Première⏱ 1 heure

Dérivation et variations : extremums, parité, courbes — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

Dérive $x \mapsto x^3 - x$ .
Quel est le signe de $-3(x - 1)(x + 2)$ pour $x \in \,]-2\,;\,1[$ ?
La fonction $x \mapsto x^2 + 1$ est-elle paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre ?
Dérive $x \mapsto \dfrac1x$ .
Résous $3x^2 = 12$ .
Calcule $1{,}2 \times 0{,}5$ .
$f$ est dérivable et $f'(2) = 0$ . Peut-on affirmer que $f$ admet un extremum en $2$ ?
$f$ est impaire et $f(2) = 5$ . Que vaut $f(-2)$ ?

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$3x^2 - 1$ .
Positif (trinôme de coefficient $-3 < 0$ , positif entre ses racines $-2$ et $1$ ).
Paire.
$-\dfrac{1}{x^2}$ .
$x = 2$ ou $x = -2$ .
$0{,}6$ .
Non : il faut en plus que $f'$ change de signe en $2$ (contre-exemple : $x \mapsto (x - 2)^3$ ).
$f(-2) = -f(2) = -5$ .

Exercice 2 (6 points) — Étude d'une fonction polynôme

Soit $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$ sur $[0\,;\,5]$ .

Calcule $f'(x)$ et montre que $f'(x) = 3(x - 1)(x - 3)$ . (1,5 point)
Étudie le signe de $f'(x)$ et dresse le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\,5]$ . (2,5 points)
Donne le maximum et le minimum de $f$ sur $[0\,;\,5]$ , et les valeurs de $x$ où ils sont atteints. (1 point)
Donne une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $0$ . (1 point)

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$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3)$ et $(x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3$ . ✓
$f'$ est un trinôme de racines $1$ et $3$ , de coefficient $3 > 0$ : positif sur $[0\,;\,1[$ et $]3\,;\,5]$ , négatif sur $]1\,;\,3[$ . $f(0) = -1$ , $f(1) = 1 - 6 + 9 - 1 = 3$ , $f(3) = 27 - 54 + 27 - 1 = -1$ , $f(5) = 125 - 150 + 45 - 1 = 19$ .

$x$ $0$ $1$ $3$ $5$
$f'(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
$f$ $-1$ ↗ $3$ ↘ $-1$ ↗ $19$
Maximum $19$ , atteint en $x = 5$ ; minimum $-1$ , atteint en $x = 0$ et en $x = 3$ .
$f(0) = -1$ et $f'(0) = 9$ : $y = 9x - 1$ .

$x$	$0$		$1$		$3$		$5$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	$-1$	↗	$3$	↘	$-1$	↗	$19$

Exercice 3 (4 points) — Étude d'un quotient

Soit $g(x) = \dfrac{2x - 1}{x^2 + 2}$ sur $\mathbb{R}$ .

Montre que $g'(x) = \dfrac{-2(x - 2)(x + 1)}{(x^2 + 2)^2}$ . (2 points)
Dresse le tableau de variations de $g$ et donne ses extremums locaux. (2 points)

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$u = 2x - 1$ , $u' = 2$ ; $v = x^2 + 2$ , $v' = 2x$ . $g'(x) = \dfrac{2(x^2 + 2) - (2x - 1) \times 2x}{(x^2 + 2)^2} = \dfrac{2x^2 + 4 - 4x^2 + 2x}{(x^2 + 2)^2} = \dfrac{-2x^2 + 2x + 4}{(x^2 + 2)^2}$ , et $-2(x - 2)(x + 1) = -2(x^2 - x - 2) = -2x^2 + 2x + 4$ . ✓
Le dénominateur est strictement positif : $g'(x)$ a le signe de $-2(x - 2)(x + 1)$ , négatif à l'extérieur de $[-1\,;\,2]$ et positif entre $-1$ et $2$ . $g$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,-1]$ , croissante sur $[-1\,;\,2]$ , décroissante sur $[2\,;\,+\infty[$ . Minimum local $g(-1) = \dfrac{-3}{3} = -1$ ; maximum local $g(2) = \dfrac{3}{6} = \dfrac12$ .

Exercice 4 (4 points) — Optimisation

On considère la parabole d'équation $y = 12 - x^2$ . Pour $x \in [0\,;\,\sqrt{12}]$ , on construit le rectangle de sommets $O(0\,;\,0)$ , $M(x\,;\,0)$ , $N(x\,;\,12 - x^2)$ et $P(0\,;\,12 - x^2)$ .

Montre que l'aire du rectangle est $A(x) = 12x - x^3$ . (1 point)
Étudie les variations de $A$ sur $[0\,;\,\sqrt{12}]$ . (2 points)
Pour quelle valeur de $x$ l'aire est-elle maximale ? Que vaut-elle ? (1 point)

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Le rectangle a pour largeur $OM = x$ et pour hauteur $MN = 12 - x^2$ (positive sur l'intervalle) : $A(x) = x(12 - x^2) = 12x - x^3$ .
$A'(x) = 12 - 3x^2 = 3(4 - x^2) = 3(2 - x)(2 + x)$ . Sur $[0\,;\,\sqrt{12}]$ , $2 + x > 0$ : $A'(x)$ a le signe de $2 - x$ . $A$ est croissante sur $[0\,;\,2]$ et décroissante sur $[2\,;\,\sqrt{12}]$ .
L'aire est maximale pour $x = 2$ : $A(2) = 24 - 8 = 16$ (unités d'aire).

Exercice 5 (2 points) — Parité

Soit $h(x) = x^3 - 3x$ sur $\mathbb{R}$ .

Démontre que $h$ est impaire. (1 point)
On sait que $h$ est décroissante sur $[0\,;\,1]$ et croissante sur $[1\,;\,+\infty[$ , avec $h(1) = -2$ . Déduis-en, sans calcul, ses variations sur $]-\infty\,;\,0]$ et la valeur de $h(-1)$ . (1 point)

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Pour tout réel $x$ : $h(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -h(x)$ : $h$ est impaire.
Par symétrie par rapport à l'origine, une fonction impaire garde le même sens de variation sur les intervalles symétriques : $h$ est croissante sur $]-\infty\,;\,-1]$ et décroissante sur $[-1\,;\,0]$ . Et $h(-1) = -h(1) = 2$ .