Seconde

Fonctions de référence : carré, inverse, valeur absolue — Exercices d'application

1. La fonction carré

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Exercice 1 — ⭐

Soit $f$ la fonction carré.

Calcule $f(-3)$ , $f\left(\dfrac12\right)$ , $f(\sqrt5)$ , $f(-\sqrt5)$ et $f(10^{-2})$ .
Détermine, s’ils existent, les antécédents par $f$ de $16$ , de $0$ , de $-4$ et de $7$ .
Le point $A(-1{,}5\,;\,2{,}25)$ appartient-il à la parabole ? Et $B(0{,}3\,;\,0{,}9)$ ?

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$f(-3) = 9$ ; $f\left(\dfrac12\right) = \dfrac14$ ; $f(\sqrt5) = 5$ ; $f(-\sqrt5) = 5$ ; $f(10^{-2}) = 10^{-4} = 0{,}0001$ .
$16$ a deux antécédents : $4$ et $-4$ . $0$ en a un seul : $0$ . $-4$ n’en a aucun (un carré est positif). $7$ en a deux : $\sqrt7$ et $-\sqrt7$ .
$(-1{,}5)^2 = 2{,}25$ : $A$ est sur la parabole. $0{,}3^2 = 0{,}09 \neq 0{,}9$ : $B$ n’y est pas.

Exercice 2 — ⭐⭐

Sans calculer les carrés, compare : a) $2{,}1^2$ et $2{,}01^2$ b) $(-3{,}5)^2$ et $(-3{,}4)^2$ c) $(\sqrt2 - 1)^2$ et $0{,}5^2$
Compare $\left(-\dfrac13\right)^2$ et $\left(\dfrac14\right)^2$ . (Indication : $(-x)^2 = x^2$ .)
Rédige la démonstration du fait que la fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ .

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a) $0 \leqslant 2{,}01 < 2{,}1$ et la fonction carré est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ : $2{,}01^2 < 2{,}1^2$ . b) $-3{,}5 < -3{,}4 \leqslant 0$ et elle est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ : $(-3{,}5)^2 > (-3{,}4)^2$ . c) $\sqrt2 - 1 \approx 0{,}414$ , donc $0 \leqslant \sqrt2 - 1 < 0{,}5$ : $(\sqrt2 - 1)^2 < 0{,}5^2$ .
$\left(-\dfrac13\right)^2 = \left(\dfrac13\right)^2$ . Or $0 \leqslant \dfrac14 < \dfrac13$ , donc $\left(\dfrac14\right)^2 < \left(\dfrac13\right)^2 = \left(-\dfrac13\right)^2$ .
Soient $a < b \leqslant 0$ . $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$ avec $b - a > 0$ et $b + a < 0$ (somme de deux nombres négatifs, dont $a < 0$ ). Donc $b^2 - a^2 < 0$ , soit $a^2 > b^2$ : la fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ .

2. Équations et inéquations avec un carré

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Exercice 3 — ⭐⭐

Résous dans $\mathbb{R}$ :

$x^2 = 49$ 2. $x^2 = -2$ 3. $x^2 \leqslant 10$ 4. $x^2 > 9$ 5. $(x - 1)^2 = 4$

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$x = 7$ ou $x = -7$ : $\mathcal{S} = \{-7\,;\,7\}$ .
Un carré n’est jamais strictement négatif : $\mathcal{S} = \varnothing$ .
$\mathcal{S} = [-\sqrt{10}\,;\,\sqrt{10}]$ .
$\mathcal{S} = \,]-\infty\,;\,-3[ \,\cup\, ]3\,;\,+\infty[$ .
$x - 1 = 2$ ou $x - 1 = -2$ , soit $x = 3$ ou $x = -1$ : $\mathcal{S} = \{-1\,;\,3\}$ .

Exercice 4 — ⭐⭐⭐

À l’aide du tableau de variations de la fonction carré, donne le meilleur encadrement possible de $x^2$ dans chacun des cas :

$x \in [1\,;\,3]$ 2. $x \in [-4\,;\,-1]$ 3. $x \in [-2\,;\,5]$

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La fonction carré est croissante sur $[1\,;\,3]$ : $1 \leqslant x^2 \leqslant 9$ .
Elle est décroissante sur $[-4\,;\,-1]$ : l’ordre s’inverse, $(-1)^2 \leqslant x^2 \leqslant (-4)^2$ , soit $1 \leqslant x^2 \leqslant 16$ .
L’intervalle contient $0$ : la fonction décroît de $4$ à $0$ sur $[-2\,;\,0]$ , puis croît de $0$ à $25$ sur $[0\,;\,5]$ . Minimum $0$ , maximum $25$ : $0 \leqslant x^2 \leqslant 25$ .

3. La fonction inverse

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Exercice 5 — ⭐

Soit $g$ la fonction inverse.

Calcule $g(-4)$ , $g(0{,}2)$ , $g\left(\dfrac23\right)$ et $g(10^{3})$ .
Détermine l’antécédent de $5$ , puis celui de $-\dfrac14$ . Le nombre $0$ a-t-il un antécédent ?
Quel est le signe de $g(-\pi)$ ? Justifie sans calculatrice.

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$g(-4) = -\dfrac14$ ; $g(0{,}2) = 5$ ; $g\left(\dfrac23\right) = \dfrac32$ ; $g(10^{3}) = 10^{-3}$ .
$\dfrac1x = 5 \iff x = \dfrac15 = 0{,}2$ . $\dfrac1x = -\dfrac14 \iff x = -4$ . $0$ n’a pas d’antécédent : un inverse n’est jamais nul.
$-\pi < 0$ et $\dfrac1x$ a le même signe que $x$ : $g(-\pi) < 0$ .

