Seconde⏱ 5 séances

Fonctions de référence : carré, inverse, valeur absolue

Ce que tu vas apprendre

Connaître la définition, la courbe et les variations des fonctions carré, inverse et valeur absolue
Démontrer les variations des fonctions carré et inverse
Résoudre des équations et inéquations du type x² = k, x² ⩽ k, 1/x = k, 1/x < k
Comparer et encadrer des carrés et des inverses en utilisant les variations
Relier la fonction valeur absolue à la notion de distance
Comparer x, x² et 1/x selon les valeurs de x

Notions clésfonction carré, parabolefonction inverse, hyperbolefonction valeur absoluevariations, démonstration par la différenceencadrementpositions relatives de courbes

Ce que tu sais déjà. Tu as rencontré la fonction carré et sa parabole (3e — Fonction carré) et résolu $x^2 = a$ (3e — Équations x² = a). La valeur absolue a été vue comme une distance (Seconde — Valeur absolue et distance). On réutilise ici les définitions de fonction croissante et décroissante (Seconde — Variations) et les tableaux de signes (Seconde — Fonctions affines).

1. La fonction carré

Définition. La fonction carré est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$ .

Premières propriétés.

Pour tout réel $x$ , $x^2 \geqslant 0$ , et $x^2 = 0 \iff x = 0$ .
Pour tout réel $x$ , $(-x)^2 = x^2$ : deux nombres opposés ont le même carré. La courbe est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Sa courbe représentative s’appelle une parabole ; son sommet est l’origine $O$ .

Les points (−2 ; 4) et (2 ; 4) sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées : 2 et −2 ont le même carré.

Propriété (variations). La fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ . Elle admet un minimum égal à $0$ , atteint en $0$ .

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$x^2$		↘	$0$	↗

🧠 Démonstration (exigible au programme) — Variations de la fonction carré

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ . On étudie le signe de la différence, en factorisant :

$b^2 - a^2 = (b - a)(b + a).$

Comme $a < b$ , on a toujours $b - a > 0$ . Le signe de $b^2 - a^2$ est donc celui de $b + a$ .

Sur $[0\,;\,+\infty[$ : si $0 \leqslant a < b$ , alors $b > 0$ et $a \geqslant 0$ , donc $b + a > 0$ . Ainsi $b^2 - a^2 > 0$ , soit $a^2 < b^2$ : la fonction carré est strictement croissante.
Sur $]-\infty\,;\,0]$ : si $a < b \leqslant 0$ , alors $a < 0$ et $b \leqslant 0$ , donc $b + a < 0$ . Ainsi $b^2 - a^2 < 0$ , soit $a^2 > b^2$ : la fonction carré est strictement décroissante.

Conséquence (comparer des carrés).

Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.
Deux nombres négatifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs carrés.

Exemple. $-3{,}2 < -3{,}1 \leqslant 0$ , donc $(-3{,}2)^2 > (-3{,}1)^2$ . On le vérifie : $10{,}24 > 9{,}61$ .

→ S’entraîner : Exercice 1 · Exercice 2

2. Équations et inéquations avec un carré

Propriété (équation). Soit $k$ un réel.

Si $k > 0$ , l’équation $x^2 = k$ a deux solutions : $\sqrt{k}$ et $-\sqrt{k}$ .
Si $k = 0$ , elle a une solution : $0$ .
Si $k < 0$ , elle n’a aucune solution (un carré est toujours positif).

Justification pour $k > 0$ : $x^2 = k \iff x^2 - (\sqrt{k})^2 = 0 \iff (x - \sqrt{k})(x + \sqrt{k}) = 0$ , et on conclut avec l’équation produit nul.

Propriété (inéquations). Soit $k > 0$ .

$x^2 \leqslant k \iff x \in [-\sqrt{k}\,;\,\sqrt{k}]$ ;
$x^2 > k \iff x \in \,]-\infty\,;\,-\sqrt{k}[ \,\cup\, ]\sqrt{k}\,;\,+\infty[$ .

(Mêmes résultats avec des inégalités strictes ou larges, en adaptant les crochets.)

