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Seconde⏱ 50 minutes

Fonctions de référence : carré, inverse, valeur absolue — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Exercice 1 (4 points) — Fonction carré

  1. Démontre que la fonction carré est strictement croissante sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[. (3 points)
  2. Compare, sans les calculer, (−2,7)2(-2{,}7)^2 et (−2,5)2(-2{,}5)^2. (1 point)
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  1. Soient aa et bb deux réels tels que 0⩽a<b0 \leqslant a < b. b2−a2=(b−a)(b+a)b^2 - a^2 = (b - a)(b + a). Or b−a>0b - a > 0 (car a<ba < b) et b+a>0b + a > 0 (car b>0b > 0 et a⩾0a \geqslant 0). Donc b2−a2>0b^2 - a^2 > 0, soit a2<b2a^2 < b^2 : la fonction carré est strictement croissante sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[.
  2. −2,7<−2,5⩽0-2{,}7 < -2{,}5 \leqslant 0 et la fonction carré est décroissante sur ]−∞ ; 0]]-\infty\,;\,0] : (−2,7)2>(−2,5)2(-2{,}7)^2 > (-2{,}5)^2. (Contrôle : 7,29>6,257{,}29 > 6{,}25.)

Exercice 2 (4 points) — Fonction inverse

  1. Démontre que la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[. (3 points)
  2. Compare, sans calculatrice, 12\dfrac{1}{\sqrt2} et 11,5\dfrac{1}{1{,}5}. (1 point)
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  1. Soient aa et bb tels que 0<a<b0 < a < b. 1b−1a=a−bab\dfrac1b - \dfrac1a = \dfrac{a - b}{ab}. Le numérateur a−ba - b est strictement négatif ; le dénominateur abab est strictement positif (produit de deux positifs). Donc 1b−1a<0\dfrac1b - \dfrac1a < 0, soit 1a>1b\dfrac1a > \dfrac1b : la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.
  2. 2≈1,414\sqrt2 \approx 1{,}414, donc 0<2<1,50 < \sqrt2 < 1{,}5 ; la fonction inverse renverse l'ordre sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ : 12>11,5\dfrac{1}{\sqrt2} > \dfrac{1}{1{,}5}.

Exercice 3 (4 points) — Équations et inéquations

Résous dans R\mathbb{R} :

  1. x2=12x^2 = 12 (1 point)
  2. x2<25x^2 < 25 (1 point)
  3. (x+2)2⩾9(x + 2)^2 \geqslant 9, en factorisant (x+2)2−9(x + 2)^2 - 9. (2 points)
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  1. x=12=23x = \sqrt{12} = 2\sqrt3 ou x=−23x = -2\sqrt3 : S={−23 ; 23}\mathcal{S} = \{-2\sqrt3\,;\,2\sqrt3\}.
  2. S= ]−5 ; 5[\mathcal{S} = \,]-5\,;\,5[.
  3. (x+2)2−9=(x+2−3)(x+2+3)=(x−1)(x+5)(x + 2)^2 - 9 = (x + 2 - 3)(x + 2 + 3) = (x - 1)(x + 5). Les deux facteurs ont un coefficient directeur positif et s'annulent en −5-5 et 11 : produit « ++ », « −- », « ++ ». S= ]−∞ ; −5]∪[1 ; +∞[\mathcal{S} = \,]-\infty\,;\,-5] \cup [1\,;\,+\infty[.

Exercice 4 (4 points) — Encadrements

  1. Si x∈[−3 ; 1]x \in [-3\,;\,1], encadre x2x^2. Justifie. (1,5 point)
  2. Si x∈[−5 ; −2]x \in [-5\,;\,-2], encadre 1x\dfrac1x. Justifie. (1,5 point)
  3. Traduis ∣x−1∣⩽2|x - 1| \leqslant 2 par un intervalle. (1 point)
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  1. L'intervalle [−3 ; 1][-3\,;\,1] contient 00. La fonction carré décroît de 99 à 00 sur [−3 ; 0][-3\,;\,0] puis croît de 00 à 11 sur [0 ; 1][0\,;\,1] : 0⩽x2⩽90 \leqslant x^2 \leqslant 9.
  2. La fonction inverse est décroissante sur ]−∞ ; 0[]-\infty\,;\,0[, donc sur [−5 ; −2][-5\,;\,-2] : l'ordre s'inverse. 1−2⩽1x⩽1−5\dfrac{1}{-2} \leqslant \dfrac1x \leqslant \dfrac{1}{-5}, soit −12⩽1x⩽−15-\dfrac12 \leqslant \dfrac1x \leqslant -\dfrac15.
  3. Réels à distance au plus 22 de 11 : x∈[−1 ; 3]x \in [-1\,;\,3].

Exercice 5 (4 points) — Valeur absolue et positions relatives

  1. Écris ∣x−4∣|x - 4| sans valeur absolue, selon les valeurs de xx. (1 point)
  2. Résous ∣x−4∣=1|x - 4| = 1, puis ∣x−4∣>1|x - 4| > 1. (1,5 point)
  3. Montre que, pour tout x∈ ]0 ; 1[x \in \,]0\,;\,1[, on a x2<xx^2 < x. (1,5 point)
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  1. ∣x−4∣=x−4|x - 4| = x - 4 si x⩾4x \geqslant 4, et ∣x−4∣=4−x|x - 4| = 4 - x si x<4x < 4.
  2. ∣x−4∣=1  ⟺  x=3|x - 4| = 1 \iff x = 3 ou x=5x = 5. ∣x−4∣>1|x - 4| > 1 : S= ]−∞ ; 3[∪ ]5 ; +∞[\mathcal{S} = \,]-\infty\,;\,3[ \cup \,]5\,;\,+\infty[.
  3. x2−x=x(x−1)x^2 - x = x(x - 1). Si 0<x<10 < x < 1, alors x>0x > 0 et x−1<0x - 1 < 0, donc x(x−1)<0x(x - 1) < 0 : x2<xx^2 < x.