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Seconde⏱ 50 minutes

Calcul littéral : développer, factoriser, choisir la forme — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Exercice 1 (4 points) — Développer

Développe et réduis :

  1. L=(3x−2)(x+5)L = (3x - 2)(x + 5) (1 point)
  2. M=(4x−3)2M = (4x - 3)^2 (1 point)
  3. N=(x+6)(x−6)−(x−1)2N = (x + 6)(x - 6) - (x - 1)^2 (2 points)
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  1. L=3x2+15x−2x−10=3x2+13x−10L = 3x^2 + 15x - 2x - 10 = 3x^2 + 13x - 10.
  2. M=(4x)2−2×4x×3+32=16x2−24x+9M = (4x)^2 - 2 \times 4x \times 3 + 3^2 = 16x^2 - 24x + 9.
  3. (x+6)(x−6)=x2−36(x + 6)(x - 6) = x^2 - 36 et (x−1)2=x2−2x+1(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1. Donc N=x2−36−(x2−2x+1)=x2−36−x2+2x−1=2x−37N = x^2 - 36 - (x^2 - 2x + 1) = x^2 - 36 - x^2 + 2x - 1 = 2x - 37.

Exercice 2 (4 points) — Factoriser

Factorise :

  1. P=10x2+25xP = 10x^2 + 25x (1 point)
  2. Q=(x−2)(3x+1)−(x−2)(x+4)Q = (x - 2)(3x + 1) - (x - 2)(x + 4) (1 point)
  3. R=16x2−9R = 16x^2 - 9 (1 point)
  4. S=x2−14x+49S = x^2 - 14x + 49 (1 point)
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  1. P=5x×2x+5x×5=5x(2x+5)P = 5x \times 2x + 5x \times 5 = 5x(2x + 5).
  2. Facteur commun (x−2)(x - 2) : Q=(x−2)[(3x+1)−(x+4)]=(x−2)(2x−3)Q = (x - 2)\big[(3x + 1) - (x + 4)\big] = (x - 2)(2x - 3).
  3. R=(4x)2−32=(4x−3)(4x+3)R = (4x)^2 - 3^2 = (4x - 3)(4x + 3).
  4. S=x2−2×x×7+72=(x−7)2S = x^2 - 2 \times x \times 7 + 7^2 = (x - 7)^2.

Exercice 3 (4 points) — Choisir la bonne forme

Soit gg la fonction définie sur R\mathbb{R} par g(x)=(x+1)2−25g(x) = (x + 1)^2 - 25.

  1. Donne la forme développée de g(x)g(x), puis sa forme factorisée. (2 points)
  2. En choisissant la forme adaptée : calcule g(0)g(0) ; résous g(x)=0g(x) = 0 ; résous g(x)=−25g(x) = -25. (2 points)
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  1. Forme développée : g(x)=x2+2x+1−25=x2+2x−24g(x) = x^2 + 2x + 1 - 25 = x^2 + 2x - 24. Forme factorisée : g(x)=(x+1)2−52=(x+1−5)(x+1+5)=(x−4)(x+6)g(x) = (x + 1)^2 - 5^2 = (x + 1 - 5)(x + 1 + 5) = (x - 4)(x + 6).
    • Forme développée : g(0)=−24g(0) = -24.
    • Forme factorisée : (x−4)(x+6)=0  ⟺  x=4(x - 4)(x + 6) = 0 \iff x = 4 ou x=−6x = -6.
    • Forme donnée : (x+1)2−25=−25  ⟺  (x+1)2=0  ⟺  x=−1(x + 1)^2 - 25 = -25 \iff (x + 1)^2 = 0 \iff x = -1.

Exercice 4 (4 points) — Identité ou pas ?

  1. L'égalité (x+5)2=x2+25(x + 5)^2 = x^2 + 25 est-elle une identité ? Justifie. (1 point)
  2. Montre que l'égalité (x−3)(x+3)+9=x2(x - 3)(x + 3) + 9 = x^2 est une identité. (1 point)
  3. Calcule mentalement, en justifiant par une identité : 2012201^2 et 199×201199 \times 201. (2 points)
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  1. Non : pour x=1x = 1, (1+5)2=36(1 + 5)^2 = 36 alors que 12+25=261^2 + 25 = 26.
  2. (x−3)(x+3)+9=x2−9+9=x2(x - 3)(x + 3) + 9 = x^2 - 9 + 9 = x^2 pour tout réel xx : c'est une identité.
  3. 2012=(200+1)2=40 000+400+1=40 401201^2 = (200 + 1)^2 = 40\,000 + 400 + 1 = 40\,401. 199×201=(200−1)(200+1)=40 000−1=39 999199 \times 201 = (200 - 1)(200 + 1) = 40\,000 - 1 = 39\,999.

Exercice 5 (4 points) — Un programme de calcul

On considère le programme : « Choisir un nombre. Calculer le carré du nombre qui le suit. Soustraire le carré du nombre qui le précède. »

  1. Applique ce programme à 33, puis à 1010. (1 point)
  2. Émets une conjecture sur le résultat. (0,5 point)
  3. Démontre cette conjecture. (1,5 point)
  4. En déduire, sans calculatrice, la valeur de 1 0012−99921\,001^2 - 999^2. (1 point)
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  1. Avec 33 : 42−22=16−4=124^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12. Avec 1010 : 112−92=121−81=4011^2 - 9^2 = 121 - 81 = 40.
  2. Conjecture : le résultat est égal à quatre fois le nombre de départ.
  3. En notant xx le nombre choisi, le programme donne (x+1)2−(x−1)2=(x2+2x+1)−(x2−2x+1)=4x(x + 1)^2 - (x - 1)^2 = (x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1) = 4x. La conjecture est démontrée pour tout nombre xx.
  4. Avec x=1 000x = 1\,000 : 1 0012−9992=4×1 000=4 0001\,001^2 - 999^2 = 4 \times 1\,000 = 4\,000.