Aller au contenu principal
Seconde

Calcul littéral : développer, factoriser, choisir la forme — Exercices d'application

1. Le statut des lettres et des égalités

↩ Revoir le cours

Exercice 1 — ⭐

  1. Pour chaque égalité, dis s’il s’agit d’une identité ou non. Justifie par un calcul ou par un contre-exemple. a. 2(x−4)=2x−82(x - 4) = 2x - 8 \qquad b. (x−2)2=x2−4(x - 2)^2 = x^2 - 4 \qquad c. x2×x3=x6x^2 \times x^3 = x^6
  2. Dans la formule P=2(L+ℓ)P = 2(L + \ell) du périmètre d’un rectangle, on cherche la largeur ℓ\ell d’un rectangle de longueur L=7L = 7 cm et de périmètre P=20P = 20 cm. Quel est le statut de chaque lettre dans cette situation ?
Voir le corrigé
  1. a. Identité : en développant le membre de gauche, 2(x−4)=2x−82(x - 4) = 2x - 8 pour tout xx. b. Pas une identité : pour x=0x = 0, le membre de gauche vaut 44 et celui de droite −4-4. (En réalité, (x−2)2=x2−4x+4(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4.) c. Pas une identité : pour x=2x = 2, 22×23=322^2 \times 2^3 = 32 alors que 26=642^6 = 64. (On a x2×x3=x5x^2 \times x^3 = x^5.)
  2. LL et PP ont des valeurs connues (ce sont des données) ; ℓ\ell est l’inconnue. Dans la formule générale, les trois lettres sont des variables : ici on fixe deux d’entre elles pour trouver la troisième (20=2(7+ℓ)20 = 2(7 + \ell) donne ℓ=3\ell = 3 cm).

2. Développer et réduire

↩ Revoir le cours

Exercice 2 — ⭐

Développe et réduis :

B=3x(2x−5)−4(x−1)C=(x−2)(3x+1)D=(2x+1)(x−3)−(x+2)(x−5)B = 3x(2x - 5) - 4(x - 1) \qquad C = (x - 2)(3x + 1) \qquad D = (2x + 1)(x - 3) - (x + 2)(x - 5)

Voir le corrigé
  • B=6x2−15x−4x+4=6x2−19x+4B = 6x^2 - 15x - 4x + 4 = 6x^2 - 19x + 4.
  • C=3x2+x−6x−2=3x2−5x−2C = 3x^2 + x - 6x - 2 = 3x^2 - 5x - 2.
  • (2x+1)(x−3)=2x2−6x+x−3=2x2−5x−3(2x + 1)(x - 3) = 2x^2 - 6x + x - 3 = 2x^2 - 5x - 3 et (x+2)(x−5)=x2−5x+2x−10=x2−3x−10(x + 2)(x - 5) = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10. Donc D=2x2−5x−3−(x2−3x−10)=2x2−5x−3−x2+3x+10=x2−2x+7D = 2x^2 - 5x - 3 - (x^2 - 3x - 10) = 2x^2 - 5x - 3 - x^2 + 3x + 10 = x^2 - 2x + 7.

3. Les identités remarquables

↩ Revoir le cours

Exercice 3 — ⭐⭐

  1. Développe à l’aide des identités remarquables : (2x−5)2(2x - 5)^2 ;   (3x+1)2\;(3x + 1)^2 ;   (x−4)(x+4)\;(x - 4)(x + 4) ;   (x2+3)2\;\left(\dfrac{x}{2} + 3\right)^2.
  2. Sans calculatrice. Calcule 1022102^2,   982\;98^2 et   51×49\;51 \times 49.
Voir le corrigé
    • (2x−5)2=4x2−20x+25(2x - 5)^2 = 4x^2 - 20x + 25.
    • (3x+1)2=9x2+6x+1(3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1.
    • (x−4)(x+4)=x2−16(x - 4)(x + 4) = x^2 - 16.
    • (x2+3)2=x24+2×x2×3+9=x24+3x+9\left(\dfrac{x}{2} + 3\right)^2 = \dfrac{x^2}{4} + 2 \times \dfrac{x}{2} \times 3 + 9 = \dfrac{x^2}{4} + 3x + 9.
    • 1022=(100+2)2=10 000+400+4=10 404102^2 = (100 + 2)^2 = 10\,000 + 400 + 4 = 10\,404.
    • 982=(100−2)2=10 000−400+4=9 60498^2 = (100 - 2)^2 = 10\,000 - 400 + 4 = 9\,604.
    • 51×49=(50+1)(50−1)=2 500−1=2 49951 \times 49 = (50 + 1)(50 - 1) = 2\,500 - 1 = 2\,499.

