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Seconde

Fonctions affines et tableaux de signes — Exercices d'application

1. Fonctions affines et taux d’accroissement

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Exercice 1 — ⭐

  1. gg est une fonction affine telle que g(−1)=7g(-1) = 7 et g(3)=−1g(3) = -1. Détermine l’expression de g(x)g(x).

  2. Les fonctions suivantes sont-elles affines ? Si oui, donne mm et pp. a) h(x)=(x+1)2−x2h(x) = (x + 1)^2 - x^2 b) k(x)=x(x+1)k(x) = x(x + 1) c) u(x)=3−2x5u(x) = \dfrac{3 - 2x}{5}

  3. Voici deux tableaux de valeurs. Lequel peut correspondre à une fonction affine ? Justifie.

    xx0123
    f1(x)f_1(x)471013
    f2(x)f_2(x)12510
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  1. m=g(3)−g(−1)3−(−1)=−1−74=−2m = \dfrac{g(3) - g(-1)}{3 - (-1)} = \dfrac{-1 - 7}{4} = -2. Puis g(−1)=−2×(−1)+p=2+p=7g(-1) = -2 \times (-1) + p = 2 + p = 7, donc p=5p = 5 : g(x)=−2x+5g(x) = -2x + 5. Vérification : g(3)=−6+5=−1g(3) = -6 + 5 = -1. ✓
  2. a) h(x)=x2+2x+1−x2=2x+1h(x) = x^2 + 2x + 1 - x^2 = 2x + 1 : affine, m=2m = 2, p=1p = 1. b) k(x)=x2+xk(x) = x^2 + x : le terme en x2x^2 ne disparaît pas, pas affine. c) u(x)=35−25xu(x) = \dfrac{3}{5} - \dfrac{2}{5}x : affine, m=−25m = -\dfrac{2}{5}, p=35p = \dfrac{3}{5}.
  3. Pour f1f_1, quand xx augmente de 11, f1(x)f_1(x) augmente toujours de 33 : taux constant, cela peut être f1(x)=3x+4f_1(x) = 3x + 4. Pour f2f_2, les accroissements valent 11, 33, 55 : ils ne sont pas constants, donc f2f_2 n’est pas affine.

2. Sens de variation

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Exercice 2 — ⭐⭐

  1. Donne sans justification le sens de variation de chacune des fonctions suivantes : f1(x)=5−2xf_1(x) = 5 - 2x ; f2(x)=x−34f_2(x) = \dfrac{x - 3}{4} ; f3(x)=3f_3(x) = 3 ; f4(x)=−(2−x)f_4(x) = -(2 - x).
  2. En étudiant le signe de f(b)−f(a)f(b) - f(a) pour a<ba < b, démontre que f(x)=1−x3f(x) = 1 - \dfrac{x}{3} est décroissante sur R\mathbb{R}.
  3. Soit v(x)=−4x+1v(x) = -4x + 1. Compare, sans calculer, v(2)v(\sqrt{2}) et v(1,5)v(1{,}5).
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  1. f1f_1 : m=−2<0m = -2 < 0, décroissante. f2(x)=14x−34f_2(x) = \dfrac14 x - \dfrac34 : m=14>0m = \dfrac14 > 0, croissante. f3f_3 : constante. f4(x)=x−2f_4(x) = x - 2 : m=1>0m = 1 > 0, croissante.
  2. Soient a<ba < b. f(b)−f(a)=(1−b3)−(1−a3)=−b−a3f(b) - f(a) = \left(1 - \dfrac{b}{3}\right) - \left(1 - \dfrac{a}{3}\right) = -\dfrac{b - a}{3}. Comme b−a>0b - a > 0, on a f(b)−f(a)<0f(b) - f(a) < 0, soit f(a)>f(b)f(a) > f(b) : ff est (strictement) décroissante.
  3. 2≈1,414<1,5\sqrt{2} \approx 1{,}414 < 1{,}5 et vv est décroissante (m=−4<0m = -4 < 0), donc elle renverse l’ordre : v(2)>v(1,5)v(\sqrt{2}) > v(1{,}5).

