Seconde

Ensembles de nombres, intervalles et valeur absolue — Exercices d'application

1. Les ensembles de nombres

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Exercice 1 — ⭐

Sans calculatrice.

Pour chacun des nombres suivants, donne le plus petit ensemble parmi $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{D}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ auquel il appartient. On admet que $\sqrt{3}$ est irrationnel.

$12 \qquad -5 \qquad \frac{3}{8} \qquad \sqrt{36} \qquad \frac{-21}{7} \qquad \frac{2}{9} \qquad \sqrt{3} \qquad 4{,}7$
Complète avec $\in$ ou $\notin$ : $0{,}5 \ldots \mathbb{Z}$ ; $\quad -2 \ldots \mathbb{N}$ ; $\quad \dfrac{5}{4} \ldots \mathbb{D}$ ; $\quad \sqrt{25} \ldots \mathbb{N}$ .
Vrai ou faux : « $\mathbb{Z} \subset \mathbb{N}$ » ? Justifie.

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On simplifie d’abord chaque écriture.
- $12 \in \mathbb{N}$ .
- $-5 \in \mathbb{Z}$ (entier négatif, donc pas dans $\mathbb{N}$ ).
- $\dfrac{3}{8} = 0{,}375$ : écriture décimale finie, donc $\dfrac{3}{8} \in \mathbb{D}$ .
- $\sqrt{36} = 6$ , donc $\sqrt{36} \in \mathbb{N}$ .
- $\dfrac{-21}{7} = -3$ , donc $\dfrac{-21}{7} \in \mathbb{Z}$ .
- $\dfrac{2}{9} = 0{,}222\ldots$ : l’écriture décimale est périodique (le dénominateur de cette fraction irréductible contient le facteur $3$ ), donc ce n’est pas un décimal ; c’est un quotient d’entiers : $\dfrac{2}{9} \in \mathbb{Q}$ .
- $\sqrt{3}$ est irrationnel : le plus petit ensemble est $\mathbb{R}$ .
- $4{,}7 = \dfrac{47}{10} \in \mathbb{D}$ .
$0{,}5 \notin \mathbb{Z}$ ; $-2 \notin \mathbb{N}$ ; $\dfrac{5}{4} = 1{,}25 \in \mathbb{D}$ ; $\sqrt{25} = 5 \in \mathbb{N}$ .
Faux. $-1 \in \mathbb{Z}$ mais $-1 \notin \mathbb{N}$ : ce contre-exemple montre que $\mathbb{Z}$ n’est pas inclus dans $\mathbb{N}$ (c’est l’inverse : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ ).

2. Raisonner : implication, réciproque, contraposée

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Exercice 2 — ⭐⭐

On considère l’implication : « Si un entier est un multiple de $6$ , alors c’est un multiple de $3$ . » a. Est-elle vraie ? Justifie. b. Énonce sa réciproque. Est-elle vraie ? c. Énonce sa contraposée. Est-elle vraie ?
L’implication « Si $x^2 = 9$ , alors $x = 3$ » est-elle vraie ? Et sa réciproque ?
a. Démontre que si $n$ est un entier pair, alors $n^2$ est pair. b. Énonce la contraposée de cette propriété.

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a. Vraie : si $n$ est un multiple de $6$ , il s’écrit $n = 6k$ avec $k$ entier, donc $n = 3 \times (2k)$ avec $2k$ entier : $n$ est un multiple de $3$ . b. Réciproque : « Si un entier est un multiple de $3$ , alors c’est un multiple de $6$ . » Elle est fausse : $9$ est un multiple de $3$ mais pas de $6$ (contre-exemple). c. Contraposée : « Si un entier n’est pas un multiple de $3$ , alors ce n’est pas un multiple de $6$ . » Elle est vraie, car elle est toujours vraie en même temps que l’implication de départ.
L’implication est fausse : $x = -3$ vérifie $x^2 = 9$ mais $x \neq 3$ . Sa réciproque, « si $x = 3$ , alors $x^2 = 9$ », est vraie ( $3^2 = 9$ ).
a. Si $n$ est pair, il existe un entier $k$ tel que $n = 2k$ . Alors $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2 \times (2k^2)$ , et $2k^2$ est un entier : $n^2$ est pair. b. Contraposée : « Si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair. »

3. Des nombres qui ne sont pas décimaux, ou pas rationnels

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Exercice 3 — ⭐⭐⭐

En t’inspirant de la démonstration du cours pour $\dfrac{1}{3}$ , démontre par l’absurde que $\dfrac{2}{3}$ n’est pas un nombre décimal.
On admet que $\sqrt{2}$ est irrationnel (démontré dans le cours). Démontre par l’absurde que $1 + \sqrt{2}$ est irrationnel.
Démontre de même que $3\sqrt{2}$ est irrationnel.

