Seconde

Généralités sur les fonctions — Exercices d'application

1. Fonction, image, antécédent

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Exercice 1 — ⭐

Sans calculatrice. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 - 3$ .

Calcule $f(-2)$ , $f(0)$ et $f\left(\sqrt{2}\right)$ .
Détermine les antécédents de $15$ , puis ceux de $-3$ .
Le nombre $-5$ a-t-il des antécédents ? Justifie.

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$f(-2) = 2 \times 4 - 3 = 5$ ; $f(0) = -3$ ; $f\left(\sqrt{2}\right) = 2 \times 2 - 3 = 1$ .
$2x^2 - 3 = 15 \iff x^2 = 9 \iff x = 3$ ou $x = -3$ : deux antécédents. $2x^2 - 3 = -3 \iff x^2 = 0 \iff x = 0$ : un seul antécédent, $0$ .
$2x^2 - 3 = -5 \iff x^2 = -1$ , impossible : $-5$ n’a aucun antécédent.

2. Déterminer l’ensemble de définition

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Exercice 2 — ⭐⭐

Détermine l’ensemble de définition de chaque fonction : $f(x) = \dfrac{3}{x + 4}$ ; $\;g(x) = \dfrac{x + 1}{2x - 6}$ ; $\;h(x) = \dfrac{5}{x^2 - 9}$ ; $\;k(x) = \dfrac{3x}{x^2 + 1}$ .
On découpe un carré de côté $x$ cm aux quatre coins d’une plaque carrée de $20$ cm de côté, puis on replie pour former une boîte sans couvercle. Exprime le volume $V(x)$ de la boîte et précise sur quel intervalle $x$ peut varier.

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- $x + 4 = 0 \iff x = -4$ : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-4\}$ .
- $2x - 6 = 0 \iff x = 3$ : $D_g = \mathbb{R} \setminus \{3\}$ .
- $x^2 - 9 = 0 \iff x = 3$ ou $x = -3$ : $D_h = \mathbb{R} \setminus \{-3\,;\,3\}$ .
- $x^2 + 1 > 0$ pour tout $x$ : $D_k = \mathbb{R}$ .
Le fond de la boîte est un carré de côté $20 - 2x$ et la hauteur vaut $x$ : $V(x) = x(20 - 2x)^2$ . Il faut $x > 0$ et $20 - 2x > 0$ , soit $0 < x < 10$ : $x \in ]0\,;\,10[$ .

3. Courbe représentative

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Exercice 3 — ⭐

Soit $f(x) = x^2 - 2x - 3$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe.

Les points $A(2\,;\,-3)$ , $B(-2\,;\,4)$ et $C(5\,;\,12)$ appartiennent-ils à $\mathcal{C}_f$ ?
Détermine l’ordonnée du point de $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $-3$ .
Détermine les points de $\mathcal{C}_f$ d’ordonnée $0$ , sachant que $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$ .

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$f(2) = -3$ : $A \in \mathcal{C}_f$ . $f(-2) = 5 \neq 4$ : $B \notin \mathcal{C}_f$ . $f(5) = 25 - 10 - 3 = 12$ : $C \in \mathcal{C}_f$ .
$f(-3) = 9 + 6 - 3 = 12$ : le point est $(-3\,;\,12)$ .
$(x - 3)(x + 1) = 0 \iff x = 3$ ou $x = -1$ : les points $(3\,;\,0)$ et $(-1\,;\,0)$ .

Exercice 4 — ⭐⭐

On modifie le programme du cours pour obtenir un tableau de valeurs de $0{,}5$ en $0{,}5$ :

def f(x):
    return x ** 2 - 2 * x - 3

x = -2
while x <= 4:
    print(x, f(x))
    x = x + 0.5

Combien de lignes le programme affiche-t-il ?
Quelles valeurs affiche-t-il pour $x = 0{,}5$ et $x = 1{,}5$ ? Que remarques-tu ?
D’après ce tableau, quelle semble être la plus petite valeur prise par $f$ sur $[-2\,;\,4]$ ?

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$x$ prend les valeurs $-2 ; -1{,}5 ; \ldots ; 4$ : $13$ lignes.
0.5 -3.75 et 1.5 -3.75 : les deux images sont égales ; la courbe semble symétrique par rapport à la droite d’équation $x = 1$ .
La plus petite valeur affichée est $f(1) = -4$ : $f$ semble atteindre son minimum $-4$ en $x = 1$ (ce sera justifié au chapitre sur les variations).

4. Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation

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Exercice 5 — ⭐⭐

On utilise la courbe du cours ( $f(x) = x^2 - 2x - 3$ sur $[-2\,;\,4]$ ).

Lis graphiquement l’image de $3$ et les antécédents de $5$ .
Résous graphiquement $f(x) = -4$ , puis $f(x) \geqslant 0$ .
Résous graphiquement $f(x) < -3$ .

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$f(3) = 0$ . Les antécédents de $5$ sont $-2$ et $4$ .
$f(x) = -4$ : une seule solution, $x = 1$ (le point le plus bas). $f(x) \geqslant 0$ : $x \in [-2\,;\,-1] \cup [3\,;\,4]$ .
La courbe est strictement sous la droite $y = -3$ entre les abscisses $0$ et $2$ : $x \in ]0\,;\,2[$ .

Exercice 6 — ⭐⭐

Soit $g$ la fonction définie sur $[-1\,;\,5]$ par $g(x) = x^2 - 4x$ .

Recopie et complète le tableau de valeurs pour $x = -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$ , puis trace l’allure de la courbe.
Résous graphiquement $g(x) = -3$ .
Vérifie ta réponse par le calcul, en montrant que $g(x) + 3 = (x - 1)(x - 3)$ .

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Valeurs : $g(-1) = 5$ , $g(0) = 0$ , $g(1) = -3$ , $g(2) = -4$ , $g(3) = -3$ , $g(4) = 0$ , $g(5) = 5$ .
La droite $y = -3$ coupe la courbe aux points d’abscisses $1$ et $3$ .
$(x - 1)(x - 3) = x^2 - 3x - x + 3 = x^2 - 4x + 3 = g(x) + 3$ . Donc $g(x) = -3 \iff (x - 1)(x - 3) = 0 \iff x = 1$ ou $x = 3$ . ✓

5. Comparer deux fonctions

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Exercice 7 — ⭐⭐⭐

On reprend $f(x) = x^2 - 2x - 3$ et $g(x) = x + 1$ (figure du cours).

Lis graphiquement les solutions de $f(x) = g(x)$ et de $f(x) > g(x)$ sur $[-2\,;\,4]$ .
Montre que $f(x) - g(x) = (x - 4)(x + 1)$ et retrouve les solutions de $f(x) = g(x)$ .
Calcule $f(0)$ et $g(0)$ : est-ce cohérent avec la réponse à la question 1 ?

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Intersections aux abscisses $-1$ et $4$ . $\mathcal{C}_f$ est strictement au-dessus de $\mathcal{C}_g$ pour $x \in [-2\,;\,-1[$ .
$f(x) - g(x) = x^2 - 3x - 4$ et $(x - 4)(x + 1) = x^2 + x - 4x - 4 = x^2 - 3x - 4$ . ✓ $f(x) = g(x) \iff (x - 4)(x + 1) = 0 \iff x = 4$ ou $x = -1$ .
$f(0) = -3 < g(0) = 1$ : en $0$ , $\mathcal{C}_f$ est bien sous $\mathcal{C}_g$ , cohérent (car $0 \in ]-1\,;\,4[$ ).

Exercice 8 — ⭐⭐⭐

On reprend le rectangle du cours : périmètre $20$ cm, largeur $x$ , aire $A(x) = x(10 - x)$ pour $x \in ]0\,;\,10[$ .

Calcule $A(2)$ , $A(5)$ et $A(8)$ . Que remarques-tu ?
Vérifie que $A(x) - 16 = -(x - 2)(x - 8)$ , puis résous $A(x) = 16$ . Interprète.
D’après un tableau de valeurs (ou la calculatrice), quelle semble être l’aire maximale ? Pour quelle largeur ?

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$A(2) = 2 \times 8 = 16$ , $A(5) = 25$ , $A(8) = 8 \times 2 = 16$ . Les largeurs $2$ et $8$ donnent la même aire : ce sont les mêmes rectangles, tournés d’un quart de tour.
$-(x - 2)(x - 8) = -(x^2 - 10x + 16) = -x^2 + 10x - 16 = A(x) - 16$ . ✓ Donc $A(x) = 16 \iff (x - 2)(x - 8) = 0 \iff x = 2$ ou $x = 8$ : les rectangles $2 \times 8$ ont une aire de $16$ cm².
L’aire semble maximale pour $x = 5$ : c’est le carré de côté $5$ , d’aire $25$ cm².