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Première

Dérivation et variations : extremums, parité, courbes — Exercices d'application

1. Signe de la dérivée et sens de variation

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Exercice 1 — ⭐

  1. ff est dérivable sur R\mathbb{R} avec f′(x)=−2x+6f'(x) = -2x + 6. Donne le sens de variation de ff.
  2. gg est dérivable sur R\mathbb{R} avec g′(x)=x2+1g'(x) = x^2 + 1. Donne le sens de variation de gg.
  3. Vrai ou faux : « h(x)=−1xh(x) = -\dfrac{1}{x} a une dérivée strictement positive, donc hh est croissante sur R∗\mathbb{R}^* » ?
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  1. −2x+6⩾0  ⟺  x⩽3-2x + 6 \geqslant 0 \iff x \leqslant 3 : ff est croissante sur ]−∞ ; 3]]-\infty\,;\,3] et décroissante sur [3 ; +∞[[3\,;\,+\infty[.
  2. g′(x)=x2+1>0g'(x) = x^2 + 1 > 0 pour tout xx : gg est strictement croissante sur R\mathbb{R}.
  3. Faux. h′(x)=1x2>0h'(x) = \dfrac{1}{x^2} > 0, mais R∗\mathbb{R}^* n’est pas un intervalle : h(−1)=1>h(1)=−1h(-1) = 1 > h(1) = -1 alors que −1<1-1 < 1. hh est croissante sur ]−∞ ; 0[]-\infty\,;\,0[ et sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ séparément.

2. Dresser un tableau de variations

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Exercice 2 — ⭐⭐

Soit f(x)=2x3−3x2−12x+1f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 sur R\mathbb{R}.

  1. Montre que f′(x)=6(x−2)(x+1)f'(x) = 6(x - 2)(x + 1).
  2. Dresse le tableau de variations de ff (avec les valeurs en −1-1 et 22).
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  1. f′(x)=6x2−6x−12=6(x2−x−2)f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2), et (x−2)(x+1)=x2−x−2(x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2. ✓

  2. f′f' est un trinôme de racines −1-1 et 22, de coefficient 6>06 > 0 : positif sur ]−∞ ; −1[]-\infty\,;\,-1[ et ]2 ; +∞[]2\,;\,+\infty[, négatif sur ]−1 ; 2[]-1\,;\,2[. f(−1)=−2−3+12+1=8f(-1) = -2 - 3 + 12 + 1 = 8 et f(2)=16−12−24+1=−19f(2) = 16 - 12 - 24 + 1 = -19.

    xx−∞-\infty−1-122+∞+\infty
    f′(x)f'(x)++00−-00++
    ff↗88↘−19-19↗

Exercice 3 — ⭐⭐⭐

  1. Soit f(x)=x2+4xf(x) = \dfrac{x^2 + 4}{x} sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[. Étudie les variations de ff et donne son minimum.
  2. Soit g(x)=xx2+1g(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1} sur R\mathbb{R}. Étudie ses variations ; donne son maximum et son minimum.
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  1. f(x)=x+4xf(x) = x + \dfrac4x, donc f′(x)=1−4x2=x2−4x2=(x−2)(x+2)x2f'(x) = 1 - \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{x^2 - 4}{x^2} = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x^2}. Sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[, x+2>0x + 2 > 0 et x2>0x^2 > 0 : f′(x)f'(x) a le signe de x−2x - 2. ff est décroissante sur ]0 ; 2]]0\,;\,2], croissante sur [2 ; +∞[[2\,;\,+\infty[ ; minimum f(2)=4f(2) = 4.
  2. g′(x)=(x2+1)−2x2(x2+1)2=1−x2(x2+1)2g'(x) = \dfrac{(x^2 + 1) - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}, du signe de 1−x21 - x^2 : négatif sur ]−∞ ; −1[]-\infty\,;\,-1[, positif sur ]−1 ; 1[]-1\,;\,1[, négatif sur ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[. gg décroît, croît, puis décroît. g(−1)=−12g(-1) = -\dfrac12 et g(1)=12g(1) = \dfrac12. De plus g(x)⩽12  ⟺  2x⩽x2+1  ⟺  (x−1)2⩾0g(x) \leqslant \dfrac12 \iff 2x \leqslant x^2 + 1 \iff (x - 1)^2 \geqslant 0 (toujours vrai) : 12\dfrac12 est le maximum sur R\mathbb{R} ; de même −12-\dfrac12 est le minimum.

