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Multiples, diviseurs et parité — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Montre que $-63$ est un multiple de $9$ , et que $9$ n'est pas un diviseur de $80$ . (1 point)
Donne la liste des diviseurs positifs de $48$ . (1,5 point)
Donne tous les diviseurs de $10$ dans $\mathbb{Z}$ . (1 point)
Vrai ou faux : « tout entier est un diviseur de $0$ » ? Justifie. (0,5 point)

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$-63 = (-7) \times 9$ , avec $-7$ entier : $-63$ est un multiple de $9$ . Pour $80$ : $9 \times 8 = 72$ et $9 \times 9 = 81$ , donc $72 < 80 < 81$ : $80$ est strictement entre deux multiples consécutifs de $9$ , ce n'est pas un multiple de $9$ .
Paires de produit $48$ : $1 \times 48$ , $2 \times 24$ , $3 \times 16$ , $4 \times 12$ , $6 \times 8$ . Diviseurs positifs : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48$ .
$-10, -5, -2, -1, 1, 2, 5, 10$ .
Vrai pour tout entier $b$ non nul : $0 = 0 \times b$ . (Le mot « diviseur » n'est défini que pour $b \neq 0$ .)

Démontre que la somme de deux multiples d'un entier $a$ est un multiple de $a$ . (2 points)
En déduire que si $m$ et $n$ sont deux multiples de $5$ , alors $m + n + 20$ est un multiple de $5$ . (1 point)
Démontre que la somme de trois entiers consécutifs n'est pas toujours un multiple de $6$ . (1 point)

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Soient $m$ et $n$ deux multiples de $a$ : il existe deux entiers $k$ et $k'$ tels que $m = ak$ et $n = ak'$ . Alors $m + n = ak + ak' = a(k + k')$ . Comme $k + k'$ est un entier, $m + n$ est un multiple de $a$ .
$20 = 5 \times 4$ est un multiple de $5$ . D'après la question 1, $m + n$ est un multiple de $5$ , puis $(m + n) + 20$ est la somme de deux multiples de $5$ : c'est un multiple de $5$ .
Un contre-exemple suffit : $1 + 2 + 3 = 6$ est un multiple de $6$ , mais $2 + 3 + 4 = 9$ n'en est pas un. La propriété n'est donc pas toujours vraie.

Dans cet exercice, $n$ désigne un entier.

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$6n + 3 = 6n + 2 + 1 = 2(3n + 1) + 1$ , et $3n + 1$ est un entier : $6n + 3$ est impair.
Si $n = 2k + 1$ : $n^2 + 3 = 4k^2 + 4k + 1 + 3 = 4k^2 + 4k + 4 = 2(2k^2 + 2k + 2)$ , et $2k^2 + 2k + 2$ est un entier : $n^2 + 3$ est pair.
$n^2 + 3n = n(n + 3)$ .
- Si $n$ est pair, $n = 2k$ : $n(n + 3) = 2 \times k(n + 3)$ , pair.
- Si $n$ est impair, $n = 2k + 1$ : $n + 3 = 2k + 4 = 2(k + 2)$ , donc $n(n + 3) = 2 \times n(k + 2)$ , pair.
Dans les deux cas, $n^2 + 3n$ est pair.

Écris sous forme irréductible, en détaillant : $\dfrac{126}{210}$ et $\dfrac{117}{195}$ . (2 points)
On considère la fonction Python suivante :

def mystere(a, b):
    m = 0
    while m + a <= b:
        m = m + a
    return m

a. Que renvoie mystere(9, 50) ? (1 point) b. Que calcule cette fonction en général ? (1 point)

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- $\dfrac{126}{210}$ : on divise par $2$ : $\dfrac{63}{105}$ ; par $3$ ( $6 + 3 = 9$ , $1 + 0 + 5 = 6$ ) : $\dfrac{21}{35}$ ; par $7$ : $\dfrac{3}{5}$ , irréductible.
- $\dfrac{117}{195}$ : par $3$ ( $1 + 1 + 7 = 9$ , $1 + 9 + 5 = 15$ ) : $\dfrac{39}{65}$ ; par $13$ ( $39 = 3 \times 13$ , $65 = 5 \times 13$ ) : $\dfrac{3}{5}$ , irréductible.
a. m prend successivement les valeurs $0, 9, 18, 27, 36, 45$ ; on s'arrête car $45 + 9 = 54 > 50$ . La fonction renvoie 45. b. Elle renvoie le plus grand multiple de a inférieur ou égal à b (pour $a > 0$ et $b \geqslant 0$ ).

On considère un nombre à trois chiffres dont les chiffres sont, de gauche à droite, $a$ , $b$ et $c$ (avec $a \neq 0$ ).

Justifie que ce nombre s'écrit $100a + 10b + c$ . (0,5 point)
Montre que ce nombre est égal à $99a + 9b + (a + b + c)$ . (1 point)
En déduire que si $a + b + c$ est un multiple de $9$ , alors le nombre est un multiple de $9$ . On justifiera avec soin. (1,5 point)
Application : sans poser de division, justifie que $738$ est un multiple de $9$ . (1 point)

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Le chiffre $a$ est celui des centaines ( $a$ centaines valent $100a$ ), $b$ celui des dizaines ( $10b$ ), $c$ celui des unités ( $c$ ) : le nombre vaut $100a + 10b + c$ .
$99a + 9b + (a + b + c) = 99a + a + 9b + b + c = 100a + 10b + c$ .
$99a + 9b = 9(11a + b)$ est un multiple de $9$ ( $11a + b$ est un entier). Si $a + b + c$ est aussi un multiple de $9$ , le nombre est la somme de deux multiples de $9$ (propriété du cours) : c'est un multiple de $9$ . On vient de démontrer le critère de divisibilité par $9$ vu au collège.
$7 + 3 + 8 = 18 = 9 \times 2$ est un multiple de $9$ , donc $738$ est un multiple de $9$ (d'ailleurs $738 = 9 \times 82$ ).