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Équations et inéquations — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Exercice 1 (4 points) — Équations du premier degré

Résous et donne l'ensemble des solutions :

$7x - 4 = 3x + 10$ (1,5 point)
$2(x - 3) = 2x + 1$ (1,5 point)
$3x - 2(x - 4) = 5x$ (1 point)

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$7x - 3x = 10 + 4 \iff 4x = 14 \iff x = \dfrac{7}{2}$ . $S = \left\{\dfrac{7}{2}\right\}$ .
$2x - 6 = 2x + 1 \iff 0x = 7$ : impossible. $S = \varnothing$ .
$3x - 2x + 8 = 5x \iff x + 8 = 5x \iff 8 = 4x \iff x = 2$ . $S = \{2\}$ .

Exercice 2 (4 points) — Produit nul et carrés

Résous :

$(4x - 3)(2 - x) = 0$ (1 point)
$x^2 - 6x = 0$ (1 point)
$x^2 = 11$ (1 point)
$(x - 5)^2 = 16$ (1 point)

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$4x - 3 = 0$ ou $2 - x = 0$ : $x = \dfrac{3}{4}$ ou $x = 2$ . $S = \left\{\dfrac{3}{4}\,;\,2\right\}$ .
$x(x - 6) = 0$ : $S = \{0\,;\,6\}$ .
$11 > 0$ : $S = \left\{-\sqrt{11}\,;\,\sqrt{11}\right\}$ .
$x - 5 = 4$ ou $x - 5 = -4$ : $x = 9$ ou $x = 1$ . $S = \{1\,;\,9\}$ .

Exercice 3 (4 points) — Équations quotient

Résous $\dfrac{2x - 1}{x + 3} = 1$ , en précisant la valeur interdite. (2 points)
Résous $\dfrac{x^2 - 25}{x + 5} = 0$ . (2 points)

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Valeur interdite : $-3$ . Pour $x \neq -3$ : $2x - 1 = x + 3 \iff x = 4$ , qui n'est pas interdite. $S = \{4\}$ .
Valeur interdite : $-5$ . Le quotient est nul quand le numérateur est nul et le dénominateur non nul : $x^2 - 25 = 0 \iff x = 5$ ou $x = -5$ ; on élimine $-5$ . $S = \{5\}$ .

Exercice 4 (4 points) — Inéquation et formule

Résous $4 - 3x \geqslant x - 8$ et donne $S$ sous forme d'intervalle. (2 points)
La formule $P = 2\pi r$ donne le périmètre d'un cercle de rayon $r$ . Exprime $r$ en fonction de $P$ . (1 point)
La formule $E = mc^2$ relie énergie, masse et vitesse de la lumière $c$ . Exprime $m$ en fonction de $E$ et $c$ . (1 point)

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$4 - 3x \geqslant x - 8 \iff -4x \geqslant -12 \iff x \leqslant 3$ (division par $-4$ : le sens change). $S = ]-\infty\,;\,3]$ .
$r = \dfrac{P}{2\pi}$ .
$c \neq 0$ , donc $m = \dfrac{E}{c^2}$ .

Exercice 5 (4 points) — Location de vélos

Pour louer un vélo, l'agence A facture $3$ € par heure. L'agence B facture $10$ € de frais fixes, puis $1$ € par heure. On note $h$ la durée de location, en heures.

Exprime le prix payé dans chaque agence en fonction de $h$ . (1 point)
Pour quelle durée les deux agences coûtent-elles le même prix ? (1 point)
Pour quelles durées l'agence B est-elle strictement moins chère ? Réponds par une phrase. (2 points)

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Agence A : $3h$ euros. Agence B : $10 + h$ euros.
$3h = 10 + h \iff 2h = 10 \iff h = 5$ : pour $5$ heures, les deux agences coûtent $15$ €.
$10 + h < 3h \iff 10 < 2h \iff h > 5$ . L'agence B est strictement moins chère pour une location de plus de 5 heures.