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Droites du plan : équations et intersections — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet. Le plan est muni d'un repère.

Exercice 1 (4 points) — Équation cartésienne et déterminant

Soit $d$ la droite passant par $A(2\,;\,-1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3\,;\,4)$ .

Justifie qu'un point $M(x\,;\,y)$ appartient à $d$ si et seulement si $\det\left(\overrightarrow{AM}, \vec{u}\right) = 0$ . (1 point)
En déduire qu'une équation cartésienne de $d$ est $4x - 3y - 11 = 0$ . (2 points)
Le point $B(5\,;\,3)$ appartient-il à $d$ ? (1 point)

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$M$ appartient à la droite passant par $A$ de vecteur directeur $\vec{u}$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, c'est-à-dire (critère du chapitre précédent) si et seulement si leur déterminant est nul.
$\overrightarrow{AM}(x - 2\,;\,y + 1)$ et $\vec{u}(3\,;\,4)$ : $\det = (x - 2) \times 4 - 3(y + 1) = 4x - 8 - 3y - 3 = 4x - 3y - 11$ . Donc $M \in d \iff 4x - 3y - 11 = 0$ .
$4 \times 5 - 3 \times 3 - 11 = 20 - 9 - 11 = 0$ : oui, $B \in d$ .

Exercice 2 (4 points) — Équations réduites

Détermine l'équation réduite de la droite $(PQ)$ , avec $P(-2\,;\,1)$ et $Q(2\,;\,9)$ . (2 points)
Détermine une équation de la droite $(RS)$ , avec $R(1\,;\,-3)$ et $S(1\,;\,4)$ . (1 point)
Détermine l'équation réduite de la droite de pente $-2$ passant par $T(3\,;\,1)$ . (1 point)

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$m = \dfrac{9 - 1}{2 - (-2)} = \dfrac{8}{4} = 2$ ; $1 = 2 \times (-2) + p$ , donc $p = 5$ : $y = 2x + 5$ .
$x_R = x_S = 1$ : la droite $(RS)$ est verticale, d'équation $x = 1$ .
$y = -2x + p$ avec $1 = -6 + p$ : $p = 7$ , donc $y = -2x + 7$ .

Exercice 3 (4 points) — Lire une équation

Soit $\Delta$ la droite d'équation $5x - y + 3 = 0$ .

Donne l'équation réduite de $\Delta$ , sa pente et son ordonnée à l'origine. (1,5 point)
Donne un vecteur directeur de $\Delta$ . (1 point)
Le point $E(-1\,;\,-2)$ appartient-il à $\Delta$ ? (0,5 point)
Donne l'équation réduite de la parallèle à $\Delta$ passant par l'origine. (1 point)

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$5x - y + 3 = 0 \iff y = 5x + 3$ : pente $5$ , ordonnée à l'origine $3$ .
Par exemple $(1\,;\,5)$ (ou, avec $a = 5$ , $b = -1$ : $(-b\,;\,a) = (1\,;\,5)$ ).
$5 \times (-1) - (-2) + 3 = -5 + 2 + 3 = 0$ : oui, $E \in \Delta$ .
Même pente $5$ et ordonnée à l'origine $0$ : $y = 5x$ .

Exercice 4 (4 points) — Parallèles ou sécantes ?

On considère $d_1 : y = -3x + 4$ , $\;d_2 : y = 2x - 6$ et $\;d_3 : 6x + 2y - 1 = 0$ .

Montre que $d_1$ et $d_3$ sont parallèles. (1,5 point)
Détermine les coordonnées du point d'intersection de $d_1$ et $d_2$ . (2,5 points)

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$d_3 : 2y = -6x + 1$ , soit $y = -3x + 0{,}5$ . Même pente $-3$ que $d_1$ : les droites sont parallèles (distinctes, car $4 \neq 0{,}5$ ).
Les pentes $-3$ et $2$ sont différentes : les droites sont sécantes. $-3x + 4 = 2x - 6 \iff -5x = -10 \iff x = 2$ , puis $y = -3 \times 2 + 4 = -2$ . Vérification : $2 \times 2 - 6 = -2$ ✓. Point d'intersection : $(2\,;\,-2)$ .

Exercice 5 (4 points) — Deux forfaits

Un opérateur propose deux forfaits mensuels pour des données mobiles : forfait A à $20$ € quel que soit l'usage ; forfait B à $5$ € plus $2{,}50$ € par gigaoctet consommé. On note $x$ le nombre de gigaoctets consommés dans le mois.

Donne les équations des droites représentant le coût de chaque forfait. (1 point)
Détermine le point d'intersection de ces deux droites. (1,5 point)
Quel forfait conseiller à quelqu'un qui consomme $4$ Go par mois ? $8$ Go ? (1,5 point)

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A : $y = 20$ (droite horizontale) ; B : $y = 2{,}5x + 5$ .
$2{,}5x + 5 = 20 \iff 2{,}5x = 15 \iff x = 6$ , et $y = 20$ . Point d'intersection $(6\,;\,20)$ : pour $6$ Go, les deux forfaits coûtent $20$ €.
Pour $4$ Go, B coûte $2{,}5 \times 4 + 5 = 15$ € $< 20$ € : conseiller B. Pour $8$ Go, B coûte $25$ € $> 20$ € : conseiller A.