3. Signe d’une fonction affine

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Exercice 3 — ⭐

  1. Dresse le tableau de signes de chacune des expressions : −3x+6-3x + 6 ; 2x+52x + 5 ; 0,5x−10{,}5x - 1.
  2. Pour quelles valeurs de xx a-t-on 3−4x>03 - 4x > 0 ?
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    • −3x+6=0  ⟺  x=2-3x + 6 = 0 \iff x = 2 ; m=−3<0m = -3 < 0 : « ++ » sur ]−∞ ; 2[]-\infty\,;\,2[, 00 en 22, « −- » sur ]2 ; +∞[]2\,;\,+\infty[.
    • 2x+5=0  ⟺  x=−2,52x + 5 = 0 \iff x = -2{,}5 ; m=2>0m = 2 > 0 : « −- » puis 00 en −2,5-2{,}5 puis « ++ ».
    • 0,5x−1=0  ⟺  x=20{,}5x - 1 = 0 \iff x = 2 ; m=0,5>0m = 0{,}5 > 0 : « −- » puis 00 en 22 puis « ++ ».
  2. 3−4x=0  ⟺  x=343 - 4x = 0 \iff x = \dfrac34 et m=−4<0m = -4 < 0 : l’expression est positive avant 34\dfrac34. S=]−∞ ; 34[\mathcal{S} = \left]-\infty\,;\,\dfrac34\right[.

4. Signe d’un produit

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Exercice 4 — ⭐⭐

Résous dans R\mathbb{R} l’inéquation (x+3)(2−x)>0(x + 3)(2 - x) > 0 en dressant un tableau de signes.

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  • x+3=0  ⟺  x=−3x + 3 = 0 \iff x = -3, m=1>0m = 1 > 0 : « −- » puis « ++ ».
  • 2−x=0  ⟺  x=22 - x = 0 \iff x = 2, m=−1<0m = -1 < 0 : « ++ » puis « −- ».
xx−∞-\infty−3-322+∞+\infty
x+3x + 3−-00++++
2−x2 - x++++00−-
produit−-00++00−-

Le produit est strictement positif sur ]−3 ; 2[]-3\,;\,2[ : S= ]−3 ; 2[\mathcal{S} = \,]-3\,;\,2[.

Exercice 5 — ⭐⭐

  1. Résous (1−2x)(x+4)⩾0(1 - 2x)(x + 4) \geqslant 0.
  2. Factorise (x−1)2−4(x - 1)^2 - 4, puis résous (x−1)2−4⩾0(x - 1)^2 - 4 \geqslant 0.
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  1. 1−2x1 - 2x s’annule en 12\dfrac12 (m=−2<0m = -2 < 0 : « ++ » puis « −- ») ; x+4x + 4 s’annule en −4-4 (« −- » puis « ++ »). On range : −4<12-4 < \dfrac12. Le produit est « −- » sur ]−∞ ; −4[]-\infty\,;\,-4[, « ++ » sur ]−4 ; 12[\left]-4\,;\,\dfrac12\right[, « −- » sur ]12 ; +∞[\left]\dfrac12\,;\,+\infty\right[. Avec ⩾\geqslant, on inclut les zéros : S=[−4 ; 12]\mathcal{S} = \left[-4\,;\,\dfrac12\right].
  2. Différence de deux carrés : (x−1)2−22=(x−1−2)(x−1+2)=(x−3)(x+1)(x - 1)^2 - 2^2 = (x - 1 - 2)(x - 1 + 2) = (x - 3)(x + 1). Les deux facteurs ont m=1>0m = 1 > 0 et s’annulent en −1-1 et 33 : le produit est « ++ », « −- », « ++ ». S= ]−∞ ; −1]∪[3 ; +∞[\mathcal{S} = \,]-\infty\,;\,-1] \cup [3\,;\,+\infty[.

5. Signe d’un quotient

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Exercice 6 — ⭐⭐

Résous dans R\mathbb{R} :

  1. 2x−6x+1⩾0\dfrac{2x - 6}{x + 1} \geqslant 0 2. x4−x<0\dfrac{x}{4 - x} < 0
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  1. Valeur interdite : −1-1. 2x−62x - 6 s’annule en 33 (« −- » puis « ++ ») ; x+1x + 1 s’annule en −1-1 (« −- » puis « ++ »). Quotient : « ++ » sur ]−∞ ; −1[]-\infty\,;\,-1[, double barre en −1-1, « −- » sur ]−1 ; 3[]-1\,;\,3[, 00 en 33, « ++ » sur ]3 ; +∞[]3\,;\,+\infty[. S= ]−∞ ; −1[∪[3 ; +∞[\mathcal{S} = \,]-\infty\,;\,-1[ \cup [3\,;\,+\infty[ (−1-1 exclu car interdit, 33 inclus).
  2. Valeur interdite : 44. xx : « −- » puis « ++ » (zéro en 00) ; 4−x4 - x : « ++ » puis « −- » (zéro en 44). Quotient : « −- » sur ]−∞ ; 0[]-\infty\,;\,0[, 00 en 00, « ++ » sur ]0 ; 4[]0\,;\,4[, double barre, « −- » sur ]4 ; +∞[]4\,;\,+\infty[. S= ]−∞ ; 0[∪ ]4 ; +∞[\mathcal{S} = \,]-\infty\,;\,0[ \cup \,]4\,;\,+\infty[.

