Dérivation et variations : extremums, parité, courbes

Ce que tu sais déjà. Tu sais calculer des dérivées avec les formules (Première — Fonction dérivée), étudier le signe d’une expression du second degré (Première — Signe du trinôme) et lire un tableau de variations (Seconde — Variations et extremums). On va maintenant obtenir les variations par le calcul, sans courbe.

1. Signe de la dérivée et sens de variation

Intuitivement : là où les tangentes « montent » ($f'(x) > 0$), la courbe monte ; là où elles « descendent » ($f'(x) < 0$), la courbe descend.

Théorème (admis). Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

• Si $f'(x) \geqslant 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est croissante sur $I$.
• Si $f'(x) \leqslant 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.
• Si $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est constante sur $I$.

De plus, si $f'(x) > 0$ sur $I$ sauf éventuellement en quelques points isolés où elle s’annule, $f$ est strictement croissante sur $I$ (de même pour « strictement décroissante »).

Réciproquement, si $f$ est croissante sur $I$, alors $f'(x) \geqslant 0$ sur $I$.

Exemple. $f(x) = x^3$ : $f'(x) = 3x^2 \geqslant 0$, nul seulement en $0$ : la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. $g(x) = \sqrt x$ : $g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt x} > 0$ sur $]0\,;\,+\infty[$ : la racine carrée est strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.

Attention : l’hypothèse « intervalle » compte. $f(x) = \dfrac1x$ a une dérivée $-\dfrac{1}{x^2} < 0$, mais $f$ n’est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$ tout entier ($f(-1) = -1 < f(1) = 1$) : elle est décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ et sur $]0\,;\,+\infty[$, séparément.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Dresser un tableau de variations

Exemple. $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ sur $[-3\,;\,5]$. $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x + 1)(x - 3)$. C’est un trinôme de racines $-1$ et $3$, de coefficient $3 > 0$ : positif à l’extérieur des racines, négatif entre elles. $f(-3) = -22$, $f(-1) = 10$, $f(3) = -22$, $f(5) = 10$.

→ S’entraîner : Exercice 2 · Exercice 3

3. Extremums

Définitions. Soit $f$ définie sur $I$ et $a \in I$.

• $f(a)$ est le maximum (global) de $f$ sur $I$ si $f(x) \leqslant f(a)$ pour tout $x \in I$ ; minimum : $f(x) \geqslant f(a)$.
• $f(a)$ est un maximum local (ou minimum local) s’il est le maximum (minimum) de $f$ sur un petit intervalle ouvert contenant $a$.

Propriété. Soit $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a \in I$.

• Si $f$ admet un extremum local en $a$, alors $f'(a) = 0$ (tangente horizontale).
• Si $f'$ s’annule en changeant de signe en $a$, alors $f$ admet un extremum local en $a$.

Logique : condition nécessaire, pas suffisante. « $f'(a) = 0$ » est une condition nécessaire pour avoir un extremum en $a$ (à l’intérieur de l’intervalle), mais pas suffisante : pour $f(x) = x^3$, $f'(0) = 0$ mais $f$ est strictement croissante et n’a pas d’extremum en $0$ ($f'$ ne change pas de signe).

Exemple. Dans l’exemple précédent, $f$ admet un maximum local $10$ en $-1$ et un minimum local $-22$ en $3$. Sur $[-3\,;\,5]$, le maximum global vaut $10$ (atteint en $-1$ et en $5$) et le minimum global vaut $-22$ (atteint en $-3$ et en $3$).

→ S’entraîner : Exercice 4

4. Parité d’une fonction

Définitions. Soit $f$ définie sur un ensemble $D$ symétrique par rapport à $0$ (si $x \in D$, alors $-x \in D$).

• $f$ est paire si, pour tout $x \in D$, $f(-x) = f(x)$. Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• $f$ est impaire si, pour tout $x \in D$, $f(-x) = -f(x)$. Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Exemples. $x \mapsto x^2$, $x \mapsto x^4$, $x \mapsto |x|$ sont paires ; $x \mapsto x^3$, $x \mapsto \dfrac1x$ sont impaires. $f(x) = x^2 + x$ n’est ni paire ni impaire : $f(1) = 2$ et $f(-1) = 0$, donc $f(-1) \neq f(1)$ et $f(-1) \neq -f(1)$ (un contre-exemple suffit).

