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Ensembles de nombres, intervalles et valeur absolue — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour les exercices 1, 2 et 4.

Pour chacun des nombres suivants, donne le plus petit ensemble parmi $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{D}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ auquel il appartient (on admet que $\sqrt{11}$ est irrationnel) : $-8$ ; $\;\sqrt{49}$ ; $\;\dfrac{9}{12}$ ; $\;\dfrac{-14}{6}$ ; $\;\sqrt{11}$ . (2 points)
Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse. (2 points) a. « Tout nombre décimal est un nombre rationnel. » b. « L'inverse d'un entier non nul est toujours un nombre décimal. »

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On simplifie d'abord chaque écriture.
- $-8 \in \mathbb{Z}$ (entier négatif).
- $\sqrt{49} = 7$ , donc $\sqrt{49} \in \mathbb{N}$ .
- $\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$ : écriture décimale finie, donc $\dfrac{9}{12} \in \mathbb{D}$ .
- $\dfrac{-14}{6} = \dfrac{-7}{3} = -2{,}333\ldots$ : écriture périodique (le dénominateur de la fraction irréductible contient le facteur $3$ ), donc ce n'est pas un décimal ; c'est un quotient d'entiers : $\dfrac{-14}{6} \in \mathbb{Q}$ .
- $\sqrt{11}$ est irrationnel : le plus petit ensemble est $\mathbb{R}$ .
a. Vrai. Un décimal s'écrit $\dfrac{a}{10^n}$ avec $a$ entier et $10^n$ entier non nul : c'est un quotient d'entiers, donc un rationnel. (C'est l'inclusion $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$ .) b. Faux. Contre-exemple : l'inverse de $3$ est $\dfrac{1}{3}$ , qui n'est pas décimal (démontré dans le cours).

On considère l'implication : « Si l'écriture d'un entier se termine par $5$ , alors cet entier est un multiple de $5$ . » a. Est-elle vraie ? (0,5 point) b. Énonce sa réciproque et dis si elle est vraie, en justifiant. (1 point) c. Énonce sa contraposée. (0,5 point)
Démontre que le carré d'un entier impair est impair. (2 points)

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a. Vraie : un entier qui se termine par $5$ est divisible par $5$ (critère de divisibilité). b. Réciproque : « Si un entier est un multiple de $5$ , alors son écriture se termine par $5$ . » Elle est fausse : $10$ est un multiple de $5$ qui se termine par $0$ . c. Contraposée : « Si un entier n'est pas un multiple de $5$ , alors son écriture ne se termine pas par $5$ . »
Soit $n$ un entier impair : il existe un entier $k$ tel que $n = 2k + 1$ . Alors $n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ . Comme $2k^2 + 2k$ est un entier, $n^2$ est de la forme $2k' + 1$ avec $k'$ entier : $n^2$ est impair.

Écris sous forme d'intervalle l'ensemble des réels $x$ tels que : a. $x \leqslant 7$ $\qquad$ b. $-2 < x < 0{,}5$ (1 point)
On pose $I = [-3\,;\,4[$ et $J = ]0\,;\,+\infty[$ . Détermine $I \cap J$ et $I \cup J$ . (2 points)
Résous l'inéquation $4x - 3 \leqslant 7x + 9$ et donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle. (1 point)

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a. $]-\infty\,;\,7]$ $\qquad$ b. $]-2\,;\,0{,}5[$
Sur deux droites graduées : les réels communs sont strictement positifs (condition de $J$ ) et strictement inférieurs à $4$ (condition de $I$ ) : $I \cap J = ]0\,;\,4[$ . La réunion commence à $-3$ (inclus) et n'a pas de fin à droite : $I \cup J = [-3\,;\,+\infty[$ .
$4x - 3 \leqslant 7x + 9 \iff 4x - 7x \leqslant 9 + 3 \iff -3x \leqslant 12 \iff x \geqslant -4$ (on divise par $-3$ , négatif : le sens s'inverse). $S = [-4\,;\,+\infty[$ .

Calcule $|3 - 10|$ , $\;|-2{,}5|$ et $\;|\sqrt{2} - 2|$ (on rappelle que $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ ). (1,5 point)
Résous l'équation $|x - 6| = 1{,}5$ . (1 point)
Résous l'inéquation $|x + 2| \leqslant 3$ . (1 point)
Écris l'intervalle $]-1\,;\,9[$ à l'aide d'une valeur absolue. (0,5 point)

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$|3 - 10| = |-7| = 7$ ; $\;|-2{,}5| = 2{,}5$ ; comme $\sqrt{2} < 2$ , $\sqrt{2} - 2 < 0$ , donc $|\sqrt{2} - 2| = 2 - \sqrt{2}$ .
Ce sont les réels à distance $1{,}5$ de $6$ : $x = 6 - 1{,}5 = 4{,}5$ ou $x = 6 + 1{,}5 = 7{,}5$ . $S = \{4{,}5\,;\,7{,}5\}$ .
$|x + 2| = |x - (-2)|$ : ce sont les réels à distance au plus $3$ de $-2$ . $S = [-2 - 3\,;\,-2 + 3] = [-5\,;\,1]$ .
Centre $\dfrac{-1 + 9}{2} = 4$ , rayon $\dfrac{9 - (-1)}{2} = 5$ , bornes exclues : $x \in ]-1\,;\,9[ \iff |x - 4| < 5$ .

Pour des poissons tropicaux, la température $T$ de l'eau (en °C) est jugée acceptable si $|T - 25| \leqslant 1{,}5$ .

Donne l'intervalle des températures acceptables. (1 point)
Trois relevés indiquent $23{,}2$ °C, $26{,}5$ °C et $24{,}8$ °C. Lesquels sont acceptables ? Justifie à l'aide de distances. (1,5 point)
Le chauffage de l'aquarium garantit une température dans l'intervalle $]24\,;\,27[$ . Cela suffit-il à garantir une température acceptable ? Détermine l'ensemble des températures qui sont à la fois possibles avec ce chauffage et acceptables. (1,5 point)

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Centre $25$ , rayon $1{,}5$ : $T \in [23{,}5\,;\,26{,}5]$ .
- $23{,}2$ °C : distance $|23{,}2 - 25| = 1{,}8 > 1{,}5$ → non acceptable.
- $26{,}5$ °C : distance $1{,}5 \leqslant 1{,}5$ → acceptable (borne incluse).
- $24{,}8$ °C : distance $0{,}2 \leqslant 1{,}5$ → acceptable.
Non : par exemple $26{,}8$ °C est dans $]24\,;\,27[$ , mais $|26{,}8 - 25| = 1{,}8 > 1{,}5$ . Les températures à la fois possibles et acceptables forment l'intersection $]24\,;\,27[ \cap [23{,}5\,;\,26{,}5] = ]24\,;\,26{,}5]$ .