Calcul littéral : développer, factoriser, choisir la forme

Ce que tu sais déjà. La distributivité simple et le signe moins devant une parenthèse (4e — Calcul littéral), la double distributivité et l’équation produit nul (3e — Double distributivité), les trois identités remarquables et leur illustration par des aires (3e — Identités remarquables). En Seconde, l’objectif est de maîtriser ces outils et surtout de savoir lequel choisir selon ce qu’on cherche.

1. Le statut des lettres et des égalités

Une même lettre peut jouer des rôles différents :

• une variable : elle peut prendre toutes les valeurs d’un ensemble (dans $f(x) = 2x + 1$, $x$ varie) ;
• une inconnue : on cherche la ou les valeurs qui vérifient une condition (dans l’équation $2x + 1 = 7$, $x$ est l’inconnue) ;
• un paramètre : un nombre fixé mais non précisé, dont on étudie l’influence (dans $y = mx$, $m$ est un paramètre : chaque valeur de $m$ donne une droite différente).

Définitions. Une égalité entre deux expressions contenant une lettre $x$ est :

• une identité si elle est vraie pour toutes les valeurs de $x$ : $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$ ;
• une équation si l’on cherche pour quelles valeurs de $x$ elle est vraie : $(x + 1)^2 = 9$ n’est vraie que pour $x = 2$ et $x = -4$.

Exemple. « $(x + 3)^2 = x^2 + 9$ » n’est pas une identité : pour $x = 1$, le membre de gauche vaut $16$ et celui de droite $10$. C’est l’erreur la plus fréquente en calcul littéral : on oublie le « double produit » $6x$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Développer et réduire

Développer un produit, c’est l’écrire comme une somme ; réduire, c’est regrouper les termes semblables.

Propriétés (distributivité). Pour tous réels $k$, $a$, $b$, $c$, $d$ :

$$k(a + b) = ka + kb \qquad\qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$$

Exemple. $A = (2x - 3)(x + 4) - 2(x^2 - 1)$ $= 2x^2 + 8x - 3x - 12 - 2x^2 + 2 = 5x - 10$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Les identités remarquables

Propriétés. Pour tous réels $a$ et $b$ :

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \qquad (a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$

Elles se démontrent en développant (double distributivité) — voir le chapitre de 3e, qui en donne aussi une illustration par des aires. Il faut savoir les utiliser dans les deux sens : de gauche à droite pour développer, de droite à gauche pour factoriser (section 4).

Exemple (développer). $(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$. Attention : $(3x)^2 = 9x^2$, et non $3x^2$.

Exemple (calcul mental). $103^2 = (100 + 3)^2 = 10\,000 + 600 + 9 = 10\,609$ ; $\;47 \times 53 = (50 - 3)(50 + 3) = 2\,500 - 9 = 2\,491$.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Factoriser

Factoriser une somme, c’est l’écrire comme un produit.

Avec un facteur commun. On utilise $ka + kb = k(a + b)$ « à l’envers ». Le facteur commun peut être un nombre, une lettre, ou toute une expression entre parenthèses.

Exemples. $4x^2 + 6x = 2x(2x + 3)$ (forme $ax^2 + bx$ : on met $x$, et même $2x$, en facteur). $(x + 5)(2x - 1) - (x + 5)(x + 4) = (x + 5)\big[(2x - 1) - (x + 4)\big] = (x + 5)(x - 5)$.

Avec une identité remarquable. On reconnaît $a^2 - b^2$, $a^2 + 2ab + b^2$ ou $a^2 - 2ab + b^2$.

Exemples. $x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x - 5)(x + 5)$. $\;x^2 + 10x + 25 = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2 = (x + 5)^2$. $\;(x - 1)^2 - 9 = (x - 1)^2 - 3^2 = (x - 1 - 3)(x - 1 + 3) = (x - 4)(x + 2)$.

→ S’entraîner : Exercice 4 · Exercice 5

5. Choisir la forme adaptée

Une même expression peut s’écrire sous plusieurs formes égales. Chacune est utile pour une tâche différente : il faut apprendre à choisir la bonne.

Exemple. Soit $f(x) = (x - 3)^2 - 16$.

• Forme développée : $f(x) = x^2 - 6x + 9 - 16 = x^2 - 6x - 7$.
• Forme factorisée : $f(x) = (x - 3 - 4)(x - 3 + 4) = (x - 7)(x + 1)$.

• Pour calculer $f(0)$ : la forme développée donne directement $-7$.
• Pour résoudre $f(x) = 0$ : la forme factorisée donne une équation produit nul, $(x - 7)(x + 1) = 0$, donc $x = 7$ ou $x = -1$.
• Pour résoudre $f(x) = -16$ : la forme donnée conduit à $(x - 3)^2 = 0$, donc $x = 3$.

Règle pratique. Pour résoudre une équation « $= 0$ », on cherche une forme factorisée ; pour calculer une image ou comparer à une expression développée, on préfère la forme développée.

→ S’entraîner : Exercice 6

6. Démontrer avec le calcul littéral

Le calcul littéral permet de démontrer qu’une propriété est vraie pour tous les nombres, là où des essais ne font que la rendre plausible.

Exemple (programme de calcul). « Choisir un nombre, lui ajouter $3$, élever au carré, puis soustraire le carré du nombre de départ et soustraire $9$. » On teste : avec $2$, on obtient $25 - 4 - 9 = 12$ ; avec $5$ : $64 - 25 - 9 = 30$. Conjecture : le résultat est toujours six fois le nombre de départ. Preuve : en notant $x$ le nombre de départ, $(x + 3)^2 - x^2 - 9 = x^2 + 6x + 9 - x^2 - 9 = 6x$.

Tester n’est pas démontrer. Un programme peut chercher un contre-exemple parmi de nombreuses valeurs. S’il en trouve un, l’égalité est fausse ; s’il n’en trouve pas, elle est seulement plausible :

def f(x):
    return (x + 3) ** 2

def g(x):
    return x ** 2 + 9

def teste_egalite():
    for x in range(-10, 11):
        if f(x) != g(x):
            return x
    return "aucun contre-exemple trouvé"

print(teste_egalite())   # affiche -10 : l'égalité est fausse pour x = -10

→ S’entraîner : Exercice 7 · Exercice 8