Intérêt. Pour une fonction paire ou impaire, il suffit d’étudier $f$ sur $[0\,;\,+\infty[ \cap D$, puis de compléter par symétrie. Une fonction paire change le sens de variation en passant de l’autre côté de $0$ ; une fonction impaire le conserve.

→ S’entraîner : Exercice 5

5. Inégalités, positions relatives, optimisation

Démontrer une inégalité. Pour prouver $A(x) \geqslant B(x)$ sur $I$, on étudie la fonction $d(x) = A(x) - B(x)$ et on montre que son minimum sur $I$ est positif.

Exemple. Montrons que $x^3 \geqslant 3x - 2$ pour tout $x \geqslant 0$. Soit $d(x) = x^3 - 3x + 2$. $d'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$ : sur $[0\,;\,+\infty[$, $d'$ est négative sur $[0\,;\,1]$ et positive ensuite. $d$ admet donc un minimum en $1$, égal à $d(1) = 0$. Ainsi $d(x) \geqslant 0$, c’est-à-dire $x^3 \geqslant 3x - 2$. Interprétation : la courbe de la fonction cube est au-dessus de sa tangente au point d’abscisse $1$ (qui est $y = 3x - 2$) pour $x \geqslant 0$.

Position relative de deux courbes. $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $I$ si et seulement si $f(x) - g(x) \geqslant 0$ sur $I$ : on étudie le signe de la différence.

Optimisation. Beaucoup de problèmes (aire, volume, coût, bénéfice) reviennent à chercher le maximum ou le minimum d’une fonction sur un intervalle.

Exemple (boîte). Dans une plaque carrée de $18$ cm de côté, on découpe aux quatre coins des carrés de côté $x$ (avec $0 < x < 9$) et on replie pour former une boîte sans couvercle. Son volume est $V(x) = x(18 - 2x)^2$. On trouve $V'(x) = (18 - 2x)^2 - 4x(18 - 2x) = (18 - 2x)(18 - 6x)$. Sur $]0\,;\,9[$, $18 - 2x > 0$, donc $V'(x)$ a le signe de $18 - 6x$ : positif avant $3$, négatif après. Le volume est maximal pour $x = 3$ cm : $V(3) = 3 \times 12^2 = 432$ cm³. (En Seconde, on ne pouvait que conjecturer ce type de résultat : la dérivée permet de le démontrer.)

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7

6. Algorithme de Newton

Pour résoudre une équation $f(x) = 0$ qu’on ne sait pas résoudre exactement, on part d’une valeur $x_0$ proche de la solution et on remplace la courbe par sa tangente : la tangente en $x_0$ coupe l’axe des abscisses en un point $x_1$, en général plus proche de la solution. On recommence.

L’équation de la tangente en $x_n$ est $y = f'(x_n)(x - x_n) + f(x_n)$ ; elle coupe l’axe des abscisses ($y = 0$) en

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \quad (\text{si } f'(x_n) \neq 0).$$

def newton(x, n):
    """n étapes de la méthode de Newton pour f(x) = x**2 - 2, à partir de x."""
    for i in range(n):
        x = x - (x**2 - 2) / (2 * x)
    return x

print(newton(1, 4))   # affiche 1.4142135623746899

En partant de $x_0 = 1$, on obtient $x_1 = 1{,}5$, $x_2 = \dfrac{17}{12} \approx 1{,}416\,7$, $x_3 = \dfrac{577}{408} \approx 1{,}414\,215\,7$ : le nombre de décimales exactes double environ à chaque étape. (La méthode peut échouer dans des cas défavorables, par exemple si une tangente est horizontale.)

→ S’entraîner : Exercice 8

À retenir.

• Sur un intervalle : $f' \geqslant 0 \Rightarrow f$ croissante ; $f' \leqslant 0 \Rightarrow f$ décroissante.
• Méthode : dériver, factoriser, signe de $f'$, flèches, valeurs.
• Extremum local en $a$ (intérieur) $\Rightarrow f'(a) = 0$ ; la réciproque est fausse ($x^3$ en $0$) ; il faut un changement de signe de $f'$.
• Paire : $f(-x) = f(x)$ (symétrie d’axe $(Oy)$) ; impaire : $f(-x) = -f(x)$ (symétrie de centre $O$).
• Inégalité ou position relative : étudier le signe (ou le minimum) d’une différence.