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Supposons que $\dfrac{2}{3}$ soit décimal : il existe un entier $a$ et un entier naturel $n$ tels que $\dfrac{2}{3} = \dfrac{a}{10^n}$ . En multipliant par $3 \times 10^n$ : $2 \times 10^n = 3a$ , donc $2 \times 10^n$ est un multiple de $3$ . Or $2 \times 10^n$ s’écrit avec un $2$ suivi de $n$ zéros : la somme de ses chiffres vaut $2$ , qui n’est pas un multiple de $3$ . C’est une contradiction : $\dfrac{2}{3}$ n’est pas décimal.
Supposons que $1 + \sqrt{2}$ soit rationnel : $1 + \sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ avec $p$ entier et $q$ entier non nul. Alors $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q} - 1 = \dfrac{p - q}{q}$ . Comme $p - q$ et $q$ sont des entiers ( $q \neq 0$ ), $\sqrt{2}$ serait rationnel : c’est une contradiction. Donc $1 + \sqrt{2}$ est irrationnel.
Supposons que $3\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ avec $p$ entier et $q$ entier non nul. Alors $\sqrt{2} = \dfrac{p}{3q}$ , quotient de deux entiers avec $3q \neq 0$ : $\sqrt{2}$ serait rationnel, ce qui est faux. Donc $3\sqrt{2}$ est irrationnel.

4. Les intervalles de nombres réels

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Exercice 4 — ⭐

Traduis chaque inégalité par un intervalle, ou chaque intervalle par une inégalité, puis représente-le sur une droite graduée : a. $-1 < x \leqslant 4$ $\qquad$ b. $x \geqslant -3$ $\qquad$ c. $x \in [0\,;\,2[$ $\qquad$ d. $x \in ]-\infty\,;\,-1]$
Réponds par vrai ou faux : $4 \in ]-1\,;\,4]$ ; $\quad -1 \in ]-1\,;\,4]$ ; $\quad \pi \in [3\,;\,3{,}2]$ .
Résous l’inéquation $5 - 2x > 11$ et donne l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle.

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a. $x \in ]-1\,;\,4]$ (ouvert en $-1$ , fermé en $4$ ). b. $x \in [-3\,;\,+\infty[$ . c. $0 \leqslant x < 2$ . d. $x \leqslant -1$ . Sur la droite graduée : on colorie la partie concernée, avec un crochet tourné vers la partie coloriée si la borne est incluse, vers l’extérieur sinon (et toujours vers l’extérieur du côté de l’infini).
$4 \in ]-1\,;\,4]$ : vrai (crochet fermé en $4$ ). $-1 \in ]-1\,;\,4]$ : faux (crochet ouvert en $-1$ ). $\pi \in [3\,;\,3{,}2]$ : vrai, car $\pi \approx 3{,}14$ et $3 \leqslant 3{,}14 \leqslant 3{,}2$ .
$5 - 2x > 11 \iff -2x > 6 \iff x < -3$ (on divise par $-2$ , négatif : le sens s’inverse). Donc $S = ]-\infty\,;\,-3[$ .

5. Intersection et réunion d’intervalles

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Exercice 5 — ⭐⭐

Dans chaque cas, détermine $I \cap J$ et $I \cup J$ (en t’aidant d’un schéma).

$I = [-4\,;\,2]$ et $J = [0\,;\,6[$ .
$I = ]-\infty\,;\,1[$ et $J = [1\,;\,5]$ .
$I = ]-3\,;\,+\infty[$ et $J = ]-\infty\,;\,-1]$ .
Détermine $[2\,;\,9] \cap ]-\infty\,;\,5[ \cap ]3\,;\,+\infty[$ .

