Multiples, diviseurs et parité

Ce que tu sais déjà. En 5e, tu as vu les multiples, les diviseurs, la division euclidienne et les critères de divisibilité (5e — Divisibilité) ; en 3e, le PGCD et la simplification des fractions (3e — Multiples, diviseurs et PGCD). Au chapitre précédent, tu as démontré que le carré d’un impair est impair (Seconde — Ensembles de nombres). La nouveauté de ce chapitre : on ne se contente plus de vérifier sur des exemples, on démontre pour tous les entiers, grâce au calcul littéral.

1. Multiples et diviseurs d’un entier relatif

Définition. Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs, avec $b \neq 0$. On dit que $a$ est un multiple de $b$ s’il existe un entier relatif $k$ tel que

$$a = k \times b.$$

On dit alors aussi que $b$ est un diviseur de $a$, ou que $b$ divise $a$.

Exemple. $-42 = (-6) \times 7$ : $-42$ est un multiple de $7$, et $7$ est un diviseur de $-42$. En revanche, $50$ n’est pas un multiple de $7$ : $7 \times 7 = 49$ et $7 \times 8 = 56$, aucun entier $k$ ne donne $7k = 50$.

Remarques.

• $0$ est un multiple de tout entier $b \neq 0$, car $0 = 0 \times b$.
• Si $b$ divise $a$, alors $-b$ divise aussi $a$ (car $a = (-k) \times (-b)$) : dans $\mathbb{Z}$, les diviseurs vont par paires de signes opposés. Par exemple, les diviseurs de $6$ dans $\mathbb{Z}$ sont $-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6$.
• Les diviseurs positifs d’un entier $n > 0$ vont aussi par paires : si $d$ divise $n$, alors $\dfrac{n}{d}$ divise aussi $n$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Démontrer avec le calcul littéral

Vérifier une propriété sur des exemples ne prouve rien pour les autres cas. Pour démontrer qu’une propriété est vraie pour tous les entiers, on utilise des lettres.

Traduire en calcul littéral. « $n$ est un multiple de $a$ » s’écrit : « il existe un entier $k$ tel que $n = ak$ ». Deux multiples de $a$ différents s’écrivent avec deux lettres différentes, par exemple $ak$ et $ak'$.

Remarque. La même démonstration montre que la différence $m - n = a(k - k')$ est aussi un multiple de $a$, ainsi que tout produit $m \times p$ avec $p$ entier.

Exemple. La somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3. Trois entiers consécutifs s’écrivent $n$, $n + 1$ et $n + 2$ (avec $n \in \mathbb{Z}$). Leur somme vaut $n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n + 1)$, et $n + 1$ est un entier : c’est bien un multiple de $3$. (Vérification sur un cas : $7 + 8 + 9 = 24 = 3 \times 8$.)

Attention. Pour démontrer qu’une propriété est fausse, un seul contre-exemple suffit. « La somme de quatre entiers consécutifs est un multiple de 4 » est fausse : $0 + 1 + 2 + 3 = 6$, qui n’est pas un multiple de $4$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Nombres pairs et nombres impairs

Définitions. Un entier $n$ est pair s’il est un multiple de $2$ : il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $n = 2k$. Il est impair sinon ; on peut alors l’écrire $n = 2k + 1$ avec $k \in \mathbb{Z}$. Tout entier est soit pair, soit impair.

Propriétés. La parité d’une somme ou d’un produit de deux entiers se lit dans les tableaux ci-dessous.

Le cas du carré d’un impair a été démontré au chapitre précédent (le carré d’un nombre impair est impair) ; c’est un cas particulier du tableau (impair × impair = impair).

Le raisonnement par disjonction de cas. Quand on ne sait rien de la parité de $n$, on peut traiter séparément les deux cas possibles — $n$ pair, puis $n$ impair — et conclure si la propriété est vraie dans chacun.

Exemple. Pour tout entier $n$, le produit $n(n + 1)$ est pair.

