Seconde

Droites du plan : équations et intersections — Exercices d'application

Dans tous les exercices, le plan est muni d’un repère.

1. Vecteur directeur d’une droite

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Exercice 1 — ⭐

La droite $d$ passe par $A(1\,;\,1)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}(3\,;\,2)$ .

Les points $M(7\,;\,5)$ et $N(6\,;\,2)$ appartiennent-ils à $d$ ?
Donne deux autres vecteurs directeurs de $d$ .
Donne les coordonnées d’un autre point de $d$ .

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$\overrightarrow{AM}(6\,;\,4)$ et $\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = 6 \times 2 - 3 \times 4 = 0$ : $M \in d$ . $\overrightarrow{AN}(5\,;\,1)$ et $\det = 5 \times 2 - 3 \times 1 = 7 \neq 0$ : $N \notin d$ .
Par exemple $2\vec{u}(6\,;\,4)$ et $-\vec{u}(-3\,;\,-2)$ .
Le point $B$ tel que $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$ : $B(4\,;\,3)$ .

2. Équation cartésienne d’une droite

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Exercice 2 — ⭐⭐

Détermine une équation cartésienne de la droite passant par $A(1\,;\,-2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3\,;\,1)$ .
Détermine une équation cartésienne de la droite $(CD)$ , avec $C(-1\,;\,3)$ et $D(2\,;\,-3)$ .
On considère la droite $\Delta : 2x - 3y + 5 = 0$ . Donne un vecteur directeur de $\Delta$ et vérifie que $E(-1\,;\,1)$ et $F(2\,;\,3)$ sont sur $\Delta$ .

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$\overrightarrow{AM}(x - 1\,;\,y + 2)$ : $\det = (x - 1) \times 1 - 3(y + 2) = x - 3y - 7$ . Équation : $x - 3y - 7 = 0$ .
$\overrightarrow{CD}(3\,;\,-6)$ et $\overrightarrow{CM}(x + 1\,;\,y - 3)$ : $\det = (x + 1)(-6) - 3(y - 3) = -6x - 3y + 3$ . Équation : $-6x - 3y + 3 = 0$ , ou, en divisant par $-3$ : $2x + y - 1 = 0$ .
Avec $a = 2$ , $b = -3$ : $\vec{u}(-b\,;\,a) = (3\,;\,2)$ . $E$ : $-2 - 3 + 5 = 0$ ✓ ; $F$ : $4 - 9 + 5 = 0$ ✓.

3. Équation réduite et pente

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Exercice 3 — ⭐

Détermine l’équation réduite de chaque droite :

la droite passant par $A(-1\,;\,4)$ et $B(3\,;\,-4)$ ;
la droite de pente $\dfrac{1}{2}$ passant par $C(4\,;\,1)$ ;
la droite passant par $D(3\,;\,1)$ et $E(3\,;\,-5)$ ;
la droite passant par $F(0\,;\,-2)$ et $G(5\,;\,-2)$ .

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$m = \dfrac{-8}{4} = -2$ ; $4 = 2 + p$ donc $p = 2$ : $y = -2x + 2$ .
$y = \dfrac{1}{2}x + p$ avec $1 = 2 + p$ : $p = -1$ . $y = \dfrac{1}{2}x - 1$ .
$x_D = x_E = 3$ : droite verticale d’équation $x = 3$ (pas d’équation réduite en $y$ ).
$m = \dfrac{0}{5} = 0$ et $p = -2$ : $y = -2$ (droite horizontale).

Exercice 4 — ⭐⭐

Donne l’équation réduite, la pente et l’ordonnée à l’origine de $d : 3x + 2y - 4 = 0$ , puis de $d' : x - 4y = 8$ .
Trace $d$ dans un repère en utilisant l’ordonnée à l’origine et la pente.
La fonction Python ci-dessous renvoie la pente et l’ordonnée à l’origine de la droite $(AB)$ . Que renvoient equation_reduite(-1, 4, 3, -4) et equation_reduite(3, 1, 3, -5) ?

def equation_reduite(xA, yA, xB, yB):
    if xA == xB:
        return "droite verticale d'équation x = " + str(xA)
    m = (yB - yA) / (xB - xA)
    p = yA - m * xA
    return (m, p)

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$d$ : $2y = -3x + 4$ , donc $y = -1{,}5x + 2$ (pente $-1{,}5$ , ordonnée à l’origine $2$ ). $d'$ : $-4y = -x + 8$ , donc $y = 0{,}25x - 2$ (pente $0{,}25$ , ordonnée à l’origine $-2$ ).
On place $(0\,;\,2)$ , puis on avance de $2$ vers la droite et on descend de $3$ (pente $-\dfrac{3}{2}$ ) : on obtient $(2\,;\,-1)$ . On trace la droite passant par ces deux points.
(-2.0, 2.0) (c’est la droite de l’exercice 3.1) et "droite verticale d'équation x = 3".

