Seconde⏱ 6 séances

Droites du plan : équations et intersections

Ce que tu vas apprendre

Connaître la notion de vecteur directeur d'une droite
Établir, à l'aide du déterminant, la forme générale d'une équation de droite
Déterminer une équation de droite à partir de deux points, d'un point et d'un vecteur directeur, ou d'un point et de la pente
Passer d'une équation cartésienne à l'équation réduite ; interpréter la pente et l'ordonnée à l'origine
Reconnaître deux droites parallèles
Déterminer le point d'intersection de deux droites sécantes données par leur équation réduite

Notions clésvecteur directeuréquation cartésienne ax + by + c = 0équation réduite y = mx + p, droite x = kpente (coefficient directeur), ordonnée à l'originedroites parallèles, droites sécantespoint d'intersection

Ce que tu sais déjà. Une fonction affine $f(x) = ax + b$ est représentée par une droite ; on lit son coefficient directeur et son ordonnée à l’origine (3e — Fonctions affines). Au chapitre précédent, on a vu que deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul (Seconde — Coordonnées). Ces deux idées se rejoignent ici. Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère.

1. Vecteur directeur d’une droite

Définition. Un vecteur directeur d’une droite $d$ est un vecteur non nul $\vec{u}$ qui a la même direction que $d$ : si $A$ et $B$ sont deux points distincts de $d$ , $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $d$ .

Propriétés.

Tout vecteur non nul colinéaire à un vecteur directeur est aussi un vecteur directeur : une droite en a une infinité.
Soit $d$ la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ . Un point $M$ appartient à $d$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires.

La droite d passe par A et a pour vecteur directeur u : M est sur d car AM = 2u ; N n'est pas sur d car AN n'est pas colinéaire à u.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Équation cartésienne d’une droite

Propriété.

Toute droite du plan a une équation de la forme $ax + by + c = 0$ , avec $(a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)$ : c’est une équation cartésienne. Le vecteur $\vec{u}(-b\,;\,a)$ est alors un vecteur directeur.
Réciproquement, pour $(a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)$ , l’ensemble des points $M(x\,;\,y)$ tels que $ax + by + c = 0$ est une droite de vecteur directeur $\vec{u}(-b\,;\,a)$ .

🧠 Démonstration (exigible au programme) — Forme générale d'une équation de droite, avec le déterminant

Soit $d$ la droite passant par $A(x_A\,;\,y_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(\alpha\,;\,\beta)$ , non nul. Pour un point $M(x\,;\,y)$ :

$M \in d \iff \overrightarrow{AM}(x - x_A\,;\,y - y_A)$ et $\vec{u}(\alpha\,;\,\beta)$ sont colinéaires $\iff \det\left(\overrightarrow{AM}, \vec{u}\right) = 0 \iff (x - x_A)\beta - \alpha(y - y_A) = 0$ .

En développant : $\beta x - \alpha y + (\alpha y_A - \beta x_A) = 0$ . En posant $a = \beta$ , $b = -\alpha$ et $c = \alpha y_A - \beta x_A$ , on obtient une équation de la forme $ax + by + c = 0$ , avec $(a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)$ car $\vec{u} \neq \vec{0}$ . On remarque que $\vec{u}(\alpha\,;\,\beta) = (-b\,;\,a)$ .

📋 Méthode — Trouver une équation cartésienne

Repérer un point $A$ de la droite et un vecteur directeur $\vec{u}$ (si l’on connaît deux points $A$ et $B$ , on prend $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ ).
Écrire que $M(x\,;\,y)$ est sur la droite : $\det\left(\overrightarrow{AM}, \vec{u}\right) = 0$ .
Développer et réduire.

Exemple. Droite passant par $A(2\,;\,1)$ et $B(5\,;\,3)$ : $\overrightarrow{AB}(3\,;\,2)$ et $\overrightarrow{AM}(x - 2\,;\,y - 1)$ . $\det = (x - 2) \times 2 - 3(y - 1) = 2x - 3y - 1$ . Une équation cartésienne est $2x - 3y - 1 = 0$ . (Vérification avec $B$ : $10 - 9 - 1 = 0$ . ✓)

Remarque. Une droite a une infinité d’équations cartésiennes : en multipliant par un réel non nul, on en obtient une autre ( $4x - 6y - 2 = 0$ décrit la même droite).

