Seconde⏱ 5 séances

Fonctions affines et tableaux de signes

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître une fonction affine et déterminer son expression à partir de deux images
Démontrer le sens de variation d'une fonction affine selon le signe de m
Déterminer le signe de mx + p et le représenter dans un tableau
Dresser le tableau de signes d'un produit ou d'un quotient de facteurs affines
Résoudre une inéquation en se ramenant à l'étude d'un signe

Notions clésfonction affine, coefficient directeur, ordonnée à l'originetaux d'accroissementsigne de mx + ptableau de signesvaleur interditeinéquation produit, inéquation quotient

Ce que tu sais déjà. Une fonction affine s’écrit $f(x) = ax + b$ et sa courbe est une droite (3e — Fonctions affines). Tu sais résoudre une inéquation du premier degré (3e — Inéquations) et tu connais les définitions de fonction croissante et décroissante (Seconde — Variations et extremums). En Seconde, on note souvent $f(x) = mx + p$ , comme pour l’équation réduite d’une droite (Seconde — Droites du plan).

1. Fonctions affines et taux d’accroissement

Définition. Une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est affine s’il existe deux réels $m$ et $p$ tels que, pour tout réel $x$ , $f(x) = mx + p$ .

$m$ est le coefficient directeur : c’est la pente de la droite représentative.
$p$ est l’ordonnée à l’origine : $f(0) = p$ .
Cas particuliers : si $p = 0$ , $f$ est linéaire ; si $m = 0$ , $f$ est constante.

Propriété (taux d’accroissement). Si $f(x) = mx + p$ , alors pour tous réels $a \neq b$ :

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = m.$

En effet, $f(b) - f(a) = (mb + p) - (ma + p) = m(b - a)$ . Autrement dit : les accroissements de $f(x)$ sont proportionnels aux accroissements de $x$ , et le coefficient de proportionnalité est $m$ .

Exemple. $f$ est affine avec $f(2) = 5$ et $f(6) = -3$ . Alors $m = \dfrac{-3 - 5}{6 - 2} = \dfrac{-8}{4} = -2$ . Puis $f(2) = -2 \times 2 + p = 5$ , donc $p = 9$ : $f(x) = -2x + 9$ . Vérification : $f(6) = -12 + 9 = -3$ . ✓

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Sens de variation d’une fonction affine

Propriété. Soit $f(x) = mx + p$ .

Si $m > 0$ , $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
Si $m < 0$ , $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ .
Si $m = 0$ , $f$ est constante sur $\mathbb{R}$ .

🧠 Démonstration (exigible au programme) — Variations d'une fonction affine

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ . On étudie le signe de la différence :

$f(b) - f(a) = (mb + p) - (ma + p) = m(b - a).$

Comme $a < b$ , on a $b - a > 0$ . Le signe de $f(b) - f(a)$ est donc celui de $m$ :

si $m > 0$ : $f(b) - f(a) > 0$ , soit $f(a) < f(b)$ : $f$ est strictement croissante ;
si $m < 0$ : $f(b) - f(a) < 0$ , soit $f(a) > f(b)$ : $f$ est strictement décroissante ;
si $m = 0$ : $f(b) = f(a)$ : $f$ est constante.

Idée clé à retenir : pour comparer $f(a)$ et $f(b)$ , on étudie le signe de la différence $f(b) - f(a)$ .

Exemple. $g(x) = 4 - 3x$ s’écrit $g(x) = -3x + 4$ : $m = -3 < 0$ , donc $g$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ . Attention à bien repérer $m$ : c’est le coefficient de $x$ , pas le premier nombre écrit.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Signe d’une fonction affine

Soit $f(x) = mx + p$ avec $m \neq 0$ . On a $f(x) = 0 \iff x = -\dfrac{p}{m}$ . On note $x_0 = -\dfrac{p}{m}$ : c’est l’abscisse du point où la droite coupe l’axe des abscisses.

Propriété. $f(x) = mx + p$ change de signe en $x_0 = -\dfrac{p}{m}$ :

Cas	Pour $x < x_0$	En $x_0$	Pour $x > x_0$
$m > 0$ (croissante)	$-$	$0$	$+$
$m < 0$ (décroissante)	$+$	$0$	$-$

À gauche, 2x − 4 s'annule en 2 et passe de « − » à « + » ; à droite, −x + 3 s'annule en 3 et passe de « + » à « − ».

Moyen mnémotechnique. À droite de $x_0$ , $mx + p$ a le signe de $m$ ; à gauche, le signe contraire.

📋 Méthode — Étudier le signe de mx + p

Résoudre $mx + p = 0$ pour trouver $x_0$ .
Regarder le signe de $m$ .
Remplir la ligne : signe contraire de $m$ , puis $0$ en $x_0$ , puis signe de $m$ .
Vérifier avec une valeur simple (par exemple $x = 0$ , qui donne $f(0) = p$ ).

Exemple : $-x + 3$ : $x_0 = 3$ , $m = -1 < 0$ : « $+$ » puis $0$ puis « $-$ ». Vérification : en $x = 0$ , on obtient $3 > 0$ , et $0 < 3$ : c’est cohérent. ✓

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Signe d’un produit

Règle des signes. Un produit de deux facteurs est positif si les deux facteurs ont le même signe, négatif s’ils sont de signes contraires, et nul si l’un des facteurs est nul.

