Seconde

Équations et inéquations — Exercices d'application

1. Équations du premier degré

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Exercice 1 — ⭐

Sans calculatrice. Résous chaque équation et donne l’ensemble $S$ des solutions.

$4x - 7 = 2(x + 1)$ $\qquad$ 2. $6 - 3x = 2x + 21$
$5(x - 1) - 2x = 3x + 4$ $\qquad$ 4. $4(x + 2) - x = 3(x + 1) + 5$

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$4x - 7 = 2x + 2 \iff 2x = 9 \iff x = \dfrac{9}{2}$ . $S = \left\{\dfrac{9}{2}\right\}$ .
$-3x - 2x = 21 - 6 \iff -5x = 15 \iff x = -3$ . $S = \{-3\}$ .
$5x - 5 - 2x = 3x + 4 \iff 3x - 5 = 3x + 4 \iff 0x = 9$ : impossible. $S = \varnothing$ .
$4x + 8 - x = 3x + 3 + 5 \iff 3x + 8 = 3x + 8 \iff 0x = 0$ : toujours vrai. $S = \mathbb{R}$ .

Exercice 2 — ⭐⭐

La fonction Python ci-dessous résout l’équation $ax + b = cx + d$ :

def resoudre(a, b, c, d):
    if a == c:
        if b == d:
            return "tous les réels sont solutions"
        else:
            return "aucune solution"
    return (d - b) / (a - c)

Que renvoie resoudre(5, -7, 2, 8) ? À quelle équation cela correspond-il ?
Que renvoient resoudre(3, 2, 3, -1) et resoudre(2, 6, 2, 6) ?
Explique pourquoi, lorsque $a \neq c$ , la solution est $\dfrac{d - b}{a - c}$ .

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Elle renvoie 5.0 : c’est l’équation $5x - 7 = 2x + 8$ du cours, de solution $5$ .
resoudre(3, 2, 3, -1) renvoie "aucune solution" ( $3x + 2 = 3x - 1$ ) ; resoudre(2, 6, 2, 6) renvoie "tous les réels sont solutions" ( $2x + 6 = 2x + 6$ ).
$ax + b = cx + d \iff ax - cx = d - b \iff (a - c)x = d - b$ . Si $a \neq c$ , on peut diviser par $a - c$ (non nul) : $x = \dfrac{d - b}{a - c}$ . Si $a = c$ , on obtient $0x = d - b$ : ce sont les deux cas particuliers du cours.

2. Équations produit nul

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Exercice 3 — ⭐⭐

Sans calculatrice. Résous :

$(3x - 1)(x + 4) = 0$ $\qquad$ 2. $x^2 = 7x$
$9x^2 - 16 = 0$ $\qquad$ 4. $(2x + 1)^2 = (2x + 1)(x - 3)$

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$3x - 1 = 0$ ou $x + 4 = 0$ , donc $x = \dfrac{1}{3}$ ou $x = -4$ . $S = \left\{-4\,;\,\dfrac{1}{3}\right\}$ .
$x^2 - 7x = 0 \iff x(x - 7) = 0 \iff x = 0$ ou $x = 7$ . $S = \{0\,;\,7\}$ .
$(3x)^2 - 4^2 = 0 \iff (3x - 4)(3x + 4) = 0 \iff x = \dfrac{4}{3}$ ou $x = -\dfrac{4}{3}$ . $S = \left\{-\dfrac{4}{3}\,;\,\dfrac{4}{3}\right\}$ .
On passe tout à gauche et on factorise par $(2x + 1)$ : $(2x + 1)\big[(2x + 1) - (x - 3)\big] = 0 \iff (2x + 1)(x + 4) = 0$ . $S = \left\{-4\,;\,-\dfrac{1}{2}\right\}$ . (Diviser par $2x + 1$ aurait fait perdre la solution $-\dfrac{1}{2}$ .)

3. Équations où un carré est égal à un nombre

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Exercice 4 — ⭐

Résous : 1. $x^2 = 49$ $\quad$ 2. $x^2 = -4$ $\quad$ 3. $3x^2 = 12$ $\quad$ 4. $(x + 2)^2 = 25$ $\quad$ 5. $x^2 = 10$

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$S = \{-7\,;\,7\}$ .
Un carré ne peut pas être négatif : $S = \varnothing$ .
$x^2 = 4$ : $S = \{-2\,;\,2\}$ .
$x + 2 = 5$ ou $x + 2 = -5$ : $x = 3$ ou $x = -7$ . $S = \{-7\,;\,3\}$ .
$S = \left\{-\sqrt{10}\,;\,\sqrt{10}\right\}$ (valeurs exactes ; $\sqrt{10} \approx 3{,}16$ ).

4. Équations quotient

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Exercice 5 — ⭐⭐

Pour chaque équation, donne la valeur interdite, puis résous.

$\dfrac{x + 5}{x - 1} = 3$ $\qquad$ 2. $\dfrac{3x - 6}{x + 4} = 0$
$\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = 0$ $\qquad$ 4. $\dfrac{2}{x + 1} = 4$
Problème. Quels sont les nombres égaux à leur inverse ?

