Seconde

Résoudre des problèmes de géométrie — Exercices d'application

1. Trois méthodes pour démontrer

Exercice 1 — ⭐

Pour chaque situation, indique la méthode qui te paraît la plus adaptée (géométrique, vectorielle ou repérée) et l’outil précis à utiliser. On ne demande pas de faire les calculs.

On donne $A(1\,;\,2)$ , $B(3\,;\,5)$ , $C(7\,;\,11)$ : sont-ils alignés ?
$ABCD$ est un parallélogramme, $M$ est défini par $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ : montrer que $M$ est sur une droite donnée.
Dans un triangle, on relie les milieux de deux côtés : que dire de ce segment ?
On donne quatre points par leurs coordonnées : $ABCD$ est-il un rectangle ?

Voir le corrigé

Repérée : calculer $\det\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)$ (ici $\overrightarrow{AB}(2\,;\,3)$ , $\overrightarrow{AC}(6\,;\,9)$ , déterminant nul : alignés).
Vectorielle : exprimer les vecteurs utiles en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ et montrer une colinéarité.
Géométrique : théorème de la droite des milieux (parallèle au troisième côté, moitié de sa longueur).
Repérée : vérifier que c’est un parallélogramme (milieux des diagonales) et que les diagonales ont même longueur (distances), ou qu’un angle est droit (Pythagore).

2. Choisir un repère adapté

↩ Revoir le cours

Exercice 2 — ⭐⭐

$ABCD$ est un rectangle avec $AB = 6$ et $AD = 4$ . $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ celui de $[CD]$ .

Choisis un repère orthonormé adapté et donne les coordonnées de $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $I$ et $J$ .
Démontre que $AICJ$ est un parallélogramme.
Calcule les longueurs $AI$ et $IC$ . $AICJ$ est-il un losange ?

Voir le corrigé

Origine en $A$ , axe des abscisses selon $(AB)$ , axe des ordonnées selon $(AD)$ , unité $1$ : $A(0\,;\,0)$ , $B(6\,;\,0)$ , $C(6\,;\,4)$ , $D(0\,;\,4)$ , $I(3\,;\,0)$ , $J(3\,;\,4)$ .
$\overrightarrow{AI}(3\,;\,0)$ et $\overrightarrow{JC}(3\,;\,0)$ : $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{JC}$ , donc $AICJ$ est un parallélogramme.
$AI = 3$ et $IC = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ . Deux côtés consécutifs n’ont pas la même longueur : ce n’est pas un losange.

Exercice 3 — ⭐⭐⭐

$ABCD$ est un carré de côté $6$ . $E$ est le point de $[BC]$ tel que $BE = 2$ , et $F$ le point de $[CD]$ tel que $CF = 2$ .

Place un repère adapté et donne les coordonnées de $A$ , $E$ et $F$ .
Calcule $AE$ , $AF$ et $EF$ . Le triangle $AEF$ est-il isocèle ? rectangle ?
Calcule l’aire du triangle $AEF$ .

Voir le corrigé

$A(0\,;\,0)$ , $B(6\,;\,0)$ , $C(6\,;\,6)$ , $D(0\,;\,6)$ ; $E(6\,;\,2)$ et $F(4\,;\,6)$ .
$AE^2 = 36 + 4 = 40$ , $AF^2 = 16 + 36 = 52$ , $EF^2 = 4 + 16 = 20$ . Les trois longueurs sont différentes : pas isocèle. Le plus grand carré est $52$ et $40 + 20 = 60 \neq 52$ : pas rectangle.
On retire du carré les triangles $ABE$ ( $\frac{6 \times 2}{2} = 6$ ), $ECF$ ( $\frac{4 \times 2}{2} = 4$ ) et $ADF$ ( $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ ) : aire $= 36 - 6 - 4 - 12 = 14$ .

3. Un même problème, plusieurs méthodes

↩ Revoir le cours

Exercice 4 — ⭐⭐⭐

$ABC$ est un triangle. $M$ est le point tel que $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ et $N$ le point tel que $\overrightarrow{AN} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ .

Méthode vectorielle. Exprime $\overrightarrow{MN}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}$ . Conclus.
Méthode géométrique. Quel théorème du collège permet aussi de conclure que $(MN) \parallel (BC)$ ?
Méthode repérée. Vérifie le résultat avec $A(0\,;\,0)$ , $B(6\,;\,0)$ , $C(3\,;\,9)$ .

Voir le corrigé

$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = -\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\right) = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ . Donc $(MN) \parallel (BC)$ et $MN = \dfrac{1}{3}BC$ .
La réciproque du théorème de Thalès : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{1}{3}$ , avec $M$ , $N$ sur $[AB]$ , $[AC]$ dans le même ordre.
$M(2\,;\,0)$ , $N(1\,;\,3)$ ; $\overrightarrow{MN}(-1\,;\,3)$ et $\overrightarrow{BC}(-3\,;\,9) = 3\,\overrightarrow{MN}$ . ✓ (Ce calcul ne vaut que pour ce triangle ; la question 1 prouve le résultat pour tous.)