Exercice 7 — ⭐⭐⭐

On veut résoudre x+5x+1⩽2\dfrac{x + 5}{x + 1} \leqslant 2 (pour x≠−1x \neq -1).

  1. Un élève multiplie les deux membres par x+1x + 1 et trouve x⩾3x \geqslant 3. Teste sa réponse avec x=−2x = -2. Qu’en penses-tu ?
  2. Montre que l’inéquation équivaut à 3−xx+1⩽0\dfrac{3 - x}{x + 1} \leqslant 0.
  3. Résous l’inéquation.
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  1. Pour x=−2x = -2 : −2+5−2+1=3−1=−3⩽2\dfrac{-2 + 5}{-2 + 1} = \dfrac{3}{-1} = -3 \leqslant 2. Donc −2-2 est solution, alors que −2⩾3-2 \geqslant 3 est faux : la réponse de l’élève est incomplète. Son erreur : quand x+1<0x + 1 < 0, multiplier par x+1x + 1 change le sens de l’inégalité.
  2. x+5x+1−2=x+5−2(x+1)x+1=3−xx+1\dfrac{x + 5}{x + 1} - 2 = \dfrac{x + 5 - 2(x + 1)}{x + 1} = \dfrac{3 - x}{x + 1}, donc l’inéquation équivaut à 3−xx+1⩽0\dfrac{3 - x}{x + 1} \leqslant 0.
  3. 3−x3 - x : « ++ » puis « −- » (zéro en 33) ; x+1x + 1 : « −- » puis « ++ » (zéro en −1-1, interdit). Quotient : « −- » sur ]−∞ ; −1[]-\infty\,;\,-1[, double barre, « ++ » sur ]−1 ; 3[]-1\,;\,3[, 00 en 33, « −- » sur ]3 ; +∞[]3\,;\,+\infty[. S= ]−∞ ; −1[∪[3 ; +∞[\mathcal{S} = \,]-\infty\,;\,-1[ \cup [3\,;\,+\infty[.

6. Résoudre une inéquation par factorisation

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Exercice 8 — ⭐⭐

En factorisant, résous :

  1. x2−9⩽0x^2 - 9 \leqslant 0 2. x2−5x<0x^2 - 5x < 0
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  1. x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3). Zéros −3-3 et 33, deux facteurs à m>0m > 0 : « ++ », « −- », « ++ ». S=[−3 ; 3]\mathcal{S} = [-3\,;\,3].
  2. x2−5x=x(x−5)x^2 - 5x = x(x - 5). Zéros 00 et 55 : « ++ », « −- », « ++ ». S= ]0 ; 5[\mathcal{S} = \,]0\,;\,5[. (Attention : diviser par xx pour obtenir « x<5x < 5 » ferait perdre toutes les informations sur le signe de xx.)

Exercice 9 — ⭐⭐⭐

Une petite entreprise fabrique entre 00 et 100100 objets par jour. Son bénéfice, en euros, pour xx objets est B(x)=−x2+100x−1600B(x) = -x^2 + 100x - 1600.

  1. Vérifie que B(x)=(x−20)(80−x)B(x) = (x - 20)(80 - x).
  2. Pour quelles productions l’entreprise est-elle rentable, c’est-à-dire B(x)⩾0B(x) \geqslant 0 ?
  3. Pour quelles productions est-elle en perte ?
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  1. (x−20)(80−x)=80x−x2−1600+20x=−x2+100x−1600=B(x)(x - 20)(80 - x) = 80x - x^2 - 1600 + 20x = -x^2 + 100x - 1600 = B(x). ✓
  2. x−20x - 20 : « −- » puis « ++ » (zéro en 2020) ; 80−x80 - x : « ++ » puis « −- » (zéro en 8080). Produit : « −- » avant 2020, « ++ » entre 2020 et 8080, « −- » après 8080. Sur [0 ; 100][0\,;\,100] : B(x)⩾0  ⟺  x∈[20 ; 80]B(x) \geqslant 0 \iff x \in [20\,;\,80]. L’entreprise est rentable pour une production de 2020 à 8080 objets.
  3. En perte (B(x)<0B(x) < 0) pour x∈[0 ; 20[∪ ]80 ; 100]x \in [0\,;\,20[ \cup \,]80\,;\,100].