4. Droites parallèles

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Exercice 5 — ⭐⭐

Parmi les droites suivantes, lesquelles sont parallèles ? $d_1 : y = 2x + 1$ ; $\;d_2 : 4x - 2y + 7 = 0$ ; $\;d_3$ passant par $(0\,;\,1)$ et $(1\,;\,4)$ ; $\;d_4 : y = 3x - 5$ .
Détermine l’équation réduite de la parallèle à $y = -x + 4$ passant par $A(2\,;\,5)$ .
Pour quelle valeur de $k$ la droite $y = (k - 1)x + 3$ est-elle parallèle à $y = 5x$ ?

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$d_2 : y = 2x + 3{,}5$ (pente $2$ ) ; $d_3$ : pente $\dfrac{4 - 1}{1 - 0} = 3$ . Donc $d_1 \parallel d_2$ (pente $2$ ) et $d_3 \parallel d_4$ (pente $3$ ).
Pente $-1$ : $y = -x + p$ avec $5 = -2 + p$ , soit $y = -x + 7$ .
Il faut $k - 1 = 5$ , donc $k = 6$ .

5. Point d’intersection de deux droites sécantes

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Exercice 6 — ⭐⭐

Détermine, s’il existe, le point d’intersection des droites :

$y = 2x - 3$ et $y = -x + 6$ ;
$y = 0{,}5x + 1$ et $x = 4$ ;
$y = -3x + 4$ et $6x + 2y - 1 = 0$ ;
$y = 4x - 1$ et $y = -2x + 8$ .

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$2x - 3 = -x + 6 \iff x = 3$ , puis $y = 3$ : $K(3\,;\,3)$ .
$x = 4$ , $y = 0{,}5 \times 4 + 1 = 3$ : $(4\,;\,3)$ .
La seconde s’écrit $y = -3x + 0{,}5$ : même pente $-3$ , ordonnées à l’origine différentes. Les droites sont parallèles (strictement) : pas de point d’intersection.
$4x - 1 = -2x + 8 \iff 6x = 9 \iff x = 1{,}5$ , puis $y = 4 \times 1{,}5 - 1 = 5$ . Vérification : $-3 + 8 = 5$ ✓. Point $(1{,}5\,;\,5)$ .

Exercice 7 — ⭐⭐⭐

On considère $A(0\,;\,0)$ , $B(6\,;\,0)$ et $C(0\,;\,6)$ . On note $A'$ le milieu de $[BC]$ et $B'$ le milieu de $[AC]$ .

Calcule les coordonnées de $A'$ et $B'$ .
Détermine les équations réduites des médianes $(AA')$ et $(BB')$ .
Détermine les coordonnées de leur point d’intersection $G$ . Retrouve ce résultat avec la propriété du centre de gravité vue au chapitre précédent.
Les points $(1\,;\,3)$ , $(4\,;\,9)$ et $(-2\,;\,-3)$ sont-ils alignés ? Utilise l’équation de la droite passant par les deux premiers.

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$A'(3\,;\,3)$ et $B'(0\,;\,3)$ .
$(AA')$ : pente $\dfrac{3}{3} = 1$ et passe par l’origine : $y = x$ . $(BB')$ : pente $\dfrac{3 - 0}{0 - 6} = -\dfrac{1}{2}$ , ordonnée à l’origine $3$ : $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$ .
$x = -\dfrac{1}{2}x + 3 \iff \dfrac{3}{2}x = 3 \iff x = 2$ , et $y = 2$ : $G(2\,;\,2)$ . C’est bien la moyenne des coordonnées des sommets : $\left(\dfrac{0 + 6 + 0}{3}\,;\,\dfrac{0 + 0 + 6}{3}\right) = (2\,;\,2)$ .
Droite passant par $(1\,;\,3)$ et $(4\,;\,9)$ : pente $2$ , $3 = 2 + p$ , donc $y = 2x + 1$ . Pour $x = -2$ : $y = -3$ . Le troisième point est sur la droite : les trois points sont alignés.

Exercice 8 — ⭐⭐⭐

Pour louer une salle, l’association A demande $150$ € de forfait plus $12$ € par personne ; l’association B demande $30$ € par personne, sans forfait.

On note $x$ le nombre de personnes. Donne les équations des droites représentant le coût chez A et chez B.
Détermine le point d’intersection de ces deux droites. Interprète.
À partir de combien de personnes l’association A est-elle la moins chère ?

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A : $y = 12x + 150$ ; B : $y = 30x$ .
$12x + 150 = 30x \iff 18x = 150 \iff x = \dfrac{25}{3} \approx 8{,}33$ , et $y = 30 \times \dfrac{25}{3} = 250$ . Les deux tarifs seraient égaux ( $250$ €) pour $8{,}33$ personnes, ce qui n’a pas de sens concrètement : il faut comparer pour $8$ et $9$ personnes.
Pour $8$ personnes : A coûte $246$ €, B $240$ € (B moins cher). Pour $9$ personnes : A coûte $258$ €, B $270$ €. L’association A est la moins chère à partir de 9 personnes.