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Variables aléatoires : loi, espérance, variance

Ce que tu vas apprendre

Modéliser une situation par une variable aléatoire et déterminer sa loi
Calculer et interpréter l'espérance (jeu équitable, gain moyen)
Calculer la variance et l'écart type, notamment avec la formule de König-Huygens
Utiliser E(aX + b) = aE(X) + b et V(aX + b) = a²V(X)
Écrire des fonctions Python qui calculent espérance, variance et écart type

Notions clésvariable aléatoire réelleloi de probabilitéespérance E(X)variance V(X), écart type σ(X)formule de König-Huygenslinéarité de l'espérance

Ce que tu sais déjà. Tu sais calculer des probabilités sur un univers fini (Seconde — Probabilités), utiliser un arbre (Première — Probabilités conditionnelles), et tu connais la moyenne, la variance et l’écart type d’une série statistique (Seconde — Statistiques descriptives). Les notions de ce chapitre sont leurs « versions probabilistes ».

1. Variable aléatoire

Définition. Soit $\Omega$ l’univers (fini) d’une expérience aléatoire. Une variable aléatoire réelle $X$ est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de $\Omega$ .

Notations. $\{X = a\}$ désigne l’événement « $X$ prend la valeur $a$ », c’est-à-dire l’ensemble des issues auxquelles $X$ associe $a$ . De même $\{X \leqslant a\}$ , $\{X > a\}$ …

Exemple. On lance deux pièces. $\Omega = \{PP, PF, FP, FF\}$ (issues équiprobables). Soit $X$ le nombre de « pile ». $X(PP) = 2$ , $X(PF) = X(FP) = 1$ , $X(FF) = 0$ . L’événement $\{X = 1\} = \{PF, FP\}$ a pour probabilité $\dfrac24 = \dfrac12$ .

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Loi de probabilité

Définition. Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $x_1, x_2, \dots, x_n$ . Déterminer la loi de probabilité de $X$ , c’est donner la probabilité $p_i = P(X = x_i)$ de chaque valeur. On la présente dans un tableau :

$x_i$	$x_1$	$x_2$	…	$x_n$
$P(X = x_i)$	$p_1$	$p_2$	…	$p_n$

avec $p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$ .

Exemple (roue de loterie). Une roue comporte $10$ secteurs identiques : $5$ font perdre $2$ €, $2$ ne rapportent rien, $2$ font gagner $3$ € et $1$ fait gagner $8$ €. Soit $X$ le gain algébrique du joueur.

$x_i$ $-2$ $0$ $3$ $8$
$P(X = x_i)$ $0{,}5$ $0{,}2$ $0{,}2$ $0{,}1$

Vérification : $0{,}5 + 0{,}2 + 0{,}2 + 0{,}1 = 1$ . ✓ Et $P(X > 0) = 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}3$ .

$x_i$	$-2$	$0$	$3$	$8$
$P(X = x_i)$	$0{,}5$	$0{,}2$	$0{,}2$	$0{,}1$

Diagramme en bâtons de la loi du gain X : la hauteur de chaque bâton est la probabilité de la valeur ; l'espérance 0,4 est le « centre de gravité » des bâtons.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Espérance

Définition. L’espérance de $X$ est le nombre

$E(X) = p_1 x_1 + p_2 x_2 + \dots + p_n x_n = \sum_{i=1}^{n} p_i x_i.$

Interprétation. Si l’on répète l’expérience un très grand nombre de fois, la moyenne des valeurs prises par $X$ se rapproche de $E(X)$ : c’est la valeur « moyenne à long terme ». Pour un jeu, $E(X)$ est le gain moyen par partie ; le jeu est dit équitable si $E(X) = 0$ .

Exemple (suite). $E(X) = 0{,}5 \times (-2) + 0{,}2 \times 0 + 0{,}2 \times 3 + 0{,}1 \times 8 = -1 + 0 + 0{,}6 + 0{,}8 = 0{,}4$ . Sur un grand nombre de parties, le joueur gagne en moyenne $0{,}40$ € par partie : le jeu est favorable au joueur (et défavorable à l’organisateur).

