Équations et inéquations

Ce que tu sais déjà. Résoudre une équation du premier degré (4e — Équations), une équation produit nul (3e — Double distributivité), une équation $x^2 = a$ (3e — x² = a) et une inéquation (3e — Inéquations). Au lycée, on présente les résultats avec l’ensemble des solutions (accolades ou intervalles, vus au chapitre 1), on apprend un nouveau type d’équation (les quotients) et on choisit la bonne méthode.

1. Équations du premier degré

Définition. Résoudre une équation d’inconnue $x$, c’est trouver l’ensemble $S$ de toutes les valeurs de $x$ qui la vérifient. Deux équations sont équivalentes (symbole $\iff$) si elles ont le même ensemble de solutions.

Propriété. On obtient une équation équivalente en ajoutant (ou soustrayant) un même nombre aux deux membres, ou en les multipliant (ou divisant) par un même nombre non nul.

Exemple. $5x - 7 = 2x + 8 \iff 5x - 2x = 8 + 7 \iff 3x = 15 \iff x = 5$. Donc $S = \{5\}$.

Cas particuliers. Après regroupement, on peut obtenir $0 \times x = b$ :

• si $b \neq 0$, l’équation n’a aucune solution : $S = \varnothing$. Exemple : $3x + 2 = 3x - 1 \iff 0x = -3$, impossible.
• si $b = 0$, tout réel est solution : $S = \mathbb{R}$. Exemple : $2(x + 3) = 2x + 6 \iff 0x = 0$, toujours vrai (c’est une identité).

→ S’entraîner : Exercice 1 · Exercice 2

2. Équations produit nul

Propriété. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul : $A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$.

Exemple. $x^2 = 5x \iff x^2 - 5x = 0 \iff x(x - 5) = 0 \iff x = 0 \text{ ou } x = 5$. Donc $S = \{0\,;\,5\}$.

Attention. Il ne faut pas diviser les deux membres de $x^2 = 5x$ par $x$ : on obtiendrait $x = 5$ et on perdrait la solution $x = 0$ (on n’a le droit de diviser que par un nombre non nul, or $x$ peut valoir $0$).

→ S’entraîner : Exercice 3

3. Équations où un carré est égal à un nombre

Propriété. Soit $a$ un réel.

• Si $a > 0$ : $x^2 = a \iff x = \sqrt{a} \text{ ou } x = -\sqrt{a}$.
• Si $a = 0$ : $x^2 = 0 \iff x = 0$.
• Si $a < 0$ : l’équation n’a aucune solution (un carré est toujours positif ou nul).

Exemple. $(x - 1)^2 = 9 \iff x - 1 = 3 \text{ ou } x - 1 = -3 \iff x = 4 \text{ ou } x = -2$. Donc $S = \{-2\,;\,4\}$.

→ S’entraîner : Exercice 4

4. Équations quotient

Une équation peut contenir l’inconnue au dénominateur, par exemple $\dfrac{2x + 1}{x - 3} = 5$. Comme on ne peut pas diviser par $0$, l’expression n’a de sens que si $x - 3 \neq 0$, c’est-à-dire $x \neq 3$ : on dit que $3$ est une valeur interdite.

Exemple. $\dfrac{2x + 1}{x - 3} = 5$, avec $x \neq 3$. $2x + 1 = 5(x - 3) \iff 2x + 1 = 5x - 15 \iff -3x = -16 \iff x = \dfrac{16}{3}$. Comme $\dfrac{16}{3} \neq 3$, la solution convient : $S = \left\{\dfrac{16}{3}\right\}$.

Cas d’un quotient nul. $\dfrac{A(x)}{B(x)} = 0 \iff A(x) = 0 \text{ et } B(x) \neq 0$.

Exemple (piège). $\dfrac{x^2 - 4}{x + 2} = 0$ : la valeur interdite est $-2$. Le numérateur s’annule pour $x = 2$ ou $x = -2$ ; mais $-2$ est interdite. Donc $S = \{2\}$.

→ S’entraîner : Exercice 5

5. Inéquations du premier degré

Propriété. On obtient une inéquation équivalente en ajoutant ou soustrayant un même nombre aux deux membres, en multipliant ou divisant par un même nombre strictement positif ; si l’on multiplie ou divise par un nombre strictement négatif, il faut changer le sens de l’inégalité.

Exemple. $3(x - 2) > 5x + 4 \iff 3x - 6 > 5x + 4 \iff -2x > 10 \iff x < -5$ (division par $-2$ : le sens change). Donc $S = ]-\infty\,;\,-5[$.

Exemple (avec des fractions). $\dfrac{x}{2} - 1 \geqslant \dfrac{x + 1}{3}$. On multiplie par $6$ (positif) pour chasser les dénominateurs : $3x - 6 \geqslant 2(x + 1) \iff x \geqslant 8$. Donc $S = [8\,;\,+\infty[$.

→ S’entraîner : Exercice 6

6. Isoler une variable dans une formule

En physique, en économie ou en géométrie, une formule relie plusieurs grandeurs. Isoler une variable, c’est l’exprimer en fonction des autres : on la traite comme l’inconnue d’une équation, les autres lettres jouant le rôle de nombres connus.

Exemple. La relation entre degrés Celsius et Fahrenheit est $F = 1{,}8\,C + 32$. Pour exprimer $C$ en fonction de $F$ : $F = 1{,}8\,C + 32 \iff F - 32 = 1{,}8\,C \iff C = \dfrac{F - 32}{1{,}8}$. Par exemple, $F = 50$ donne $C = \dfrac{18}{1{,}8} = 10$ °C.

Exemple. L’énergie cinétique vaut $E = \dfrac{1}{2} m v^2$ (avec $m > 0$ et $v \geqslant 0$). On isole $v$ : $v^2 = \dfrac{2E}{m}$, et comme $v \geqslant 0$, $v = \sqrt{\dfrac{2E}{m}}$.

Attention. Avant de diviser par une lettre, s’assurer qu’elle ne peut pas être nulle ; avant de prendre une racine, s’assurer du signe de la grandeur cherchée.

→ S’entraîner : Exercice 7

7. Modéliser un problème

Exemple. Au cinéma, le tarif A coûte $8$ € la séance ; le tarif B coûte $20$ € par mois plus $5$ € la séance. À partir de combien de séances par mois le tarif B est-il le plus avantageux ?

1. Soit $x$ le nombre de séances dans le mois ($x$ entier positif).
2. B est plus avantageux quand $20 + 5x < 8x$.
3. $20 + 5x < 8x \iff 20 < 3x \iff x > \dfrac{20}{3}$, avec $\dfrac{20}{3} \approx 6{,}67$.
4. $x$ est un entier : il faut $x \geqslant 7$.
5. Le tarif B est plus avantageux à partir de 7 séances dans le mois.

→ S’entraîner : Exercice 8 · Exercice 9