3. Extremums

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Exercice 4 — ⭐⭐⭐

Soit f(x)=x4−4x3f(x) = x^4 - 4x^3 sur R\mathbb{R}.

  1. Montre que f′(x)=4x2(x−3)f'(x) = 4x^2(x - 3).
  2. Calcule f′(0)f'(0). La fonction ff admet-elle un extremum en 00 ?
  3. Dresse le tableau de variations de ff et donne son minimum.
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  1. f′(x)=4x3−12x2=4x2(x−3)f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3).
  2. f′(0)=0f'(0) = 0. Mais 4x2⩾04x^2 \geqslant 0, donc f′(x)f'(x) a le signe de x−3x - 3 (pour x≠0x \neq 0) : f′f' est négative de part et d’autre de 00. Elle ne change pas de signe en 00 : pas d’extremum en 00 (seulement une tangente horizontale).
  3. f′(x)⩽0f'(x) \leqslant 0 sur ]−∞ ; 3]]-\infty\,;\,3] et f′(x)⩾0f'(x) \geqslant 0 sur [3 ; +∞[[3\,;\,+\infty[ : ff est décroissante puis croissante. Minimum : f(3)=81−108=−27f(3) = 81 - 108 = -27.

4. Parité d’une fonction

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Exercice 5 — ⭐⭐

Étudie la parité de chaque fonction.

  1. f1(x)=x4−3x2f_1(x) = x^4 - 3x^2 sur R\mathbb{R}
  2. f2(x)=x3−5xf_2(x) = x^3 - 5x sur R\mathbb{R}
  3. f3(x)=(x+1)2f_3(x) = (x + 1)^2 sur R\mathbb{R}
  4. f4(x)=2xx2+1f_4(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1} sur R\mathbb{R}
  5. f5(x)=xf_5(x) = \sqrt x sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[
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  1. f1(−x)=(−x)4−3(−x)2=x4−3x2=f1(x)f_1(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 = x^4 - 3x^2 = f_1(x) : paire.
  2. f2(−x)=−x3+5x=−(x3−5x)=−f2(x)f_2(-x) = -x^3 + 5x = -(x^3 - 5x) = -f_2(x) : impaire.
  3. f3(1)=4f_3(1) = 4 et f3(−1)=0f_3(-1) = 0 : f3(−1)≠f3(1)f_3(-1) \neq f_3(1) et f3(−1)≠−f3(1)f_3(-1) \neq -f_3(1) : ni paire ni impaire.
  4. f4(−x)=−2xx2+1=−f4(x)f_4(-x) = \dfrac{-2x}{x^2 + 1} = -f_4(x) : impaire.
  5. L’ensemble de définition [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[ n’est pas symétrique par rapport à 00 (11 y est, −1-1 non) : la question de la parité ne se pose pas — elle n’est ni paire ni impaire.

5. Inégalités, positions relatives, optimisation

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Exercice 6 — ⭐⭐⭐

  1. Démontre que, pour tout réel x>0x > 0, x+1x⩾2x + \dfrac1x \geqslant 2.
  2. Étudie la position relative des courbes de f(x)=x3f(x) = x^3 et g(x)=x2g(x) = x^2 sur R\mathbb{R}.
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  1. Soit d(x)=x+1x−2d(x) = x + \dfrac1x - 2 sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[. d′(x)=1−1x2=(x−1)(x+1)x2d'(x) = 1 - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x^2}, du signe de x−1x - 1 (car x>0x > 0). dd est décroissante sur ]0 ; 1]]0\,;\,1] et croissante sur [1 ; +∞[[1\,;\,+\infty[ : son minimum est d(1)=0d(1) = 0. Donc d(x)⩾0d(x) \geqslant 0, c’est-à-dire x+1x⩾2x + \dfrac1x \geqslant 2.
  2. f(x)−g(x)=x3−x2=x2(x−1)f(x) - g(x) = x^3 - x^2 = x^2(x - 1), du signe de x−1x - 1 pour x≠0x \neq 0. La courbe de x3x^3 est au-dessus de celle de x2x^2 pour x>1x > 1, en dessous pour x<1x < 1 (sauf en 00), et elles se rencontrent en (0 ; 0)(0\,;\,0) et (1 ; 1)(1\,;\,1).