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Variance et écart type

Définitions. La variance de $X$ mesure la dispersion des valeurs autour de l’espérance :

$V(X) = \sum_{i=1}^{n} p_i\,\big(x_i - E(X)\big)^2.$

L’écart type est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ ; il s’exprime dans la même unité que $X$ .

Propriété (formule de König-Huygens, programme 2026).

$V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2, \qquad\text{où}\quad E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} p_i x_i^2.$

🧠 Démonstration (pour aller plus loin) — Formule de König-Huygens

Notons $\mu = E(X)$ . En développant $(x_i - \mu)^2 = x_i^2 - 2\mu x_i + \mu^2$ :

$V(X) = \sum p_i x_i^2 - 2\mu\sum p_i x_i + \mu^2 \sum p_i = E(X^2) - 2\mu \times \mu + \mu^2 \times 1 = E(X^2) - \mu^2.$

Exemple (suite). $E(X^2) = 0{,}5 \times 4 + 0{,}2 \times 0 + 0{,}2 \times 9 + 0{,}1 \times 64 = 2 + 1{,}8 + 6{,}4 = 10{,}2$ . $V(X) = 10{,}2 - 0{,}4^2 = 10{,}04$ et $\sigma(X) = \sqrt{10{,}04} \approx 3{,}17$ €. Le gain moyen est faible ( $0{,}40$ €) mais très dispersé : le jeu est « risqué ».

Comparer deux jeux. À espérance égale, le jeu dont l’écart type est le plus petit est le moins risqué.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Transformation affine : linéarité de l’espérance

Propriété. Pour tous réels $a$ et $b$ :

$E(aX + b) = a\,E(X) + b, \qquad V(aX + b) = a^2\,V(X), \qquad \sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X).$

Justification de la première égalité. $aX + b$ prend les valeurs $ax_i + b$ avec les mêmes probabilités $p_i$ , donc $E(aX + b) = \sum p_i(ax_i + b) = a\sum p_i x_i + b\sum p_i = aE(X) + b$ .

Interprétation. Ajouter une constante $b$ décale toutes les valeurs : la moyenne est décalée, la dispersion ne change pas. Multiplier par $a$ multiplie la moyenne par $a$ et l’écart type par $|a|$ .

Exemple (suite). L’organisateur double tous les gains et offre $1$ € à chaque joueur : nouveau gain $Y = 2X + 1$ . $E(Y) = 2 \times 0{,}4 + 1 = 1{,}8$ € ; $V(Y) = 4 \times 10{,}04 = 40{,}16$ ; $\sigma(Y) = 2\sigma(X) \approx 6{,}34$ €.

→ S’entraîner : Exercice 5

6. Calculs en Python

Le programme propose d’écrire des fonctions calculant espérance, variance et écart type d’une loi donnée par deux listes : la liste des valeurs et la liste des probabilités.

from math import sqrt

def esperance(valeurs, probas):
    E = 0
    for i in range(len(valeurs)):
        E = E + probas[i] * valeurs[i]
    return E

def variance(valeurs, probas):
    E = esperance(valeurs, probas)
    V = 0
    for i in range(len(valeurs)):
        V = V + probas[i] * (valeurs[i] - E) ** 2
    return V

x = [-2, 0, 3, 8]
p = [0.5, 0.2, 0.2, 0.1]
print(esperance(x, p), variance(x, p), sqrt(variance(x, p)))
# affiche environ 0.4  10.04  3.1686

Remarque. Les calculs sur les nombres décimaux en Python peuvent donner de minuscules erreurs d’arrondi (par exemple 0.4000000000000001) : ce n’est pas une erreur de raisonnement.

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7

À retenir.

Loi de $X$ : tableau des valeurs $x_i$ et des probabilités $p_i$ (de somme $1$ ).
$E(X) = \sum p_i x_i$ (moyenne à long terme ; jeu équitable si $E(X) = 0$ ).
$V(X) = \sum p_i (x_i - E(X))^2 = E(X^2) - E(X)^2$ (König-Huygens) ; $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ .
$E(aX + b) = aE(X) + b$ ; $V(aX + b) = a^2V(X)$ ; $\sigma(aX + b) = |a|\sigma(X)$ .