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Les réels communs vont de $0$ (inclus dans les deux) à $2$ (inclus dans $I$ et dans $J$ ) : $I \cap J = [0\,;\,2]$ . En regroupant : $I \cup J = [-4\,;\,6[$ .
Le seul point « frontière » est $1$ , qui est dans $J$ mais pas dans $I$ : aucun réel n’est dans les deux, donc $I \cap J = \varnothing$ . En revanche, les deux intervalles se raccordent exactement en $1$ : $I \cup J = ]-\infty\,;\,5]$ .
Les réels communs sont strictement supérieurs à $-3$ et inférieurs ou égaux à $-1$ : $I \cap J = ]-3\,;\,-1]$ . Tout réel est dans l’un ou dans l’autre (un réel $\leqslant -1$ est dans $J$ , un réel $> -1$ est dans $I$ ) : $I \cup J = \mathbb{R}$ .
$[2\,;\,9] \cap ]-\infty\,;\,5[ = [2\,;\,5[$ , puis $[2\,;\,5[ \cap ]3\,;\,+\infty[ = ]3\,;\,5[$ .

6. Valeur absolue et distance

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Exercice 6 — ⭐⭐

Sans calculatrice (on pourra utiliser $\pi \approx 3{,}14$ et $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ ).

Calcule $|-12|$ , $\;|5 - 8|$ , $\;|\pi - 4|$ et $\;|\sqrt{3} - 1|$ .
Calcule la distance entre $-6$ et $2$ , puis entre $-4{,}5$ et $-1$ .
Résous les équations : a. $|x - 5| = 2$ $\quad$ b. $|x + 3| = 4$ $\quad$ c. $|x| = -1$
Résous les inéquations (solution sous forme d’intervalle) : a. $|x - 1| \leqslant 2{,}5$ $\quad$ b. $|x + 4| < 1$
Écris chaque intervalle à l’aide d’une valeur absolue : a. $[-2\,;\,8]$ $\quad$ b. $]1\,;\,2[$

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$|-12| = 12$ ; $|5 - 8| = |-3| = 3$ ; comme $\pi < 4$ , $\pi - 4 < 0$ , donc $|\pi - 4| = 4 - \pi$ ; comme $\sqrt{3} > 1$ , $\sqrt{3} - 1 > 0$ , donc $|\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1$ .
$|-6 - 2| = |-8| = 8$ . $\;|-4{,}5 - (-1)| = |-3{,}5| = 3{,}5$ .
a. Les réels à distance $2$ de $5$ : $x = 3$ ou $x = 7$ . $S = \{3\,;\,7\}$ . b. $|x + 3| = |x - (-3)|$ : réels à distance $4$ de $-3$ : $x = -7$ ou $x = 1$ . $S = \{-7\,;\,1\}$ . c. Une valeur absolue n’est jamais négative : aucune solution, $S = \varnothing$ .
a. Centre $1$ , rayon $2{,}5$ : $S = [1 - 2{,}5\,;\,1 + 2{,}5] = [-1{,}5\,;\,3{,}5]$ . b. $|x + 4| = |x - (-4)|$ : centre $-4$ , rayon $1$ , inégalité stricte : $S = ]-5\,;\,-3[$ .
a. Centre $\dfrac{-2 + 8}{2} = 3$ , rayon $\dfrac{8 - (-2)}{2} = 5$ : $x \in [-2\,;\,8] \iff |x - 3| \leqslant 5$ . b. Centre $1{,}5$ , rayon $0{,}5$ , bornes exclues : $x \in ]1\,;\,2[ \iff |x - 1{,}5| < 0{,}5$ .

Exercice 7 — ⭐⭐⭐

Une usine fabrique des vis dont la longueur « nominale » est $40$ mm. À cause des imprécisions de la machine, une vis de longueur $L$ (en mm) est acceptée au contrôle qualité si $|L - 40| \leqslant 0{,}3$ .

Traduis cette condition par une phrase utilisant le mot « distance », puis donne l’intervalle des longueurs acceptées.
Quatre vis mesurent $39{,}65$ mm, $40{,}3$ mm, $40{,}31$ mm et $39{,}8$ mm. Lesquelles sont acceptées ?
Un client exige une tolérance de $0{,}5\,\%$ de la longueur nominale. Quel intervalle de longueurs accepte-t-il ? Parmi les vis de la question 2, lesquelles lui conviennent ?
Une seconde machine produit des vis dont la longueur est toujours dans l’intervalle $[39{,}85\,;\,40{,}25]$ . Écris cette condition sous la forme $|L - c| \leqslant r$ . Toutes ces vis sont-elles acceptées au contrôle de la question 1 ?

