ , d’après le cours, mais pas forcément de $12$ .)
Si $n = 6k$ avec $k$ entier, alors $n = 3 \times (2k)$ , et $2k$ est un entier : $n$ est un multiple de $3$ .

3. Nombres pairs et nombres impairs

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Exercice 3 — ⭐⭐

Dans tout l’exercice, $n$ désigne un entier.

Démontre que le produit de deux nombres impairs est impair.
Démontre que $2n + 7$ est toujours impair.
Vrai ou faux ? Justifie par une démonstration ou un contre-exemple. a. « La somme d’un nombre pair et d’un nombre impair est impaire. » b. « Si $n^2 + n$ est pair, alors $n$ est pair. » c. « $4n + 2$ est un multiple de $4$ . »

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Soient $m = 2k + 1$ et $p = 2k' + 1$ ( $k, k'$ entiers). Alors $mp = 4kk' + 2k + 2k' + 1 = 2(2kk' + k + k') + 1$ , et $2kk' + k + k'$ est un entier : $mp$ est impair.
$2n + 7 = 2n + 6 + 1 = 2(n + 3) + 1$ , et $n + 3$ est un entier : $2n + 7$ est impair.
a. Vrai. Avec $m = 2k$ et $p = 2k' + 1$ : $m + p = 2(k + k') + 1$ , impair. b. Faux. $n^2 + n = n(n + 1)$ est toujours pair (cours, section 3), même quand $n$ est impair : pour $n = 3$ , $n^2 + n = 12$ est pair mais $n$ est impair. c. Faux. Pour $n = 0$ , $4n + 2 = 2$ , qui n’est pas un multiple de $4$ . (En fait, l’égalité $4n + 2 = 4 \times n + 2$ avec $0 \leqslant 2 < 4$ montre que le reste de la division par $4$ vaut toujours $2$ , jamais $0$ .)

Exercice 4 — ⭐⭐⭐

Disjonction de cas.

Démontre par disjonction de cas que, pour tout entier $n$ , $n^2 - n$ est pair.
a. Démontre que si $n$ est pair, $n^2$ est un multiple de $4$ . b. Démontre que si $n$ est impair, $n^2 - 1$ est un multiple de $4$ . c. En déduire que le reste de la division de $n^2$ par $4$ vaut toujours $0$ ou $1$ .
$2027 = 4 \times 506 + 3$ . Sans calculatrice, explique pourquoi $2027$ n’est le carré d’aucun entier.

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- Si $n = 2k$ : $n^2 - n = 4k^2 - 2k = 2(2k^2 - k)$ , pair.
- Si $n = 2k + 1$ : $n^2 - n = n(n - 1) = (2k+1) \times 2k = 2k(2k+1)$ , pair.
Dans les deux cas, $n^2 - n$ est pair.
a. $n = 2k$ donne $n^2 = 4k^2$ , multiple de $4$ . b. $n = 2k + 1$ donne $n^2 - 1 = 4k^2 + 4k = 4(k^2 + k)$ , multiple de $4$ . c. Tout entier est pair ou impair. S’il est pair, $n^2 = 4 \times k^2 + 0$ : reste $0$ . S’il est impair, $n^2 = 4(k^2 + k) + 1$ : reste $1$ .
Le reste de la division de $2027$ par $4$ est $3$ . Or un carré a toujours un reste égal à $0$ ou $1$ dans la division par $4$ (question 2.c) : $2027$ ne peut donc pas être un carré.

4. Tester la divisibilité avec Python

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Exercice 5 — ⭐⭐

Qu’affichent les instructions suivantes ?

print(47 // 6, 47 % 6)
print(-42 % 7 == 0)

Pour la fonction plus_grand_multiple du cours, qu’affiche print(plus_grand_multiple(12, 250)) ? Retrouve ce résultat par un calcul.
Complète la fonction suivante, qui compte le nombre de diviseurs positifs d’un entier $n \geqslant 1$ :

def nombre_diviseurs(n):
    compteur = 0
    for d in range(1, n + 1):
        if ...........:
            compteur = compteur + 1
    return compteur

Que renvoient nombre_diviseurs(36) et nombre_diviseurs(17) ?

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$47 = 6 \times 7 + 5$ : la première ligne affiche 7 5. $-42 = 7 \times (-6)$ : le reste est nul, la deuxième ligne affiche True.
$250 = 12 \times 20 + 10$ : le plus grand multiple de $12$ inférieur ou égal à $250$ est $12 \times 20 = 240$ . Le programme affiche 240.
La condition est n % d == 0 (le reste de la division de $n$ par $d$ est nul).
nombre_diviseurs(36) renvoie 9 (les diviseurs $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ ) ; nombre_diviseurs(17) renvoie 2 ( $1$ et $17$ ).

