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Résoudre des problèmes de géométrie — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Exercice 1 (4 points) — Choisir un repère

$ABCD$ est un rectangle avec $AB = 8$ et $AD = 6$ . $K$ est le milieu de $[BC]$ .

Place un repère orthonormé adapté et donne les coordonnées de $A$ , $B$ , $C$ , $D$ et $K$ . (1,5 point)
Calcule $AK$ et $DK$ . Le triangle $ADK$ est-il isocèle ? (1,5 point)
Calcule l'aire du triangle $ADK$ . (1 point)

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Origine en $A$ , axes selon $(AB)$ et $(AD)$ : $A(0\,;\,0)$ , $B(8\,;\,0)$ , $C(8\,;\,6)$ , $D(0\,;\,6)$ et $K(8\,;\,3)$ (milieu de $[BC]$ ).
$AK = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$ et $DK = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$ : $AK = DK$ , le triangle $ADK$ est isocèle en $K$ .
Base $[AD]$ de longueur $6$ (sur l'axe des ordonnées) et hauteur issue de $K$ égale à l'abscisse de $K$ , soit $8$ : aire $= \dfrac{6 \times 8}{2} = 24$ .

Exercice 2 (4 points) — Cercle

Dans un repère orthonormé, on donne $\Omega(-1\,;\,2)$ , $A(2\,;\,6)$ et $B(4\,;\,2)$ .

Calcule $\Omega A$ . (1 point)
Le point $B$ est-il sur le cercle de centre $\Omega$ passant par $A$ ? (1 point)
Détermine les coordonnées du point $A'$ diamétralement opposé à $A$ sur ce cercle. (2 points)

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$\Omega A = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ .
$\Omega B = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5$ : oui, $B$ est sur le cercle (de rayon $5$ ).
$\Omega$ est le milieu de $[AA']$ : $\dfrac{2 + x_{A'}}{2} = -1$ et $\dfrac{6 + y_{A'}}{2} = 2$ , donc $A'(-4\,;\,-2)$ .

Exercice 3 (4 points) — Nature d'un quadrilatère

Dans un repère orthonormé : $A(0\,;\,0)$ , $B(3\,;\,1)$ , $C(4\,;\,4)$ , $D(1\,;\,3)$ .

Montre que $ABCD$ est un parallélogramme. (1 point)
Montre que c'est un losange. (1,5 point)
Est-ce un carré ? Justifie. (1,5 point)

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$\overrightarrow{AB}(3\,;\,1)$ et $\overrightarrow{DC}(3\,;\,1)$ : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ , donc $ABCD$ est un parallélogramme.
$AB^2 = 9 + 1 = 10$ et $BC^2 = 1 + 9 = 10$ : deux côtés consécutifs de même longueur, le parallélogramme est un losange.
$AC^2 = 16 + 16 = 32$ et $BD^2 = 4 + 4 = 8$ : les diagonales n'ont pas la même longueur, ce n'est donc pas un rectangle, ni un carré.

Exercice 4 (4 points) — Méthode vectorielle

$ABC$ est un triangle. $M$ est le point tel que $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}$ , et $N$ le point tel que $\overrightarrow{AN} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}$ .

Exprime $\overrightarrow{MN}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}$ . (2,5 points)
Que peux-tu en déduire pour les droites $(MN)$ et $(BC)$ , et pour les longueurs $MN$ et $BC$ ? (1,5 point)

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$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = -\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\right) = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}$ .
Les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires : $(MN) \parallel (BC)$ . De plus $MN = \dfrac{1}{4}BC$ .

Exercice 5 (4 points) — Triangle rectangle et cercle circonscrit

Dans un repère orthonormé : $E(1\,;\,1)$ , $F(5\,;\,3)$ , $G(-1\,;\,5)$ .

Calcule $EF^2$ , $EG^2$ et $FG^2$ . (1,5 point)
Montre que le triangle $EFG$ est rectangle ; précise en quel sommet. (1 point)
Donne le centre et le rayon de son cercle circonscrit. (1,5 point)

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$EF^2 = 16 + 4 = 20$ ; $EG^2 = 4 + 16 = 20$ ; $FG^2 = 36 + 4 = 40$ .
$EF^2 + EG^2 = 40 = FG^2$ : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, $EFG$ est rectangle en $E$ (et isocèle, car $EF = EG$ ).
Le centre est le milieu de l'hypoténuse $[FG]$ : $\left(\dfrac{5 - 1}{2}\,;\,\dfrac{3 + 5}{2}\right) = (2\,;\,4)$ . Le rayon vaut $\dfrac{FG}{2} = \dfrac{\sqrt{40}}{2} = \dfrac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}$ .