Première⏱ 50 minutes

Variables aléatoires : loi, espérance, variance — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

Calcule $0{,}2 \times 5$ .
Une loi a trois valeurs de probabilités $0{,}3$ , $0{,}45$ et $p$ . Que vaut $p$ ?
$X$ vaut $0$ avec la probabilité $0{,}7$ et $10$ avec la probabilité $0{,}3$ . Calcule $E(X)$ .
Calcule $\sqrt{16}$ .
$E(X) = 4$ . Calcule $E(2X + 3)$ .
$V(X) = 2$ . Calcule $V(3X)$ .
Calcule $0{,}5^2$ .
Calcule $\dfrac34 - \dfrac12$ .

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$1$ .
$1 - 0{,}75 = 0{,}25$ .
$0{,}3 \times 10 = 3$ .
$4$ .
$2 \times 4 + 3 = 11$ .
$9 \times 2 = 18$ .
$0{,}25$ .
$\dfrac14$ .

Exercice 2 (6 points) — Une tombola

Une association vend $200$ tickets à $3$ € chacun. Parmi eux : $1$ ticket gagne un lot de $100$ €, $4$ tickets gagnent un lot de $20$ € et $15$ tickets gagnent un lot de $5$ € ; les autres ne gagnent rien. On achète un ticket au hasard et on note $X$ le gain net (valeur du lot moins le prix du ticket).

Donne la loi de probabilité de $X$ (sous forme de fractions de dénominateur $200$ ). (2 points)
Calcule $E(X)$ et interprète le résultat pour le joueur et pour l'association. (2,5 points)
Quel devrait être le prix du ticket pour que le jeu soit équitable ? (1,5 point)

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Gains nets : $100 - 3 = 97$ ; $20 - 3 = 17$ ; $5 - 3 = 2$ ; $-3$ pour les $200 - 20 = 180$ tickets perdants.

$x_i$ $97$ $17$ $2$ $-3$
$P(X = x_i)$ $\dfrac{1}{200}$ $\dfrac{4}{200}$ $\dfrac{15}{200}$ $\dfrac{180}{200}$
$E(X) = \dfrac{97 + 68 + 30 - 540}{200} = \dfrac{-345}{200} = -1{,}725$ . En moyenne, un joueur perd environ $1{,}73$ € par ticket ; l'association gagne donc en moyenne $1{,}725$ € par ticket vendu (soit $345$ € pour les $200$ tickets).
La valeur moyenne des lots par ticket est $\dfrac{100 + 80 + 75}{200} = \dfrac{255}{200} = 1{,}275$ €. Le jeu est équitable si le ticket coûte $1{,}275$ € (soit environ $1{,}28$ €).

$x_i$	$97$	$17$	$2$	$-3$
$P(X = x_i)$	$\dfrac{1}{200}$	$\dfrac{4}{200}$	$\dfrac{15}{200}$	$\dfrac{180}{200}$

Exercice 3 (5 points) — Une loi incomplète

La loi d'une variable aléatoire $X$ est donnée ci-dessous.

$x_i$	$-1$	$0$	$2$	$4$
$P(X = x_i)$	$0{,}2$	$a$	$0{,}3$	$0{,}1$

Détermine $a$ . (1 point)
Calcule $E(X)$ . (1,5 point)
Calcule $E(X^2)$ , puis $V(X)$ à l'aide de la formule de König-Huygens. (2,5 points)

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$0{,}2 + a + 0{,}3 + 0{,}1 = 1$ , donc $a = 0{,}4$ .
$E(X) = -0{,}2 + 0 + 0{,}6 + 0{,}4 = 0{,}8$ .
$E(X^2) = 0{,}2 \times 1 + 0 + 0{,}3 \times 4 + 0{,}1 \times 16 = 0{,}2 + 1{,}2 + 1{,}6 = 3$ . $V(X) = 3 - 0{,}8^2 = 3 - 0{,}64 = 2{,}36$ .

Exercice 4 (5 points) — Une prime

Dans une entreprise, la prime annuelle d'un salarié (en euros) est une variable aléatoire $X$ d'espérance $150$ et d'écart type $40$ . La direction décide d'augmenter toutes les primes de $10\,\%$ puis d'ajouter $20$ €. On note $Y$ la nouvelle prime.

Exprime $Y$ en fonction de $X$ . (1 point)
Calcule $E(Y)$ et $\sigma(Y)$ . (3 points)
Explique pourquoi l'ajout de $20$ € ne modifie pas l'écart type. (1 point)

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Augmenter de $10\,\%$ , c'est multiplier par $1{,}1$ : $Y = 1{,}1X + 20$ .
$E(Y) = 1{,}1 \times 150 + 20 = 185$ € ; $\sigma(Y) = 1{,}1 \times 40 = 44$ €.
Ajouter $20$ € à toutes les primes décale toutes les valeurs de la même quantité : les écarts à la moyenne sont inchangés, donc la dispersion (l'écart type) aussi.