5. Écrire une fraction sous forme irréductible

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Exercice 6 — ⭐

Sans calculatrice. Écris chaque fraction sous forme irréductible, en détaillant les étapes :

$\frac{225}{360} \qquad \frac{91}{65} \qquad \frac{270}{378}$

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$\dfrac{225}{360}$ : les deux se terminent par $5$ ou $0$ , on divise par $5$ : $\dfrac{45}{72}$ . Puis $4 + 5 = 9$ et $7 + 2 = 9$ : on divise par $9$ : $\dfrac{5}{8}$ . $5$ et $8$ n’ont que $1$ comme diviseur positif commun : $\dfrac{225}{360} = \dfrac{5}{8}$ .
$\dfrac{91}{65}$ : $91 = 7 \times 13$ et $65 = 5 \times 13$ , on divise par $13$ : $\dfrac{91}{65} = \dfrac{7}{5}$ , irréductible.
$\dfrac{270}{378}$ : on divise par $2$ : $\dfrac{135}{189}$ ; par $9$ ( $1+3+5 = 9$ , $1+8+9 = 18$ ) : $\dfrac{15}{21}$ ; par $3$ : $\dfrac{5}{7}$ , irréductible. (En tout, on a divisé par $2 \times 9 \times 3 = 54$ .)

6. Modéliser et résoudre des problèmes

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Exercice 7 — ⭐⭐⭐

On choisit un nombre à deux chiffres, par exemple $47$ , et on lui ajoute le nombre obtenu en inversant ses chiffres : $47 + 74 = 121$ .

Vérifie que $121$ est un multiple de $11$ . Essaie avec deux autres nombres.
Un nombre à deux chiffres s’écrit $10a + b$ , où $a$ est le chiffre des dizaines et $b$ celui des unités. Écris le nombre obtenu en inversant les chiffres.
Démontre que la somme obtenue est toujours un multiple de $11$ .
Démontre de même que la différence entre un nombre à deux chiffres et le nombre inversé est toujours un multiple de $9$ .

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$121 = 11 \times 11$ . Par exemple : $35 + 53 = 88 = 11 \times 8$ ; $90 + 9 = 99 = 11 \times 9$ (le nombre inversé de $90$ est $09$ , soit $9$ ).
Le nombre inversé a $b$ comme chiffre des dizaines et $a$ comme chiffre des unités : il s’écrit $10b + a$ .
$(10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)$ , et $a + b$ est un entier : la somme est un multiple de $11$ .
$(10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b)$ , et $a - b$ est un entier : c’est un multiple de $9$ (par exemple $74 - 47 = 27 = 9 \times 3$ ).

Exercice 8 — ⭐⭐⭐

Le 1^er janvier 2027 est un vendredi. L’année 2027 compte $365$ jours.

Quel jour de la semaine sera le 8 janvier 2027 ? le 15 janvier ? Que remarques-tu sur les numéros de jours de l’année qui tombent un vendredi ?
Le 1^er janvier est le jour n° $1$ de l’année. Montre que le jour n° $n$ est un vendredi si et seulement si $n - 1$ est un multiple de $7$ .
Quel jour de la semaine sera le jour n° $200$ de l’année 2027 ?
Quel jour de la semaine sera le 31 décembre 2027 (jour n° $365$ ) ?

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Une semaine plus tard, c’est encore vendredi : le 8 janvier (jour n° $8$ ) et le 15 janvier (jour n° $15$ ) sont des vendredis. Les numéros $1, 8, 15, 22, \ldots$ augmentent de $7$ en $7$ .
Les jours de la semaine se répètent tous les $7$ jours. Le jour n° $n$ est situé $n - 1$ jours après le jour n° $1$ (un vendredi) : c’est un vendredi exactement quand ce décalage $n - 1$ est un nombre entier de semaines, c’est-à-dire un multiple de $7$ .
$200 - 1 = 199 = 7 \times 28 + 3$ . Le jour n° $200$ est donc $28$ semaines et $3$ jours après un vendredi : vendredi $+ 3$ jours $=$ lundi. (C’est le 19 juillet 2027.)
$365 - 1 = 364 = 7 \times 52$ : c’est un multiple de $7$ , donc le 31 décembre 2027 est un vendredi.