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La distance entre la longueur de la vis et $40$ mm doit être inférieure ou égale à $0{,}3$ mm. Centre $40$ , rayon $0{,}3$ : $L \in [39{,}7\,;\,40{,}3]$ .
- $39{,}65$ : distance $|39{,}65 - 40| = 0{,}35 > 0{,}3$ → refusée.
- $40{,}3$ : distance $0{,}3 \leqslant 0{,}3$ → acceptée (borne incluse).
- $40{,}31$ : distance $0{,}31 > 0{,}3$ → refusée.
- $39{,}8$ : distance $0{,}2 \leqslant 0{,}3$ → acceptée.
$0{,}5\,\%$ de $40$ mm : $0{,}005 \times 40 = 0{,}2$ mm. Le client accepte $|L - 40| \leqslant 0{,}2$ , soit $L \in [39{,}8\,;\,40{,}2]$ . Parmi les vis acceptées à la question 2, seule celle de $39{,}8$ mm lui convient ( $40{,}3 > 40{,}2$ ).
Centre $c = \dfrac{39{,}85 + 40{,}25}{2} = 40{,}05$ ; rayon $r = \dfrac{40{,}25 - 39{,}85}{2} = 0{,}2$ : $|L - 40{,}05| \leqslant 0{,}2$ . Comme $39{,}7 \leqslant 39{,}85$ et $40{,}25 \leqslant 40{,}3$ , on a $[39{,}85\,;\,40{,}25] \subset [39{,}7\,;\,40{,}3]$ : toutes ces vis sont acceptées.

7. Encadrer et arrondir un nombre réel

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Exercice 8 — ⭐⭐⭐

Sans utiliser la touche racine carrée de la calculatrice : a. Encadre $\sqrt{7}$ entre deux entiers consécutifs, puis au dixième. b. Encadre $\sqrt{7}$ au centième. c. En calculant $2{,}645^2$ , détermine l’arrondi de $\sqrt{7}$ au centième.
On veut adapter la fonction Python du cours pour qu’elle encadre $\sqrt{a}$ pour n’importe quel réel $a$ positif. Complète :

def encadrement_racine(a, n):
    pas = 10 ** (-n)
    x = 0
    while ...........:
        x = x + pas
    return (round(x, n), round(x + pas, n))

Qu’affiche print(encadrement_racine(7, 2)) ?
Pourquoi le cours pouvait-il commencer avec x = 1 pour $\sqrt{2}$ , alors qu’il vaut mieux commencer à x = 0 ici ? Donne un exemple de valeur de a pour laquelle x = 1 donnerait un résultat faux.

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a. $2^2 = 4 < 7 < 9 = 3^2$ , donc $2 < \sqrt{7} < 3$ . On essaie les dixièmes : $2{,}6^2 = 6{,}76 < 7$ et $2{,}7^2 = 7{,}29 > 7$ , donc $2{,}6 < \sqrt{7} < 2{,}7$ . b. $2{,}64^2 = 6{,}9696 < 7$ et $2{,}65^2 = 7{,}0225 > 7$ , donc $2{,}64 < \sqrt{7} < 2{,}65$ . c. $2{,}645^2 = 6{,}996\,025 < 7$ , donc $\sqrt{7} > 2{,}645$ : $\sqrt{7}$ est plus proche de $2{,}65$ que de $2{,}64$ . L’arrondi au centième est $2{,}65$ .
La condition est (x + pas) ** 2 <= a : on avance tant que le carré du nombre suivant ne dépasse pas a.
Le programme affiche (2.64, 2.65), ce qui est cohérent avec la question 1.b.
Pour $a = 2$ , on sait que $\sqrt{2} > 1$ , donc partir de $1$ ne fait rien rater. Mais si $a < 1$ , alors $\sqrt{a} < 1$ : par exemple pour $a = 0{,}5$ et $n = 2$ ( $\sqrt{0{,}5} \approx 0{,}71$ ), la condition $(1 + 0{,}01)^2 \leqslant 0{,}5$ est fausse dès le départ, la boucle ne tourne jamais et la fonction renverrait l’encadrement faux $(1\,;\,1{,}01)$ . En partant de x = 0, on obtient bien (0.7, 0.71).