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Fonctions affines et tableaux de signes — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet.

$f$ est une fonction affine telle que $f(-2) = 11$ et $f(3) = 1$ .

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$m = \dfrac{f(3) - f(-2)}{3 - (-2)} = \dfrac{1 - 11}{5} = -2$ . Puis $f(3) = -6 + p = 1$ , donc $p = 7$ : $f(x) = -2x + 7$ . Vérification : $f(-2) = 4 + 7 = 11$ . ✓
$m = -2 < 0$ : $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ .
$-2x + 7 = 0 \iff x = 3{,}5$ . Comme $m < 0$ : « $+$ » sur $]-\infty\,;\,3{,}5[$ , $0$ en $3{,}5$ , « $-$ » sur $]3{,}5\,;\,+\infty[$ .

Soit $f(x) = mx + p$ avec $m > 0$ . Démontre que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . (3 points)
Soit $g(x) = 2x - 1$ . Compare $g(\pi)$ et $g(3{,}14)$ sans calculer. (1 point)

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Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a < b$ . $f(b) - f(a) = (mb + p) - (ma + p) = m(b - a)$ . Or $m > 0$ et $b - a > 0$ , donc $f(b) - f(a) > 0$ , c'est-à-dire $f(a) < f(b)$ . Ainsi $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
$\pi \approx 3{,}1416 > 3{,}14$ et $g$ est croissante ( $m = 2 > 0$ ) : $g(\pi) > g(3{,}14)$ .

Résous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(3x - 6)(x + 4) \leqslant 0$ à l'aide d'un tableau de signes.

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$3x - 6$ s'annule en $2$ ( $m = 3 > 0$ : « $-$ » puis « $+$ ») ; $x + 4$ s'annule en $-4$ (« $-$ » puis « $+$ »).

$x$		$-4$		$2$
$3x - 6$	$-$		$-$	$0$	$+$
$x + 4$	$-$	$0$	$+$		$+$
produit	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Avec $\leqslant$ , on inclut les zéros : $\mathcal{S} = [-4\,;\,2]$ .

Soit $Q(x) = \dfrac{x - 3}{2x + 4}$ .

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$2x + 4 = 0 \iff x = -2$ : $-2$ est une valeur interdite.
$x - 3$ : « $-$ » puis « $+$ » (zéro en $3$ ) ; $2x + 4$ : « $-$ » puis « $+$ » (zéro en $-2$ ).

$x$ $-\infty$ $-2$ $3$ $+\infty$
$x - 3$ $-$ $-$ $0$ $+$
$2x + 4$ $-$ $0$ $+$ $+$
$Q(x)$ $+$ ‖ $-$ $0$ $+$
$Q(x) > 0$ : $\mathcal{S} = \,]-\infty\,;\,-2[ \cup \,]3\,;\,+\infty[$ . $Q(x) \leqslant 0$ : $\mathcal{S} = \,]-2\,;\,3]$ ( $-2$ exclu car interdit, $3$ inclus car $Q(3) = 0$ ).

$x$		$-2$		$3$
$x - 3$	$-$		$-$	$0$	$+$
$2x + 4$	$-$	$0$	$+$		$+$
$Q(x)$	$+$	‖	$-$	$0$	$+$

Une entreprise produit $x$ centaines d'objets, avec $x \in [0\,;\,30]$ . Son bénéfice, en milliers d'euros, est $B(x) = -x^2 + 30x - 200$ .

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$(x - 10)(20 - x) = 20x - x^2 - 200 + 10x = -x^2 + 30x - 200 = B(x)$ . ✓
$x - 10$ : « $-$ » puis « $+$ » (zéro en $10$ ) ; $20 - x$ : « $+$ » puis « $-$ » (zéro en $20$ ). Sur $[0\,;\,30]$ : $B(x)$ est « $-$ » sur $[0\,;\,10[$ , nul en $10$ , « $+$ » sur $]10\,;\,20[$ , nul en $20$ , « $-$ » sur $]20\,;\,30]$ .
L'entreprise est en perte ( $B(x) < 0$ ) pour $x \in [0\,;\,10[ \cup \,]20\,;\,30]$ , c'est-à-dire pour moins de $1\,000$ objets ou plus de $2\,000$ objets.