Variables aléatoires : loi, espérance, variance — Exercices d'application

1. Variable aléatoire

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Exercice 1 — ⭐

On lance deux dés tétraédriques équilibrés (faces numérotées de $1$ à $4$) et on note $X$ la somme des deux résultats.

1. Quelles valeurs $X$ peut-elle prendre ? Combien y a-t-il d’issues équiprobables ?
2. Décris l’événement $\{X = 5\}$ et calcule sa probabilité.
3. Calcule $P(X \geqslant 6)$.

2. Loi de probabilité

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Exercice 2 — ⭐⭐

Une archère tire deux flèches ; à chaque tir, elle touche la cible avec la probabilité $0{,}6$, indépendamment de l’autre tir. Soit $X$ le nombre de flèches dans la cible.

1. À l’aide d’un arbre, détermine la loi de probabilité de $X$.
2. Vérifie que la somme des probabilités vaut $1$.

3. Espérance

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Exercice 3 — ⭐⭐

Pour jouer, on paie $2$ €, puis on lance un dé équilibré : si l’on obtient $6$, on reçoit $8$ € ; si l’on obtient $5$, on reçoit $4$ € ; sinon, on ne reçoit rien. Soit $X$ le gain net (ce qu’on reçoit moins la mise).

1. Donne la loi de $X$.
2. Calcule $E(X)$. Le jeu est-il équitable ?
3. L’organisateur veut que le joueur gagne en moyenne $0{,}50$ € par partie. Quelle somme doit-il verser pour un $6$, les autres règles étant inchangées ?

4. Variance et écart type

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Exercice 4 — ⭐⭐⭐

On compare deux jeux. Au jeu A, on gagne $0$ € ou $2$ € avec la même probabilité. Au jeu B, on perd $4$ € ou on gagne $6$ € avec la même probabilité.

1. Calcule l’espérance de chaque jeu.
2. Calcule la variance et l’écart type de chaque jeu avec la formule de König-Huygens.
3. Quel jeu conseiller à quelqu’un qui n’aime pas prendre de risques ?

5. Transformation affine : linéarité de l’espérance

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Exercice 5 — ⭐⭐

1. $X$ est une variable aléatoire telle que $E(X) = 3$ et $V(X) = 2$. Calcule $E(5X - 4)$, $V(5X - 4)$ et $\sigma(5X - 4)$.
2. La température de midi dans une ville, en degrés Celsius, est modélisée par une variable aléatoire $C$ d’espérance $20$ et d’écart type $3$. En degrés Fahrenheit, $F = 1{,}8\,C + 32$. Calcule $E(F)$ et $\sigma(F)$.

6. Calculs en Python

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Exercice 6 — ⭐⭐⭐

1. En t’inspirant du cours, écris une fonction esperance_carre(valeurs, probas) qui renvoie $E(X^2)$.
2. Déduis-en une fonction variance_kh(valeurs, probas) qui calcule la variance avec la formule de König-Huygens (tu peux réutiliser la fonction esperance du cours).
3. Teste-la sur la loi de l’exercice 2 : on doit trouver $V(X) = 0{,}48$.

def esperance(valeurs, probas):
    E = 0
    for i in range(len(valeurs)):
        E = E + probas[i] * valeurs[i]
    return E

def esperance_carre(valeurs, probas):
    E2 = 0
    for i in range(len(valeurs)):
        E2 = E2 + probas[i] * valeurs[i] ** 2
    return E2

def variance_kh(valeurs, probas):
    return esperance_carre(valeurs, probas) - esperance(valeurs, probas) ** 2

print(variance_kh([0, 1, 2], [0.16, 0.48, 0.36]))   # environ 0.48

Exercice 7 — ⭐⭐⭐⭐

On choisit au hasard une lettre d’un texte. Pour étudier la loi de la lettre obtenue, on compte les fréquences d’apparition des lettres (c’est un des exemples d’algorithmes du programme).

1. Que renvoie la fonction suivante ?

   def frequence(texte, lettre):
       lettres = 0
       compte = 0
       for c in texte:
           if c.isalpha():
               lettres = lettres + 1
               if c == lettre:
                   compte = compte + 1
       return compte / lettres

2. Calcule à la main frequence("les mathematiques", "e").
3. En français, la lettre « e » représente environ $15\,\%$ des lettres d’un long texte. Pourquoi la fréquence trouvée à la question 2 en est-elle éloignée ?