Les solutions de x² ⩽ 4 sont les abscisses des points de la parabole situés sous la droite d'équation y = 4 (ou sur elle) : S = [−2 ; 2].

Piège classique. « $x^2 \leqslant 4$ donc $x \leqslant 2$ » est faux : $x = -5$ vérifie $x \leqslant 2$ mais $(-5)^2 = 25 > 4$ . Il ne faut jamais « prendre la racine » d’une inégalité sans réfléchir au signe.

Encadrer un carré. Pour encadrer $x^2$ quand $x$ est dans un intervalle, on utilise le tableau de variations, pas un simple « passage au carré ».

Exemple. Si $x \in [-3\,;\,2]$ , alors $x^2 \in [0\,;\,9]$ . En effet, la fonction carré décroît de $9$ à $0$ sur $[-3\,;\,0]$ , puis croît de $0$ à $4$ sur $[0\,;\,2]$ : son minimum est $0$ et son maximum $9$ . (Écrire « $(-3)^2 \leqslant x^2 \leqslant 2^2$ », soit $9 \leqslant x^2 \leqslant 4$ , est absurde.)

→ S’entraîner : Exercice 3 · Exercice 4

3. La fonction inverse

Définition. La fonction inverse est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^* = \,]-\infty\,;\,0[ \,\cup\, ]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$ . Le nombre $0$ n’a pas d’inverse : c’est une valeur interdite.

Premières propriétés.

$\dfrac1x$ a le même signe que $x$ : négatif pour $x < 0$ , positif pour $x > 0$ .
$\dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x}$ : la courbe est symétrique par rapport à l’origine $O$ .
Sa courbe représentative s’appelle une hyperbole ; elle a deux « branches ».

La courbe ne coupe jamais les axes : 1/x n'est jamais nul, et 0 n'a pas d'image.

Propriété (variations). La fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ et strictement décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ .

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$\dfrac1x$		↘	‖	↘

🧠 Démonstration (exigible au programme) — Variations de la fonction inverse

Soient $a$ et $b$ deux réels non nuls de même signe, tels que $a < b$ . On réduit la différence au même dénominateur :

$\frac1b - \frac1a = \frac{a - b}{ab}.$

Comme $a < b$ , le numérateur $a - b$ est strictement négatif.
Comme $a$ et $b$ sont de même signe (tous deux positifs ou tous deux négatifs), leur produit $ab$ est strictement positif.

Donc $\dfrac1b - \dfrac1a < 0$ , soit $\dfrac1a > \dfrac1b$ : la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ et sur $]-\infty\,;\,0[$ .

Attention. La fonction inverse n’est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$ tout entier : $-1 < 1$ et pourtant $\dfrac{1}{-1} = -1 < 1 = \dfrac11$ . La démonstration ne marche que si $a$ et $b$ sont de même signe : c’est là que se cache l’hypothèse.

Conséquence. Deux nombres de même signe sont rangés dans l’ordre contraire de leurs inverses. Par exemple, $2 < 5$ donc $\dfrac12 > \dfrac15$ .

→ S’entraîner : Exercice 5 · Exercice 6

4. Équations et inéquations avec un inverse

Équation. Pour $k \neq 0$ , l’équation $\dfrac1x = k$ a une unique solution : $x = \dfrac1k$ . L’équation $\dfrac1x = 0$ n’a aucune solution.

Inéquation. Pour résoudre $\dfrac1x < k$ , on applique la méthode du chapitre Fonctions affines et tableaux de signes : tout passer d’un côté, réduire au même dénominateur, tableau de signes.

Exemple. Résoudre $\dfrac1x \geqslant 2$ (pour $x \neq 0$ ). $\dfrac1x - 2 = \dfrac{1 - 2x}{x}$ . Le numérateur s’annule en $\dfrac12$ (« $+$ » puis « $-$ ») ; le dénominateur $x$ s’annule en $0$ (valeur interdite, « $-$ » puis « $+$ »). Le quotient est « $-$ » sur $]-\infty\,;\,0[$ , « $+$ » sur $\left]0\,;\,\dfrac12\right[$ , nul en $\dfrac12$ , « $-$ » ensuite. $\mathcal{S} = \left]0\,;\,\dfrac12\right]$ .

