Seconde⏱ 6 séances

Généralités sur les fonctions

Ce que tu vas apprendre

Utiliser le vocabulaire : fonction, ensemble de définition, image, antécédent
Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction (valeurs interdites, contexte)
Savoir si un point appartient à une courbe représentative
Construire un tableau de valeurs, à la main ou en Python
Résoudre graphiquement f(x) = k, f(x) < k, f(x) = g(x), f(x) < g(x)
Modéliser une situation par une fonction

Notions clésfonction, ensemble de définitionimage, antécédentcourbe représentative, y = f(x)tableau de valeursrésolution graphiqueposition relative de deux courbes

Ce que tu sais déjà. Le vocabulaire image / antécédent, la notation $f(x)$ et les fonctions linéaires et affines (3e — Fonctions affines), ainsi que la fonction carré (3e — Fonction carré). En Seconde, on étudie des fonctions quelconques : on précise sur quel ensemble elles sont définies et on apprend à lire et résoudre avec leur courbe.

1. Fonction, image, antécédent

Définition. Soit $D$ un ensemble de réels (souvent un intervalle ou une réunion d’intervalles). Définir une fonction $f$ sur $D$ , c’est associer à chaque réel $x$ de $D$ un unique réel, noté $f(x)$ et appelé image de $x$ . On note $f : x \mapsto f(x)$ . L’ensemble $D$ est l’ensemble de définition de $f$ .

Si $f(a) = b$ , on dit que $a$ est un antécédent de $b$ .

Attention. Chaque $x$ de $D$ a une seule image, mais un réel $b$ peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédents.

Exemple. $f(x) = 2x^2 - 3$ sur $\mathbb{R}$ . L’image de $-2$ est $f(-2) = 2 \times 4 - 3 = 5$ . Les antécédents de $15$ sont les solutions de $2x^2 - 3 = 15$ , soit $x^2 = 9$ : ce sont $-3$ et $3$ . Le nombre $-5$ n’a aucun antécédent, car $2x^2 - 3 = -5$ donne $x^2 = -1$ , impossible.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Déterminer l’ensemble de définition

Quand une fonction est donnée par une formule sans précision, son ensemble de définition est l’ensemble des réels pour lesquels la formule a un sens. En Seconde, la principale contrainte est : on ne divise pas par $0$ . Dans un problème concret, le contexte impose aussi des contraintes (une longueur est positive, un nombre d’objets est entier…).

📋 Méthode — Ensemble de définition d'une fonction avec un quotient

Repérer les dénominateurs contenant $x$ .
Résoudre « dénominateur $= 0$ » : les solutions sont les valeurs interdites.
L’ensemble de définition est $\mathbb{R}$ privé de ces valeurs, qu’on écrit avec le symbole « $\setminus$ » ou comme une réunion d’intervalles.

Exemples.

$f(x) = \dfrac{1}{x - 3}$ : valeur interdite $3$ . $D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\} = ]-\infty\,;\,3[ \cup ]3\,;\,+\infty[$ .

$g(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 - 4}$ : $x^2 - 4 = 0 \iff x = 2$ ou $x = -2$ . $D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2\,;\,2\}$ .

$h(x) = \dfrac{5}{x^2 + 1}$ : $x^2 + 1 \geqslant 1 > 0$ , le dénominateur ne s’annule jamais : $D_h = \mathbb{R}$ .

Exemple (contexte). Un rectangle a un périmètre de $20$ cm et une largeur $x$ . Sa longueur vaut $10 - x$ et son aire $A(x) = x(10 - x)$ . Pour que les deux dimensions soient strictement positives, il faut $0 < x < 10$ : on étudie $A$ sur $]0\,;\,10[$ .

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Courbe représentative

Définition. Dans un repère, la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$ est l’ensemble des points de coordonnées $(x\,;\,f(x))$ , pour $x \in D_f$ . On dit que $\mathcal{C}_f$ a pour équation $y = f(x)$ .

Propriété. Un point $M(a\,;\,b)$ appartient à $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $a \in D_f$ et $b = f(a)$ .

Exemple. $f(x) = x^2 - 2x - 3$ . Le point $A(2\,;\,-3)$ est sur $\mathcal{C}_f$ car $f(2) = 4 - 4 - 3 = -3$ . Le point $B(-2\,;\,4)$ n’y est pas, car $f(-2) = 5 \neq 4$ .

Tracer une courbe. On calcule un tableau de valeurs, on place les points et on les relie « sans angle ». Un programme Python fait très bien le calcul :

def f(x):
    return x ** 2 - 2 * x - 3

for x in range(-2, 5):
    print(x, f(x))

Ce programme affiche les couples $(-2\,;\,5)$ , $(-1\,;\,0)$ , $(0\,;\,-3)$ , $(1\,;\,-4)$ , $(2\,;\,-3)$ , $(3\,;\,0)$ , $(4\,;\,5)$ — ce sont des points de la courbe tracée à la section suivante.

→ S’entraîner : Exercice 3 · Exercice 4

4. Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation

La droite y = −3 coupe la courbe en deux points d'abscisses 0 et 2 : ce sont les solutions de f(x) = −3. La courbe est sous l'axe des abscisses entre −1 et 3 : f(x) < 0 sur ]−1 ; 3[.

📋 Méthode — Résolution graphique

$f(x) = k$ : tracer la droite horizontale d’équation $y = k$ ; les solutions sont les abscisses des points d’intersection avec $\mathcal{C}_f$ .
$f(x) < k$ : chercher les abscisses des points de $\mathcal{C}_f$ situés strictement sous la droite $y = k$ (au-dessus pour $f(x) > k$ ). On donne la réponse sous forme d’intervalles, en soignant les crochets.
Une lecture graphique donne des valeurs approchées ; seul un calcul donne des valeurs exactes.

Exemple. Avec la courbe ci-dessus, sur $[-2\,;\,4]$ : $f(x) = -3$ a pour solutions $0$ et $2$ ; $f(x) < 0$ pour $x \in ]-1\,;\,3[$ ; $f(x) \geqslant 0$ pour $x \in [-2\,;\,-1] \cup [3\,;\,4]$ . Vérification algébrique : $x^2 - 2x - 3 = -3 \iff x^2 - 2x = 0 \iff x(x - 2) = 0$ , donc $x = 0$ ou $x = 2$ . ✓

→ S’entraîner : Exercice 5 · Exercice 6

5. Comparer deux fonctions

Propriété. Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $D$ .

Les solutions de $f(x) = g(x)$ sont les abscisses des points d’intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ .
Les solutions de $f(x) < g(x)$ sont les abscisses des points où $\mathcal{C}_f$ est strictement au-dessous de $\mathcal{C}_g$ .

La parabole Cf et la droite Cg se coupent aux points d'abscisses −1 et 4 ; entre les deux, Cf est sous Cg.

Exemple. $f(x) = x^2 - 2x - 3$ et $g(x) = x + 1$ . Graphiquement, $f(x) \leqslant g(x)$ pour $x \in [-1\,;\,4]$ . Algébriquement : $f(x) - g(x) = x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)$ (on le vérifie en développant), donc $f(x) = g(x) \iff x = 4$ ou $x = -1$ . L’étude du signe de $(x - 4)(x + 1)$ , qui confirmera l’inégalité, sera faite au chapitre sur les tableaux de signes.

→ S’entraîner : Exercice 7 · Exercice 8