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Valeur interdite : $1$ . $x + 5 = 3(x - 1) \iff x + 5 = 3x - 3 \iff -2x = -8 \iff x = 4$ , qui n’est pas interdite. $S = \{4\}$ .
Valeur interdite : $-4$ . Numérateur nul : $3x - 6 = 0 \iff x = 2$ . $S = \{2\}$ .
Valeur interdite : $3$ . Numérateur nul : $x^2 = 9 \iff x = 3$ ou $x = -3$ ; mais $3$ est interdite. $S = \{-3\}$ .
Valeur interdite : $-1$ . $2 = 4(x + 1) \iff 2 = 4x + 4 \iff x = -\dfrac{1}{2}$ . $S = \left\{-\dfrac{1}{2}\right\}$ .
On cherche $x \neq 0$ tel que $\dfrac{1}{x} = x$ . En multipliant par $x$ : $1 = x^2$ , donc $x = 1$ ou $x = -1$ (aucune n’est interdite). Les nombres égaux à leur inverse sont $1$ et $-1$ .

5. Inéquations du premier degré

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Exercice 6 — ⭐⭐

Résous et donne $S$ sous forme d’intervalle :

$5x - 3 \leqslant 2x + 9$ $\qquad$ 2. $-2x + 4 \geqslant 10$
$2(3 - x) < 4x + 1$ $\qquad$ 4. $\dfrac{x + 3}{4} > \dfrac{2x - 1}{3}$

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$3x \leqslant 12 \iff x \leqslant 4$ . $S = ]-\infty\,;\,4]$ .
$-2x \geqslant 6 \iff x \leqslant -3$ (division par $-2$ : le sens change). $S = ]-\infty\,;\,-3]$ .
$6 - 2x < 4x + 1 \iff -6x < -5 \iff x > \dfrac{5}{6}$ (division par $-6$ ). $S = \left]\dfrac{5}{6}\,;\,+\infty\right[$ .
On multiplie par $12$ : $3(x + 3) > 4(2x - 1) \iff 3x + 9 > 8x - 4 \iff -5x > -13 \iff x < \dfrac{13}{5}$ . $S = \left]-\infty\,;\,\dfrac{13}{5}\right[$ .

6. Isoler une variable dans une formule

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Exercice 7 — ⭐⭐

La vitesse moyenne vérifie $v = \dfrac{d}{t}$ (avec $t > 0$ ). Exprime $t$ en fonction de $d$ et $v$ , puis calcule la durée d’un trajet de $150$ km à $60$ km/h.
L’aire d’un trapèze est $\mathcal{A} = \dfrac{(B + b) \times h}{2}$ . Exprime $h$ en fonction de $\mathcal{A}$ , $B$ et $b$ .
L’aire d’un disque est $\mathcal{A} = \pi r^2$ (avec $r > 0$ ). Exprime $r$ en fonction de $\mathcal{A}$ .
Avec la formule du cours, convertis $98{,}6$ °F en degrés Celsius.

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$v = \dfrac{d}{t} \iff vt = d \iff t = \dfrac{d}{v}$ ( $v \neq 0$ ). Pour $d = 150$ et $v = 60$ : $t = 2{,}5$ h, soit $2$ h $30$ min.
$2\mathcal{A} = (B + b)h \iff h = \dfrac{2\mathcal{A}}{B + b}$ .
$r^2 = \dfrac{\mathcal{A}}{\pi}$ et $r > 0$ , donc $r = \sqrt{\dfrac{\mathcal{A}}{\pi}}$ .
$C = \dfrac{98{,}6 - 32}{1{,}8} = \dfrac{66{,}6}{1{,}8} = 37$ °C.

7. Modéliser un problème

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Exercice 8 — ⭐⭐⭐

Un parc de loisirs propose deux formules : A : $12$ € l’entrée ; B : une carte à $45$ € pour la saison, puis $7{,}50$ € l’entrée.

On note $x$ le nombre d’entrées dans la saison. Exprime le coût de chaque formule.
Pour combien d’entrées les deux formules coûtent-elles le même prix ?
À partir de combien d’entrées la formule B est-elle strictement plus avantageuse ?

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Formule A : $12x$ euros. Formule B : $45 + 7{,}5x$ euros.
$12x = 45 + 7{,}5x \iff 4{,}5x = 45 \iff x = 10$ . Pour $10$ entrées, les deux formules coûtent $120$ €.
$45 + 7{,}5x < 12x \iff 45 < 4{,}5x \iff x > 10$ . Comme $x$ est entier, la formule B est strictement plus avantageuse à partir de 11 entrées (vérification : $132$ € contre $127{,}50$ €).

Exercice 9 — ⭐⭐⭐

Trouve tous les nombres dont le carré est égal au triple.
Un rectangle a une longueur qui dépasse sa largeur de $3$ cm. Si on ajoute $2$ cm à la largeur et qu’on retire $1$ cm à la longueur, l’aire ne change pas. Quelles sont les dimensions du rectangle ?
Le prix d’un article augmente de $20\,\%$ , puis on applique une remise de $15$ €. Il coûte alors $81$ €. Quel était son prix de départ ?

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$x^2 = 3x \iff x(x - 3) = 0 \iff x = 0$ ou $x = 3$ . Les nombres cherchés sont $0$ et $3$ .
Soit $\ell$ la largeur (en cm) : la longueur vaut $\ell + 3$ . On veut $(\ell + 2)(\ell + 3 - 1) = \ell(\ell + 3)$ , soit $(\ell + 2)^2 = \ell^2 + 3\ell$ . $\ell^2 + 4\ell + 4 = \ell^2 + 3\ell \iff \ell = -4$ : impossible pour une longueur ! Le problème n’a aucune solution — c’est la vérification du sens (étape 4 de la méthode) qui permet de le voir.
Soit $p$ le prix de départ. $1{,}2p - 15 = 81 \iff 1{,}2p = 96 \iff p = 80$ €.