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Seconde⏱ 50 minutes

Généralités sur les fonctions — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour les exercices 1 à 4.

Exercice 1 (4 points) — Images et antécédents

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=−x2+4f(x) = -x^2 + 4.

  1. Calcule f(−1)f(-1), f(0)f(0) et f(3)f(3). (1,5 point)
  2. Détermine les antécédents de 00. (1,5 point)
  3. Le nombre 55 a-t-il des antécédents par ff ? Justifie. (1 point)
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  1. f(−1)=−1+4=3f(-1) = -1 + 4 = 3 ; f(0)=4f(0) = 4 ; f(3)=−9+4=−5f(3) = -9 + 4 = -5. (Attention : −x2-x^2 avec x=−1x = -1 donne −(−1)2=−1-(-1)^2 = -1.)
  2. −x2+4=0  ⟺  x2=4  ⟺  x=2-x^2 + 4 = 0 \iff x^2 = 4 \iff x = 2 ou x=−2x = -2. Les antécédents de 00 sont −2-2 et 22.
  3. −x2+4=5  ⟺  x2=−1-x^2 + 4 = 5 \iff x^2 = -1 : impossible. 55 n'a aucun antécédent.

Exercice 2 (4 points) — Ensembles de définition

Détermine l'ensemble de définition de chaque fonction. (4 × 1 point)

a(x)=7x−5b(x)=x3x+12c(x)=2x2−16d(x)=x−1x2+4a(x) = \frac{7}{x - 5} \qquad b(x) = \frac{x}{3x + 12} \qquad c(x) = \frac{2}{x^2 - 16} \qquad d(x) = \frac{x - 1}{x^2 + 4}

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  • aa : valeur interdite 55. Da=R∖{5}D_a = \mathbb{R} \setminus \{5\}.
  • bb : 3x+12=0  ⟺  x=−43x + 12 = 0 \iff x = -4. Db=R∖{−4}D_b = \mathbb{R} \setminus \{-4\}.
  • cc : x2−16=0  ⟺  x=4x^2 - 16 = 0 \iff x = 4 ou x=−4x = -4. Dc=R∖{−4 ; 4}D_c = \mathbb{R} \setminus \{-4\,;\,4\}.
  • dd : x2+4⩾4>0x^2 + 4 \geqslant 4 > 0, le dénominateur ne s'annule jamais. Dd=RD_d = \mathbb{R}.

Exercice 3 (4 points) — Courbe représentative

Soit g(x)=x2−4xg(x) = x^2 - 4x, et Cg\mathcal{C}_g sa courbe.

  1. Les points E(1 ; −3)E(1\,;\,-3) et F(−1 ; 3)F(-1\,;\,3) appartiennent-ils à Cg\mathcal{C}_g ? (2 points)
  2. Détermine les points de Cg\mathcal{C}_g situés sur l'axe des abscisses. (2 points)
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  1. g(1)=1−4=−3g(1) = 1 - 4 = -3 : E∈CgE \in \mathcal{C}_g. g(−1)=1+4=5≠3g(-1) = 1 + 4 = 5 \neq 3 : F∉CgF \notin \mathcal{C}_g.
  2. On cherche les points d'ordonnée 00 : x2−4x=0  ⟺  x(x−4)=0  ⟺  x=0x^2 - 4x = 0 \iff x(x - 4) = 0 \iff x = 0 ou x=4x = 4. Les points sont (0 ; 0)(0\,;\,0) et (4 ; 0)(4\,;\,0).

Exercice 4 (4 points) — Résoudre

On garde g(x)=x2−4xg(x) = x^2 - 4x.

  1. Vérifie que g(x)+3=(x−1)(x−3)g(x) + 3 = (x - 1)(x - 3). (1 point)
  2. Résous l'équation g(x)=−3g(x) = -3. (1,5 point)
  3. Sur la courbe de gg, que représentent graphiquement les solutions trouvées ? (1,5 point)
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  1. (x−1)(x−3)=x2−3x−x+3=x2−4x+3=g(x)+3(x - 1)(x - 3) = x^2 - 3x - x + 3 = x^2 - 4x + 3 = g(x) + 3. ✓
  2. g(x)=−3  ⟺  g(x)+3=0  ⟺  (x−1)(x−3)=0  ⟺  x=1g(x) = -3 \iff g(x) + 3 = 0 \iff (x - 1)(x - 3) = 0 \iff x = 1 ou x=3x = 3.
  3. Ce sont les abscisses des points d'intersection de Cg\mathcal{C}_g avec la droite horizontale d'équation y=−3y = -3.

Exercice 5 (4 points) — Un enclos

Avec 2424 m de grillage, on veut clôturer un enclos rectangulaire le long d'un mur (le côté le long du mur n'a pas besoin de grillage). On note xx la longueur, en mètres, des deux côtés perpendiculaires au mur.

  1. Exprime la longueur du côté parallèle au mur, puis l'aire A(x)A(x) de l'enclos. (1 point)
  2. Sur quel intervalle xx peut-il varier ? (1 point)
  3. Montre que A(x)−64=−2(x−4)(x−8)A(x) - 64 = -2(x - 4)(x - 8), puis détermine pour quelles valeurs de xx l'aire vaut 6464 m². (2 points)
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  1. Côté parallèle au mur : 24−2x24 - 2x. Aire : A(x)=x(24−2x)A(x) = x(24 - 2x).
  2. Il faut x>0x > 0 et 24−2x>024 - 2x > 0, soit 0<x<120 < x < 12 : x∈]0 ; 12[x \in ]0\,;\,12[.
  3. −2(x−4)(x−8)=−2(x2−12x+32)=−2x2+24x−64-2(x - 4)(x - 8) = -2(x^2 - 12x + 32) = -2x^2 + 24x - 64 et A(x)−64=24x−2x2−64A(x) - 64 = 24x - 2x^2 - 64 : c'est égal. ✓ Donc A(x)=64  ⟺  (x−4)(x−8)=0  ⟺  x=4A(x) = 64 \iff (x - 4)(x - 8) = 0 \iff x = 4 ou x=8x = 8 (toutes deux dans ]0 ; 12[]0\,;\,12[). L'enclos mesure alors 4×164 \times 16 ou 8×88 \times 8 mètres.