Ensembles de nombres, intervalles et valeur absolue

Ce que tu sais déjà. Au collège, tu as rencontré les nombres relatifs, les fractions et leur écriture décimale finie ou périodique (3e — Fractions), la racine carrée et le mot « irrationnel » (4e — Racine carrée), et tu as représenté les solutions d’une inéquation sur une droite graduée avec des crochets (3e — Inéquations). Ce chapitre donne un nom et une notation à tout cela, et surtout, il démontre ce qui n’avait été qu’affirmé.

1. Les ensembles de nombres

On range les nombres dans des ensembles de plus en plus grands.

Définitions.

• $\mathbb{N}$ est l’ensemble des entiers naturels : $0, 1, 2, 3, \ldots$
• $\mathbb{Z}$ est l’ensemble des entiers relatifs : $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$
• $\mathbb{D}$ est l’ensemble des nombres décimaux : les nombres qui peuvent s’écrire $\dfrac{a}{10^n}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$ (autrement dit, ceux qui ont une écriture décimale finie). Par exemple $-1{,}5 = \dfrac{-15}{10^1}$.
• $\mathbb{Q}$ est l’ensemble des nombres rationnels : les nombres qui peuvent s’écrire $\dfrac{p}{q}$ avec $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}$, $q \neq 0$.
• $\mathbb{R}$ est l’ensemble des nombres réels : tous les nombres qui correspondent à un point d’une droite graduée. Un réel qui n’est pas rationnel est dit irrationnel (par exemple $\sqrt{2}$ ou $\pi$).

Notations. Le symbole $\in$ se lit « appartient à » : $-3 \in \mathbb{Z}$. Le symbole $\notin$ se lit « n’appartient pas à » : $-3 \notin \mathbb{N}$. Le symbole $\subset$ se lit « est inclus dans » : il relie deux ensembles, jamais un nombre et un ensemble.

Propriété. $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

Exemple. $\sqrt{16} = 4$, donc $\sqrt{16} \in \mathbb{N}$. $\dfrac{-12}{4} = -3$, donc $\dfrac{-12}{4} \in \mathbb{Z}$ mais $\notin \mathbb{N}$. $\dfrac{7}{20} = 0{,}35$, donc $\dfrac{7}{20} \in \mathbb{D}$. $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ est rationnel mais pas décimal (on le démontre à la section 3).

Attention. L’écriture d’un nombre peut être trompeuse : $\dfrac{-12}{4}$ « ressemble » à une fraction, mais c’est un entier. C’est pourquoi on simplifie toujours avant de conclure.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Raisonner : implication, réciproque, contraposée

Pour démontrer des propriétés sur les nombres, il faut quelques outils de logique.

Définitions. Soient $P$ et $Q$ deux propositions (des phrases vraies ou fausses).

• L’implication « si $P$, alors $Q$ » (notée $P \Rightarrow Q$) est vraie quand, chaque fois que $P$ est vraie, $Q$ l’est aussi.
• Sa réciproque est « si $Q$, alors $P$ ». Elle peut être vraie ou fausse, indépendamment de l’implication de départ.
• Sa contraposée est « si non $Q$, alors non $P$ ».
• Un contre-exemple est un cas où $P$ est vraie mais $Q$ est fausse : un seul contre-exemple suffit à prouver qu’une implication est fausse.

Propriété (admise). Une implication et sa contraposée sont toujours vraies ou fausses en même temps. Pour démontrer une implication, on peut donc démontrer sa contraposée à la place.

Exemple. « Si $n$ est un multiple de $4$, alors $n$ est pair » est vraie. Sa réciproque, « si $n$ est pair, alors $n$ est un multiple de $4$ », est fausse : $6$ est un contre-exemple (pair, mais pas multiple de $4$). Sa contraposée, « si $n$ n’est pas pair, alors $n$ n’est pas un multiple de $4$ », est vraie, comme l’implication de départ.

On rappelle qu’un entier $n$ est pair s’il peut s’écrire $n = 2k$ avec $k \in \mathbb{Z}$, et impair s’il peut s’écrire $n = 2k + 1$ avec $k \in \mathbb{Z}$.

Conséquence (par contraposée). L’implication « si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair » a pour contraposée : « si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair ». Elle est donc vraie elle aussi — on s’en sert juste après pour démontrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Des nombres qui ne sont pas décimaux, ou pas rationnels

Le raisonnement par l’absurde. Pour démontrer qu’une affirmation est vraie, on suppose qu’elle est fausse, et on en déduit, par des étapes correctes, une chose impossible (une contradiction). La supposition de départ ne pouvait donc pas être faite : l’affirmation est vraie.

Au collège, on a vu que $\sqrt{2}$ est la longueur de la diagonale d’un carré de côté $1$ : c’est un nombre bien réel, que l’on sait placer sur une droite graduée. Mais on peut démontrer qu’il ne s’écrit pas sous forme de fraction.

Remarque. Le nombre $\pi$ est lui aussi irrationnel, mais la démonstration est bien plus difficile (elle date du XVIII^e siècle) et n’est pas au programme.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Les intervalles de nombres réels

Les nombres réels correspondent aux points d’une droite graduée. Un intervalle est l’ensemble de tous les réels compris entre deux bornes (ou situés d’un même côté d’une borne).

Définition. Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a < b$.

Le crochet est tourné vers l’intervalle quand la borne est incluse, et tourné vers l’extérieur quand elle est exclue. L’ensemble de tous les réels s’écrit $\mathbb{R} = ]-\infty\,;\,+\infty[$.