4. Distances et cercles

↩ Revoir le cours

Exercice 5 — ⭐⭐

Le repère est orthonormé.

$\mathcal{C}$ est le cercle de centre $\Omega(1\,;\,2)$ et de rayon $5$ . Parmi $A(4\,;\,6)$ , $B(-3\,;\,-1)$ , $C(6\,;\,2)$ et $D(0\,;\,7)$ , lesquels appartiennent à $\mathcal{C}$ ?
On donne $P(-2\,;\,1)$ , $Q(4\,;\,-1)$ et $R(0\,;\,7)$ . Montre que le triangle $PQR$ est rectangle et isocèle, puis donne le centre et le rayon de son cercle circonscrit.
Même question avec $R_2(0\,;\,5)$ à la place de $R$ : le triangle $PQR_2$ est-il rectangle ?

Voir le corrigé

$\Omega A^2 = 9 + 16 = 25$ ✓ ; $\Omega B^2 = 16 + 9 = 25$ ✓ ; $\Omega C^2 = 25 + 0 = 25$ ✓ ; $\Omega D^2 = 1 + 25 = 26 \neq 25$ ✗. Donc $A$ , $B$ et $C$ sont sur $\mathcal{C}$ , pas $D$ .
$PQ^2 = 36 + 4 = 40$ , $PR^2 = 4 + 36 = 40$ , $QR^2 = 16 + 64 = 80$ . On a $PQ = PR$ et $PQ^2 + PR^2 = 80 = QR^2$ : d’après la réciproque de Pythagore, $PQR$ est rectangle et isocèle en $P$ . Le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse $[QR]$ : $\left(\dfrac{4 + 0}{2}\,;\,\dfrac{-1 + 7}{2}\right) = (2\,;\,3)$ , et le rayon vaut $\dfrac{QR}{2} = \dfrac{\sqrt{80}}{2} = \dfrac{4\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5}$ .
$PR_2^2 = 4 + 16 = 20$ , $QR_2^2 = 16 + 36 = 52$ , $PQ^2 = 40$ . Le plus grand carré est $52$ , et $40 + 20 = 60 \neq 52$ : le triangle $PQR_2$ n’est pas rectangle (contraposée du théorème de Pythagore). Une figure approximative aurait pu tromper.

5. Pour aller plus loin : isobarycentre et barycentre

↩ Revoir le cours

Exercice 6 — ⭐⭐⭐

On donne $A(1\,;\,1)$ et $B(7\,;\,4)$ .

Le point $G$ vérifie $2\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = \vec{0}$ . En écrivant $\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB}$ , montre que $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ .
Calcule les coordonnées de $G$ .
Donne les coordonnées de l’isobarycentre de $A$ , $B$ et $C(4\,;\,10)$ .

Voir le corrigé

$2\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB} = \vec{0}$ , donc $3\overrightarrow{GA} = -\overrightarrow{AB}$ , soit $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ .
$\overrightarrow{AB}(6\,;\,3)$ , donc $\overrightarrow{AG}(2\,;\,1)$ et $G(3\,;\,2)$ .
$\left(\dfrac{1 + 7 + 4}{3}\,;\,\dfrac{1 + 4 + 10}{3}\right) = (4\,;\,5)$ .

Exercice 7 — ⭐⭐⭐⭐

Soit $A$ et $B$ deux points distincts, $a$ et $b$ deux réels tels que $a + b \neq 0$ , et $G$ le point tel que $a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} = \vec{0}$ .

Démontre que $\overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a + b}\overrightarrow{AB}$ .
Que se passe-t-il si $a = b$ ? Si $b = 3a$ ?
Balance. Deux enfants de masses $30$ kg et $45$ kg sont assis aux deux extrémités d’une planche de $5$ m. Le point d’équilibre est le barycentre des deux positions affectées des masses. À quelle distance du premier enfant se trouve-t-il ?

Voir le corrigé

$a\overrightarrow{GA} + b\left(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB}\right) = \vec{0} \iff (a + b)\overrightarrow{GA} = -b\overrightarrow{AB} \iff \overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a + b}\overrightarrow{AB}$ (division possible car $a + b \neq 0$ ).
Si $a = b$ : $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ , $G$ est le milieu. Si $b = 3a$ : $\overrightarrow{AG} = \dfrac{3a}{4a}\overrightarrow{AB} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}$ , $G$ est aux trois quarts, plus près de $B$ .
Avec $a = 30$ (premier enfant en $A$ ) et $b = 45$ : $AG = \dfrac{45}{75} \times 5 = 3$ m. Le point d’équilibre est à $3$ m du premier enfant (donc $2$ m du second, le plus lourd).