Exercice 7 — ⭐⭐⭐⭐

Une entreprise fabrique xx centaines de pièces par jour, avec x∈[0 ; 15]x \in [0\,;\,15]. Son bénéfice journalier, en euros, est B(x)=−x3+12x2+60x−100B(x) = -x^3 + 12x^2 + 60x - 100.

  1. Calcule B′(x)B'(x) et montre que B′(x)=−3(x−10)(x+2)B'(x) = -3(x - 10)(x + 2).
  2. Dresse le tableau de variations de BB sur [0 ; 15][0\,;\,15].
  3. Combien de pièces faut-il produire pour que le bénéfice soit maximal ? Quel est ce bénéfice ?
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  1. B′(x)=−3x2+24x+60=−3(x2−8x−20)B'(x) = -3x^2 + 24x + 60 = -3(x^2 - 8x - 20), et (x−10)(x+2)=x2−8x−20(x - 10)(x + 2) = x^2 - 8x - 20. ✓
  2. Sur [0 ; 15][0\,;\,15], x+2>0x + 2 > 0 et −3<0-3 < 0 : B′(x)B'(x) a le signe de −(x−10)-(x - 10), positif sur [0 ; 10[[0\,;\,10[ et négatif sur ]10 ; 15]]10\,;\,15]. B(0)=−100B(0) = -100, B(10)=−1 000+1 200+600−100=700B(10) = -1\,000 + 1\,200 + 600 - 100 = 700, B(15)=125B(15) = 125. BB croît de −100-100 à 700700 puis décroît jusqu’à 125125.
  3. Le bénéfice est maximal pour x=10x = 10, soit 1 0001\,000 pièces par jour ; il vaut alors 700700 €.

6. Algorithme de Newton

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Exercice 8 — ⭐⭐⭐⭐

On cherche une valeur approchée de 23\sqrt[3]{2}, l’unique solution de x3−2=0x^3 - 2 = 0.

  1. On pose f(x)=x3−2f(x) = x^3 - 2. Montre que la formule de Newton s’écrit xn+1=xn−xn3−23xn2x_{n+1} = x_n - \dfrac{x_n^3 - 2}{3x_n^2}.
  2. En partant de x0=1x_0 = 1, calcule x1x_1 et x2x_2 sous forme de fractions.
  3. Écris une fonction Python newton_cube(x, n) qui applique nn étapes de la méthode à partir de x.
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  1. f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2, donc xn+1=xn−f(xn)f′(xn)=xn−xn3−23xn2x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \dfrac{x_n^3 - 2}{3x_n^2}.
  2. x1=1−1−23=43x_1 = 1 - \dfrac{1 - 2}{3} = \dfrac43. x2=43−6427−23×169=43−1027163=43−10144=9672−572=9172≈1,264x_2 = \dfrac43 - \dfrac{\frac{64}{27} - 2}{3 \times \frac{16}{9}} = \dfrac43 - \dfrac{\frac{10}{27}}{\frac{16}{3}} = \dfrac43 - \dfrac{10}{144} = \dfrac{96}{72} - \dfrac{5}{72} = \dfrac{91}{72} \approx 1{,}264. (Pour comparaison, 23≈1,259 9\sqrt[3]{2} \approx 1{,}259\,9.)
  3. def newton_cube(x, n):
    for i in range(n):
        x = x - (x**3 - 2) / (3 * x**2)
    return x
    newton_cube(1, 5) renvoie 1.2599210498948732.