4. Factoriser

↩ Revoir le cours

Exercice 4 — ⭐⭐

Factorise à l’aide d’un facteur commun :

E=6x2−15xF=(2x+1)(x−3)+(2x+1)(4x+5)G=(x+2)2−3(x+2)E = 6x^2 - 15x \qquad F = (2x + 1)(x - 3) + (2x + 1)(4x + 5) \qquad G = (x + 2)^2 - 3(x + 2)

Voir le corrigé
  • E=3x×2x−3x×5=3x(2x−5)E = 3x \times 2x - 3x \times 5 = 3x(2x - 5).
  • Facteur commun (2x+1)(2x + 1) : F=(2x+1)[(x−3)+(4x+5)]=(2x+1)(5x+2)F = (2x + 1)\big[(x - 3) + (4x + 5)\big] = (2x + 1)(5x + 2).
  • Facteur commun (x+2)(x + 2) : G=(x+2)[(x+2)−3]=(x+2)(x−1)G = (x + 2)\big[(x + 2) - 3\big] = (x + 2)(x - 1).

Exercice 5 — ⭐⭐

Factorise à l’aide d’une identité remarquable :

H=x2−49I=9x2−30x+25J=(x+1)2−16K=25−(2x−1)2H = x^2 - 49 \qquad I = 9x^2 - 30x + 25 \qquad J = (x + 1)^2 - 16 \qquad K = 25 - (2x - 1)^2

Voir le corrigé
  • H=x2−72=(x−7)(x+7)H = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7).
  • I=(3x)2−2×3x×5+52=(3x−5)2I = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 5 + 5^2 = (3x - 5)^2.
  • J=(x+1)2−42=(x+1−4)(x+1+4)=(x−3)(x+5)J = (x + 1)^2 - 4^2 = (x + 1 - 4)(x + 1 + 4) = (x - 3)(x + 5).
  • K=52−(2x−1)2=[5−(2x−1)][5+(2x−1)]=(6−2x)(2x+4)K = 5^2 - (2x - 1)^2 = \big[5 - (2x - 1)\big]\big[5 + (2x - 1)\big] = (6 - 2x)(2x + 4). On peut encore factoriser par 22 dans chaque parenthèse : K=4(3−x)(x+2)K = 4(3 - x)(x + 2).

5. Choisir la forme adaptée

↩ Revoir le cours

Exercice 6 — ⭐⭐⭐

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(2x−1)2−9f(x) = (2x - 1)^2 - 9.

  1. Montre que f(x)=4x2−4x−8f(x) = 4x^2 - 4x - 8 (forme développée).
  2. Montre que f(x)=4(x−2)(x+1)f(x) = 4(x - 2)(x + 1) (forme factorisée).
  3. En choisissant à chaque fois la forme la plus adaptée, réponds aux questions : a. Calcule f(0)f(0) et f(12)f\left(\dfrac{1}{2}\right). b. Résous f(x)=0f(x) = 0. c. Résous f(x)=−9f(x) = -9. d. Résous f(x)=−8f(x) = -8.
Voir le corrigé
  1. (2x−1)2−9=4x2−4x+1−9=4x2−4x−8(2x - 1)^2 - 9 = 4x^2 - 4x + 1 - 9 = 4x^2 - 4x - 8.
  2. (2x−1)2−32=(2x−1−3)(2x−1+3)=(2x−4)(2x+2)=2(x−2)×2(x+1)=4(x−2)(x+1)(2x - 1)^2 - 3^2 = (2x - 1 - 3)(2x - 1 + 3) = (2x - 4)(2x + 2) = 2(x - 2) \times 2(x + 1) = 4(x - 2)(x + 1).
  3. a. Forme développée : f(0)=−8f(0) = -8. Forme donnée : f(12)=02−9=−9f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0^2 - 9 = -9. b. Forme factorisée : 4(x−2)(x+1)=04(x - 2)(x + 1) = 0. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : x=2x = 2 ou x=−1x = -1. c. Forme donnée : (2x−1)2−9=−9  ⟺  (2x−1)2=0  ⟺  2x−1=0  ⟺  x=12(2x - 1)^2 - 9 = -9 \iff (2x - 1)^2 = 0 \iff 2x - 1 = 0 \iff x = \dfrac{1}{2}. d. Forme développée : 4x2−4x−8=−8  ⟺  4x2−4x=0  ⟺  4x(x−1)=04x^2 - 4x - 8 = -8 \iff 4x^2 - 4x = 0 \iff 4x(x - 1) = 0, donc x=0x = 0 ou x=1x = 1.