Pour étudier le signe d’un produit de facteurs affines, on construit un tableau de signes : une ligne par facteur, puis une dernière ligne pour le produit, obtenue colonne par colonne avec la règle des signes.

Les valeurs 2 et 3, où les facteurs s'annulent, sont rangées dans l'ordre croissant sur la ligne des x. Chaque colonne se lit verticalement.

Exemple (inéquation produit). Résoudre $(2x - 4)(-x + 3) > 0$ .

$2x - 4 = 0 \iff x = 2$ , et $m = 2 > 0$ : « $-$ » puis « $+$ ».

$-x + 3 = 0 \iff x = 3$ , et $m = -1 < 0$ : « $+$ » puis « $-$ ».

Le tableau donne un produit strictement positif entre $2$ et $3$ seulement. Les valeurs $2$ et $3$ sont exclues (le produit y est nul, et on veut $> 0$ ) : $\mathcal{S} = \,]2\,;\,3[$ .

📋 Méthode — Résoudre une inéquation avec un tableau de signes

Tout passer d’un côté pour comparer à $0$ : $A(x) > 0$ , $A(x) \leqslant 0$ …
Factoriser $A(x)$ en produit (ou quotient) de facteurs affines.
Chercher la valeur qui annule chaque facteur et ranger ces valeurs dans l’ordre croissant.
Remplir une ligne par facteur, puis la ligne du résultat (règle des signes).
Lire les intervalles qui conviennent, en faisant attention aux crochets : les valeurs où l’expression s’annule sont incluses pour $\geqslant$ ou $\leqslant$ , exclues pour $>$ ou $<$ .

Piège fréquent. On ne peut pas « diviser par $x - 2$ » dans une inéquation sans connaître son signe : le sens de l’inégalité en dépend. C’est justement pour éviter ce piège qu’on passe par un tableau de signes.

→ S’entraîner : Exercice 4 · Exercice 5

5. Signe d’un quotient

Un quotient $\dfrac{A}{B}$ a le même signe que le produit $A \times B$ (la règle des signes est la même), mais il n’est pas défini quand $B = 0$ . Une valeur qui annule le dénominateur est une valeur interdite : on la marque d’une double barre dans le tableau.

En −1, le numérateur s'annule : le quotient vaut 0. En 2, le dénominateur s'annule : le quotient n'existe pas (double barre).

Exemple 1. Résoudre $\dfrac{x + 1}{x - 2} \geqslant 0$ . Le tableau ci-dessus montre que le quotient est positif ou nul sur $]-\infty\,;\,-1]$ et sur $]2\,;\,+\infty[$ . La valeur $-1$ est incluse (le quotient y vaut $0$ ), la valeur $2$ est toujours exclue (valeur interdite) : $\mathcal{S} = \,]-\infty\,;\,-1] \cup \,]2\,;\,+\infty[$ .

Exemple 2 (se ramener à 0). Résoudre $\dfrac{2x + 1}{x - 1} \leqslant 1$ pour $x \neq 1$ . On passe tout à gauche et on réduit au même dénominateur : $\frac{2x + 1}{x - 1} - 1 = \frac{2x + 1 - (x - 1)}{x - 1} = \frac{x + 2}{x - 1}.$ $x + 2$ s’annule en $-2$ et $x - 1$ en $1$ . Le quotient est négatif ou nul entre $-2$ et $1$ , avec $-2$ inclus et $1$ exclu : $\mathcal{S} = [-2\,;\,1[$ .

Attention. « Multiplier les deux membres par $x - 1$ » serait une erreur : si $x - 1 < 0$ , le sens de l’inégalité change. La bonne méthode est toujours de se ramener à la comparaison d’un quotient avec $0$ .

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7

6. Résoudre une inéquation par factorisation

Au chapitre Généralités sur les fonctions, on a résolu graphiquement des inéquations du type $f(x) \leqslant 0$ . Le tableau de signes permet maintenant de les résoudre algébriquement, dès que l’expression se factorise.

Exemple. Résoudre $x^2 - 3x - 4 \leqslant 0$ . On vérifie en développant que $x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)$ . Les facteurs s’annulent en $-1$ et $4$ ; tous deux ont un coefficient directeur positif. Le produit est « $+$ » sur $]-\infty\,;\,-1[$ , « $-$ » sur $]-1\,;\,4[$ et « $+$ » sur $]4\,;\,+\infty[$ . Avec $\leqslant$ , on inclut les zéros : $\mathcal{S} = [-1\,;\,4]$ .

Bon réflexe. Pour factoriser, pense aux outils du calcul littéral : facteur commun ( $x^2 - 5x = x(x - 5)$ ) et différence de deux carrés ( $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ ).

→ S’entraîner : Exercice 8 · Exercice 9

À retenir.

$f(x) = mx + p$ : taux d’accroissement constant égal à $m$ .
$m > 0$ : croissante ; $m < 0$ : décroissante (démonstration par le signe de $f(b) - f(a)$ ).
$mx + p$ s’annule en $-\dfrac{p}{m}$ et a le signe de $m$ à droite de cette valeur.
Pour résoudre une inéquation : se ramener à 0, factoriser, tableau de signes.
Dans un quotient, les valeurs interdites (double barre) sont toujours exclues.