• Cas 1 : $n$ est pair, $n = 2k$. Alors $n(n+1) = 2k(n+1) = 2 \times k(n+1)$ : pair.
• Cas 2 : $n$ est impair, $n = 2k + 1$. Alors $n + 1 = 2k + 2 = 2(k+1)$, et $n(n+1) = 2 \times n(k+1)$ : pair.

Dans les deux cas, $n(n+1)$ est pair. (Autrement dit : de deux entiers consécutifs, l’un est toujours pair.)

→ S’entraîner : Exercice 3 · Exercice 4

4. Tester la divisibilité avec Python

On rappelle la division euclidienne vue en 5e : pour $a \geqslant 0$ et $b > 0$, il existe un unique quotient $q$ et un unique reste $r$ tels que $a = bq + r$ avec $0 \leqslant r < b$. Alors $a$ est un multiple de $b$ si et seulement si le reste $r$ est nul.

En Python, a // b donne le quotient et a % b donne le reste :

def est_multiple(a, b):
    return a % b == 0

print(est_multiple(91, 7))    # True, car 91 = 7 × 13
print(est_multiple(100, 7))   # False, car 100 = 7 × 14 + 2

Pour trouver le plus grand multiple de $a$ inférieur ou égal à $b$ (avec $a > 0$ et $b \geqslant 0$), on peut avancer de $a$ en $a$ tant qu’on ne dépasse pas $b$ :

def plus_grand_multiple(a, b):
    m = 0
    while m + a <= b:
        m = m + a
    return m

print(plus_grand_multiple(7, 100))   # 98

Remarque. On obtient le même résultat en un seul calcul : (b // a) * a. En effet, le quotient $q$ de $b$ par $a$ est le nombre de fois que $a$ « rentre » dans $b$, donc $aq$ est le plus grand multiple de $a$ qui ne dépasse pas $b$.

→ S’entraîner : Exercice 5

5. Écrire une fraction sous forme irréductible

Définition. Une fraction $\dfrac{a}{b}$ ($a$ et $b$ entiers, $b \neq 0$) est irréductible lorsque $a$ et $b$ n’ont pas d’autre diviseur positif commun que $1$.

Exemple. $\dfrac{84}{126}$ : les deux nombres sont pairs, donc $\dfrac{84}{126} = \dfrac{42}{63}$. Puis $4 + 2 = 6$ et $6 + 3 = 9$ sont multiples de $3$ : $\dfrac{42}{63} = \dfrac{14}{21}$. Enfin $14 = 2 \times 7$ et $21 = 3 \times 7$ : $\dfrac{14}{21} = \dfrac{2}{3}$. Les diviseurs positifs de $2$ sont $1$ et $2$, et $2$ ne divise pas $3$ : $\dfrac{2}{3}$ est irréductible. (On a divisé en tout par $2 \times 3 \times 7 = 42$, le plus grand diviseur commun de $84$ et $126$.)

Remarque. C’est la notion de fraction irréductible qui a servi à démontrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel, au chapitre précédent.

→ S’entraîner : Exercice 6

6. Modéliser et résoudre des problèmes

Beaucoup de situations se traduisent par des multiples et des restes : cycles qui se répètent (jours de la semaine, horaires), regroupements en paquets, chiffres d’un nombre…

Exemple. La différence des carrés de deux nombres impairs consécutifs est un multiple de 8. On teste : $5^2 - 3^2 = 16$, $\;15^2 - 13^2 = 56 = 8 \times 7$. On nomme : deux impairs consécutifs s’écrivent $2k + 1$ et $2k + 3$ ($k \in \mathbb{Z}$). On calcule : $(2k+3)^2 - (2k+1)^2 = (4k^2 + 12k + 9) - (4k^2 + 4k + 1) = 8k + 8 = 8(k + 1)$. Comme $k + 1$ est un entier, cette différence est bien un multiple de $8$.

→ S’entraîner : Exercice 7 · Exercice 8