Exercice 6 — ⭐⭐

Compare sans calculer : a) $\dfrac1\pi$ et $\dfrac13$ b) $\dfrac{1}{-2}$ et $\dfrac{1}{-3}$
Encadre $\dfrac1x$ lorsque $x \in [2\,;\,5]$ , puis lorsque $x \in [-4\,;\,-1]$ .
Un élève écrit : « $-2 < 3$ , donc $\dfrac{1}{-2} > \dfrac13$ car la fonction inverse est décroissante ». Qu’en penses-tu ?

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a) $0 < 3 < \pi$ et la fonction inverse est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ : $\dfrac1\pi < \dfrac13$ . b) $-3 < -2 < 0$ et elle est décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ : $\dfrac{1}{-3} > \dfrac{1}{-2}$ (en effet $-0{,}33\ldots > -0{,}5$ ).
Sur $[2\,;\,5]$ , la fonction est décroissante : $\dfrac15 \leqslant \dfrac1x \leqslant \dfrac12$ . Sur $[-4\,;\,-1]$ aussi : $\dfrac{1}{-1} \leqslant \dfrac1x \leqslant \dfrac{1}{-4}$ , soit $-1 \leqslant \dfrac1x \leqslant -\dfrac14$ .
C’est faux : $\dfrac{1}{-2} = -0{,}5 < \dfrac13$ . On ne peut pas utiliser la décroissance, car $-2$ et $3$ ne sont pas de même signe (pas dans le même intervalle).

4. Équations et inéquations avec un inverse

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Exercice 7 — ⭐⭐

Résous :

$\dfrac1x = -4$ 2. $\dfrac1x \leqslant 3$ 3. $\dfrac1x > -1$

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$x = -\dfrac14$ .
$\dfrac1x - 3 = \dfrac{1 - 3x}{x} \leqslant 0$ . $1 - 3x$ : « $+$ » puis « $-$ » (zéro en $\dfrac13$ ) ; $x$ : « $-$ » puis « $+$ » (zéro en $0$ , interdit). Quotient : « $-$ » sur $]-\infty\,;\,0[$ , « $+$ » sur $\left]0\,;\,\dfrac13\right[$ , « $-$ » sur $\left]\dfrac13\,;\,+\infty\right[$ . $\mathcal{S} = \,]-\infty\,;\,0[ \,\cup\, \left[\dfrac13\,;\,+\infty\right[$ .
$\dfrac1x + 1 = \dfrac{1 + x}{x} > 0$ . $1 + x$ s’annule en $-1$ ; $x$ en $0$ . Quotient : « $+$ » sur $]-\infty\,;\,-1[$ , « $-$ » sur $]-1\,;\,0[$ , « $+$ » sur $]0\,;\,+\infty[$ . $\mathcal{S} = \,]-\infty\,;\,-1[ \,\cup\, ]0\,;\,+\infty[$ .

5. La fonction valeur absolue

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Exercice 8 — ⭐⭐

Calcule $|-7|$ , $|3 - \pi|$ et $|\sqrt3 - 1|$ .
Résous : a) $|x| = 5$ b) $|x - 3| = 2$ c) $|x + 1| \leqslant 3$ d) $|x| > 2$
Écris $h(x) = |x + 1|$ sans valeur absolue, selon les valeurs de $x$ . Quelle est la forme de sa courbe ?

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$|-7| = 7$ ; $3 - \pi < 0$ donc $|3 - \pi| = \pi - 3$ ; $\sqrt3 - 1 > 0$ donc $|\sqrt3 - 1| = \sqrt3 - 1$ .
a) $x = -5$ ou $x = 5$ . b) Réels à distance $2$ de $3$ : $x = 1$ ou $x = 5$ . c) $|x - (-1)| \leqslant 3$ : réels à distance au plus $3$ de $-1$ , $\mathcal{S} = [-4\,;\,2]$ . d) Réels à distance strictement supérieure à $2$ de $0$ : $\mathcal{S} = \,]-\infty\,;\,-2[ \,\cup\, ]2\,;\,+\infty[$ .
$h(x) = x + 1$ si $x \geqslant -1$ , et $h(x) = -x - 1$ si $x < -1$ . Sa courbe est un « V » de sommet $(-1\,;\,0)$ .

6. Positions relatives de courbes

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Exercice 9 — ⭐⭐⭐

On s’intéresse aux réels $x > 0$ .

Montre que $x - \dfrac1x = \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x}$ .
En déduire, selon les valeurs de $x > 0$ , la position de la droite $y = x$ par rapport à l’hyperbole $y = \dfrac1x$ .
Range dans l’ordre croissant, sans calculatrice : $0{,}7$ ; $0{,}7^2$ ; $\dfrac{1}{0{,}7}$ .

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$x - \dfrac1x = \dfrac{x^2 - 1}{x} = \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x}$ .
Pour $x > 0$ : $x + 1 > 0$ et $x > 0$ , donc le signe est celui de $x - 1$ . Sur $]0\,;\,1[$ , $x - \dfrac1x < 0$ : la droite est en dessous de l’hyperbole ( $x < \dfrac1x$ ). Sur $]1\,;\,+\infty[$ , la droite est au-dessus. En $x = 1$ , elles se coupent au point $(1\,;\,1)$ .
$0{,}7 \in \,]0\,;\,1[$ : d’après le cours, $0{,}7^2 < 0{,}7$ , et d’après la question 2, $0{,}7 < \dfrac{1}{0{,}7}$ . Donc $0{,}7^2 < 0{,}7 < \dfrac{1}{0{,}7}$ (soit $0{,}49 < 0{,}7 < 1{,}43\ldots$ ).