Contrôle avec la courbe : $\dfrac1x$ dépasse $2$ seulement pour $x$ positif et « petit ».

Piège. « $\dfrac1x \geqslant 2$ donc $x \leqslant \dfrac12$ » oublie que $x$ peut être négatif : pour $x = -1$ , on a bien $x \leqslant \dfrac12$ mais $\dfrac1x = -1 < 2$ .

→ S’entraîner : Exercice 7

5. La fonction valeur absolue

Définition. La fonction valeur absolue est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = |x|$ , c’est-à-dire :

$f(x) = \begin{cases} x & \text{si } x \geqslant 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$

$|x|$ est la distance entre $x$ et $0$ ; plus généralement, $|x - a|$ est la distance entre $x$ et $a$ .

Courbe. Sur $[0\,;\,+\infty[$ , la courbe est la demi-droite d’équation $y = x$ ; sur $]-\infty\,;\,0]$ , c’est la demi-droite d’équation $y = -x$ . Comme $|-x| = |x|$ , la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

La courbe de la fonction valeur absolue est formée de deux demi-droites de sommet O.

Propriété (variations). La fonction valeur absolue est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ (elle coïncide avec la fonction affine $x \mapsto -x$ ) et croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ (elle coïncide avec $x \mapsto x$ ). Son minimum est $0$ , atteint en $0$ .

Équations et inéquations. On raisonne en distance (voir le chapitre Ensembles de nombres) : pour $r > 0$ ,

$|x - a| = r \iff x = a - r$ ou $x = a + r$ ;
$|x - a| \leqslant r \iff x \in [a - r\,;\,a + r]$ ;
$|x - a| > r \iff x \in \,]-\infty\,;\,a - r[ \,\cup\, ]a + r\,;\,+\infty[$ .

Exemple. $|x - 3| = 2$ : les réels à distance $2$ de $3$ sont $1$ et $5$ . Et $|x - 3| > 2$ : $\mathcal{S} = \,]-\infty\,;\,1[ \,\cup\, ]5\,;\,+\infty[$ .

Écrire sans valeur absolue. $g(x) = |x - 2|$ vaut $x - 2$ si $x \geqslant 2$ et $-(x - 2) = 2 - x$ si $x < 2$ : sa courbe est un « V » de sommet $(2\,;\,0)$ .

→ S’entraîner : Exercice 8

6. Positions relatives de courbes

Pour comparer deux fonctions $f$ et $g$ , on étudie le signe de la différence $f(x) - g(x)$ :

si $f(x) - g(x) \geqslant 0$ sur un intervalle, la courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$ ;
si $f(x) - g(x) \leqslant 0$ , elle est en dessous.

Exemple (comparer $x$ et $x^2$ ). $x^2 - x = x(x - 1)$ . Tableau de signes : « $+$ » sur $]-\infty\,;\,0[$ , « $-$ » sur $]0\,;\,1[$ , « $+$ » sur $]1\,;\,+\infty[$ , nul en $0$ et en $1$ . Donc :

pour $x \in \,]0\,;\,1[$ , $x^2 < x$ (par exemple $0{,}5^2 = 0{,}25 < 0{,}5$ ) ;

pour $x > 1$ ou $x < 0$ , $x^2 > x$ .

La parabole est en dessous de la droite $y = x$ entre $0$ et $1$ , et au-dessus ailleurs.

À retenir : « élever au carré fait grandir » est faux pour les nombres de $]0\,;\,1[$ .

→ S’entraîner : Exercice 9

À retenir.

Carré : décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ , croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ (preuve : $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$ ).
Inverse : décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ et sur $]0\,;\,+\infty[$ (preuve : $\frac1b - \frac1a = \frac{a - b}{ab}$ ), pas sur $\mathbb{R}^*$ .
Valeur absolue : un « V » ; $|x - a|$ est une distance.
$x^2 = k$ : deux, une ou aucune solution selon le signe de $k$ ; $x^2 \leqslant k \iff -\sqrt{k} \leqslant x \leqslant \sqrt{k}$ .
Pour encadrer $x^2$ ou $\frac1x$ , on s’appuie sur le tableau de variations.