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Équation réduite et pente

Propriété. Soit $d$ une droite d’équation cartésienne $ax + by + c = 0$ .

Si $b \neq 0$ (droite non parallèle à l’axe des ordonnées), on peut isoler $y$ : $d$ a une unique équation de la forme $y = mx + p$ , appelée équation réduite. Le nombre $m$ est la pente (ou coefficient directeur) et $p$ l’ordonnée à l’origine. Le vecteur $(1\,;\,m)$ est un vecteur directeur de $d$ .
Si $b = 0$ , la droite est parallèle à l’axe des ordonnées : elle a une équation de la forme $x = k$ .

Propriété (calcul de la pente). Si $A$ et $B$ sont deux points de $d$ avec $x_A \neq x_B$ :

$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}.$

Sur la droite y = 2x − 1, chaque pas de 1 vers la droite fait monter de 2 : la pente vaut 2. La droite coupe l'axe des ordonnées en (0 ; −1). La droite x = −2 est verticale : elle n'a pas d'équation réduite de la forme y = mx + p.

Exemple (deux points). $A(-1\,;\,4)$ et $B(3\,;\,-4)$ : $m = \dfrac{-4 - 4}{3 - (-1)} = -2$ . Donc $y = -2x + p$ ; comme $A$ est sur la droite, $4 = -2 \times (-1) + p$ , d’où $p = 2$ : $y = -2x + 2$ .

Exemple (point et pente). La droite de pente $3$ passant par $C(2\,;\,5)$ : $y = 3x + p$ avec $5 = 6 + p$ , donc $p = -1$ : $y = 3x - 1$ .

Exemple (cartésienne → réduite). $3x + 2y - 4 = 0 \iff 2y = -3x + 4 \iff y = -1{,}5x + 2$ : pente $-1{,}5$ , ordonnée à l’origine $2$ .

→ S’entraîner : Exercice 3 · Exercice 4

4. Droites parallèles

Propriété. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. En particulier :

deux droites d’équations réduites $y = mx + p$ et $y = m'x + p'$ sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente : $m = m'$ ;
deux droites d’équations $x = k$ et $x = k'$ sont toujours parallèles.

Exemple. $d_1 : y = 2x + 1$ et $d_2 : 4x - 2y + 7 = 0$ , soit $y = 2x + 3{,}5$ : même pente $2$ , donc $d_1 \parallel d_2$ (et elles sont distinctes, car $1 \neq 3{,}5$ ).

Exemple (parallèle passant par un point). La parallèle à $y = -x + 4$ passant par $A(2\,;\,5)$ a pour pente $-1$ : $y = -x + p$ avec $5 = -2 + p$ , donc $y = -x + 7$ .

→ S’entraîner : Exercice 5

5. Point d’intersection de deux droites sécantes

Deux droites non parallèles sont sécantes : elles ont un unique point commun. Si elles sont données par leurs équations réduites $y = mx + p$ et $y = m'x + p'$ (avec $m \neq m'$ ), l’abscisse $x$ de ce point vérifie les deux équations à la fois, donc $mx + p = m'x + p'$ .

📋 Méthode — Coordonnées du point d'intersection

Vérifier que les pentes sont différentes (sinon, les droites sont parallèles).
Résoudre l’équation du premier degré $mx + p = m'x + p'$ : on obtient l’abscisse $x_K$ .
Calculer l’ordonnée avec l’une des deux équations : $y_K = mx_K + p$ .
Vérifier avec l’autre équation.

Les deux droites se coupent en K(3 ; 3) : l'abscisse 3 est la solution de 2x − 3 = −x + 6.

Exemple. $d : y = 2x - 3$ et $d' : y = -x + 6$ . Les pentes $2$ et $-1$ sont différentes : les droites sont sécantes. $2x - 3 = -x + 6 \iff 3x = 9 \iff x = 3$ , puis $y = 2 \times 3 - 3 = 3$ . Vérification : $-3 + 6 = 3$ . ✓ Le point d’intersection est $K(3\,;\,3)$ .

Cas d’une droite verticale. Si l’une des droites a pour équation $x = k$ , l’abscisse du point d’intersection est directement $k$ : par exemple, $y = 0{,}5x + 1$ et $x = 4$ se coupent en $(4\,;\,3)$ .

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7 · Exercice 8