6. Démontrer avec le calcul littéral

↩ Revoir le cours

Exercice 7 — ⭐⭐⭐

  1. Calcule 1×2×3×4+11 \times 2 \times 3 \times 4 + 1, puis 2×3×4×5+12 \times 3 \times 4 \times 5 + 1 et 3×4×5×6+13 \times 4 \times 5 \times 6 + 1. Que remarques-tu ?
  2. Développe (n2+3n+1)2(n^2 + 3n + 1)^2 et n(n+1)(n+2)(n+3)n(n + 1)(n + 2)(n + 3).
  3. Démontre que le produit de quatre entiers consécutifs, augmenté de 11, est toujours un carré parfait.
Voir le corrigé
  1. 24+1=25=5224 + 1 = 25 = 5^2 ; 120+1=121=112120 + 1 = 121 = 11^2 ; 360+1=361=192360 + 1 = 361 = 19^2. On obtient à chaque fois un carré parfait.
  2. (n2+3n+1)2=n4+9n2+1+2×n2×3n+2×n2×1+2×3n×1=n4+6n3+11n2+6n+1(n^2 + 3n + 1)^2 = n^4 + 9n^2 + 1 + 2 \times n^2 \times 3n + 2 \times n^2 \times 1 + 2 \times 3n \times 1 = n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n + 1. Et n(n+3)=n2+3nn(n + 3) = n^2 + 3n, (n+1)(n+2)=n2+3n+2(n + 1)(n + 2) = n^2 + 3n + 2, donc n(n+1)(n+2)(n+3)=(n2+3n)(n2+3n+2)=n4+3n3+2n2+3n3+9n2+6n=n4+6n3+11n2+6nn(n + 1)(n + 2)(n + 3) = (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) = n^4 + 3n^3 + 2n^2 + 3n^3 + 9n^2 + 6n = n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n.
  3. D’après la question 2, n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n4+6n3+11n2+6n+1=(n2+3n+1)2n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n + 1 = (n^2 + 3n + 1)^2. Si nn est un entier, n2+3n+1n^2 + 3n + 1 est un entier : le résultat est bien le carré d’un entier. (Vérification : pour n=3n = 3, n2+3n+1=19n^2 + 3n + 1 = 19.)

Exercice 8 — ⭐⭐

On reprend la fonction teste_egalite du cours.

  1. Modifie les fonctions f et g pour tester l’égalité (x+3)2=x2+6x+9(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9. Que doit afficher le programme ?
  2. Karim teste l’égalité x3=xx^3 = x avec un programme qui essaie seulement x=−1x = -1, x=0x = 0 et x=1x = 1. Il ne trouve aucun contre-exemple et conclut que c’est une identité. Qu’en penses-tu ?
  3. Pourquoi le programme ne peut-il pas démontrer qu’une égalité est une identité ?
Voir le corrigé
  1. On écrit return (x + 3) ** 2 pour f et return x ** 2 + 6 * x + 9 pour g. Comme c’est une identité, aucune valeur ne donne de différence : le programme affiche aucun contre-exemple trouvé.
  2. Karim a tort : pour x=2x = 2, x3=8x^3 = 8 alors que x=2x = 2. L’égalité n’est vraie que pour quelques valeurs (−1-1, 00 et 11) : c’est une équation, pas une identité. Il a eu la malchance de ne tester que ses solutions.
  3. Le programme ne teste qu’un nombre fini de valeurs (ici 2121 entiers), alors qu’une identité doit être vraie pour tous les réels. Seul un calcul littéral (développer, factoriser) permet de conclure.