Seconde⏱ 5 séances

Résoudre des problèmes de géométrie

Ce que tu vas apprendre

Choisir un repère adapté à une figure donnée sans coordonnées
Résoudre un même problème par plusieurs méthodes (vectorielle, repérée, géométrique) et comparer
Démontrer la nature d'un triangle ou d'un quadrilatère
Utiliser les distances pour les cercles (appartenance, cercle circonscrit)
Calculer des longueurs et des aires dans un repère
Pour aller plus loin : isobarycentre et barycentre de deux points

Notions clésméthode vectorielleméthode repéréeméthode géométriquerepère adapténature d'une figurecercle circonscritisobarycentre, barycentre

Ce que tu sais déjà. Tu disposes maintenant de trois « boîtes à outils » : les théorèmes du collège (Pythagore, Thalès, droite des milieux, propriétés des quadrilatères), le calcul vectoriel (Vecteurs) et le calcul en coordonnées (Coordonnées, Droites). Ce chapitre apprend à choisir la bonne boîte selon le problème — c’est une capacité explicitement attendue par le programme.

1. Trois méthodes pour démontrer

Pour démontrer…	méthode géométrique	méthode vectorielle	méthode repérée
un alignement	Thalès, droite des milieux…	$\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$	$\det\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right) = 0$
un parallélisme	propriétés des quadrilatères	vecteurs colinéaires	même pente ou $\det = 0$
un milieu	diagonales d’un parallélogramme	$\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$	formule du milieu
une égalité de longueurs	symétries, triangles isométriques	normes	formule de la distance
un angle droit	réciproque de Pythagore	—	carrés des distances + Pythagore

📋 Méthode — Comment choisir ?

La figure a déjà des coordonnées (ou on peut facilement lui en donner) : la méthode repérée est souvent la plus directe — c’est du calcul.
L’énoncé parle de vecteurs, de milieux, de points définis par « $\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AB}$ » : la méthode vectorielle, avec deux vecteurs de référence, est naturelle.
La figure contient des milieux, des parallèles, des angles droits « classiques » : un théorème du collège donne parfois la réponse en une ligne.
En cas de doute, commencer par une figure soignée pour conjecturer, puis démontrer.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Choisir un repère adapté

Quand une figure est donnée sans coordonnées (un carré, un rectangle, un triangle rectangle…), on peut choisir soi-même un repère : on place l’origine en un sommet et les axes le long de deux côtés perpendiculaires. Le repère est orthonormé si l’on garde la même unité sur les deux axes : on peut alors calculer des distances.

Dans le carré ABCD de côté 4, on place A à l'origine, B sur l'axe des abscisses et D sur l'axe des ordonnées : tous les points ont alors des coordonnées simples.

Exemple. $ABCD$ est un carré de côté $4$ , $E$ est le milieu de $[BC]$ et $F$ celui de $[CD]$ . Dans le repère $(A\,;\,\overrightarrow{AB}/4, \overrightarrow{AD}/4)$ : $A(0\,;\,0)$ , $E(4\,;\,2)$ , $F(2\,;\,4)$ .

$AE^2 = 16 + 4 = 20$ et $AF^2 = 4 + 16 = 20$ : le triangle $AEF$ est isocèle en $A$ .

$EF^2 = 4 + 4 = 8$ et $20 \neq 20 + 8$ : il n’est pas rectangle en $A$ .

Aire de $AEF$ : on retire du carré les trois triangles rectangles $ABE$ , $ADF$ et $ECF$ : $16 - \dfrac{4 \times 2}{2} - \dfrac{4 \times 2}{2} - \dfrac{2 \times 2}{2} = 16 - 4 - 4 - 2 = 6$ .

→ S’entraîner : Exercice 2 · Exercice 3

3. Un même problème, plusieurs méthodes

Problème. Dans un triangle $ABC$ , $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ celui de $[AC]$ . Démontrer que $(IJ) \parallel (BC)$ et $IJ = \dfrac{1}{2}BC$ .

Méthode géométrique : c’est le théorème de la droite des milieux, vu en 4e.
Méthode vectorielle : avec Chasles, $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\right) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ . Les vecteurs sont colinéaires (parallélisme) et $IJ = \dfrac{1}{2}BC$ : la démonstration vectorielle redémontre le théorème du collège, pour n’importe quel triangle.
Méthode repérée : sur un exemple en coordonnées, on calcule $I$ , $J$ , puis $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{BC}$ — mais cela ne prouve le résultat que pour ce triangle-là.

La relation IJ = ½ BC, obtenue par le calcul vectoriel, donne à la fois le parallélisme et le rapport des longueurs.

Remarque. La méthode vectorielle (ou repérée avec des coordonnées générales, comme $B(b\,;\,0)$ , $C(c\,;\,d)$ ) démontre un résultat pour toutes les figures ; des coordonnées numériques ne traitent qu’un cas.

→ S’entraîner : Exercice 4

4. Distances et cercles

Définition. Le cercle de centre $\Omega$ et de rayon $r > 0$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\Omega M = r$ . Dans un repère orthonormé, $M$ appartient à ce cercle si et seulement si $\Omega M^2 = r^2$ .

Propriété (collège). Un triangle est rectangle si et seulement si il est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l’un de ses côtés : le centre de son cercle circonscrit est alors le milieu de l’hypoténuse.

Le triangle ABC est rectangle en A (réciproque de Pythagore) : le centre Ω de son cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse [BC].

Exemple. $A(0\,;\,0)$ , $B(4\,;\,2)$ , $C(-1\,;\,2)$ . $AB^2 = 20$ , $AC^2 = 5$ , $BC^2 = 25$ , et $20 + 5 = 25$ : le triangle est rectangle en $A$ (réciproque de Pythagore). Le centre du cercle circonscrit est le milieu de $[BC]$ : $\Omega(1{,}5\,;\,2)$ , et le rayon vaut $\dfrac{BC}{2} = 2{,}5$ . Vérification : $\Omega A^2 = 1{,}5^2 + 2^2 = 6{,}25 = 2{,}5^2$ . ✓

→ S’entraîner : Exercice 5

5. Pour aller plus loin : isobarycentre et barycentre

Cette section correspond aux approfondissements proposés par le programme ; elle n’est pas exigible.

Définition. L’isobarycentre de trois points $A$ , $B$ , $C$ est l’unique point $G$ tel que $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$ . Ses coordonnées sont les moyennes de celles de $A$ , $B$ et $C$ ; pour un triangle, c’est le centre de gravité, point de concours des médianes, situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet (voir les chapitres sur les vecteurs).

Définition. Soit $a$ et $b$ deux réels avec $a + b \neq 0$ . Le barycentre des points $A$ et $B$ affectés des coefficients $a$ et $b$ est l’unique point $G$ tel que $a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} = \vec{0}$ . On montre (exercice 7) que $\overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a + b}\overrightarrow{AB}$ : $G$ est sur la droite $(AB)$ , plus proche du point qui a le plus grand coefficient — comme le point d’équilibre d’une balance.

Exemple. Avec $a = 1$ et $b = 1$ , on retrouve le milieu de $[AB]$ : $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ .

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7