Attention. $+\infty$ et $-\infty$ ne sont pas des nombres : ils ne peuvent jamais appartenir à un intervalle. Le crochet est donc toujours ouvert du côté de l’infini : on écrit $[1\,;\,+\infty[$, jamais $[1\,;\,+\infty]$.

Exemple. Au collège, on résolvait $3x - 5 \geqslant 10$ et l’on trouvait $x \geqslant 5$. En Seconde, on écrit l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle : $S = [5\,;\,+\infty[$.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Intersection et réunion d’intervalles

Définitions. Soient $I$ et $J$ deux ensembles de réels.

• L’intersection $I \cap J$ (« $I$ inter $J$ ») est l’ensemble des réels qui appartiennent à $I$ et à $J$.
• La réunion $I \cup J$ (« $I$ union $J$ ») est l’ensemble des réels qui appartiennent à $I$ ou à $J$ (ou aux deux).
• L’ensemble qui ne contient aucun élément est l’ensemble vide, noté $\varnothing$.

Exemple. $I = [-2\,;\,5]$ et $J = ]1\,;\,7]$. Les réels communs sont ceux de $]1\,;\,5]$ (le $1$ est exclu car il n’est pas dans $J$), donc $I \cap J = ]1\,;\,5]$. En regroupant les deux, on obtient $I \cup J = [-2\,;\,7]$.

Exemple. $K = ]-\infty\,;\,0[$ et $L = [3\,;\,+\infty[$. Aucun réel n’est à la fois négatif et supérieur ou égal à $3$ : $K \cap L = \varnothing$. La réunion $K \cup L = ]-\infty\,;\,0[ \cup [3\,;\,+\infty[$ ne se simplifie pas : ce n’est pas un intervalle (il y a un « trou » entre $0$ et $3$).

→ S’entraîner : Exercice 5

6. Valeur absolue et distance

Définition. La valeur absolue d’un réel $x$, notée $|x|$, est la distance entre $x$ et $0$ sur la droite graduée. Concrètement :

$$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geqslant 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$

C’est un exemple de disjonction de cas : on traite séparément le cas $x \geqslant 0$ et le cas $x < 0$. Une valeur absolue est toujours positive ou nulle.

Exemple. $|7| = 7$ ; $|-7| = -(-7) = 7$ ; $|0| = 0$ ; $|1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1$, car $1 - \sqrt{2} < 0$.

Propriété. La distance entre deux réels $a$ et $b$ est $|a - b|$ (qui est aussi égale à $|b - a|$).

Exemple. La distance entre $-3$ et $4$ est $|-3 - 4| = |-7| = 7$.

Propriété. Soient $a$ un réel et $r$ un réel strictement positif.

• $|x - a| = r$ signifie que $x$ est à distance $r$ de $a$ : $x = a - r$ ou $x = a + r$.
• $|x - a| \leqslant r$ signifie que $x$ est à distance au plus $r$ de $a$ : $x \in [a - r\,;\,a + r]$. On dit que $a$ est le centre de cet intervalle et $r$ son rayon.

Exemple. $|x + 1| < 4$ s’écrit $|x - (-1)| < 4$ : ce sont les réels à distance strictement inférieure à $4$ de $-1$. Donc $S = ]-5\,;\,3[$.

Réciproquement, tout intervalle $[m\,;\,M]$ peut s’écrire avec une valeur absolue : son centre est $\dfrac{m + M}{2}$ et son rayon $\dfrac{M - m}{2}$. Par exemple, $x \in [4\,;\,10] \iff |x - 7| \leqslant 3$.

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7

7. Encadrer et arrondir un nombre réel

Un nombre irrationnel comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$ n’a pas d’écriture décimale finie : on travaille avec des encadrements et des arrondis.

Définitions.

• Encadrer un réel $x$, c’est trouver deux nombres $m$ et $M$ tels que $m \leqslant x \leqslant M$. Le nombre $M - m$ est l’amplitude de l’encadrement.
• Un encadrement décimal à $10^{-n}$ près est un encadrement par deux décimaux ayant $n$ chiffres après la virgule et d’amplitude $10^{-n}$.
• L’arrondi à $10^{-n}$ près de $x$ est, parmi les deux bornes de cet encadrement, celle qui est la plus proche de $x$.

Exemple. $3{,}14 < \pi < 3{,}15$ est un encadrement de $\pi$ au centième (amplitude $0{,}01$). Comme $\pi = 3{,}1415\ldots$, l’arrondi au centième est $3{,}14$.

Exemple. $1{,}41^2 = 1{,}9881$ et $1{,}42^2 = 2{,}0164$. Comme $1{,}9881 < 2 < 2{,}0164$, on a $1{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42$ : c’est l’encadrement de $\sqrt{2}$ au centième.

Cette méthode « par balayage » se programme facilement. La fonction Python ci-dessous renvoie un encadrement de $\sqrt{2}$ d’amplitude $10^{-n}$ :

def encadrement_racine2(n):
    pas = 10 ** (-n)
    x = 1
    while (x + pas) ** 2 <= 2:
        x = x + pas
    return (round(x, n), round(x + pas, n))

print(encadrement_racine2(3))   # affiche (1.414, 1.415)

La boucle while avance de pas en pas tant que le carré reste inférieur ou égal à $2$ ; elle s’arrête juste avant de dépasser $\sqrt{2}$.

→ S’entraîner : Exercice 8